雷虎民，張 旭，董飛垚，李 炯

(1.空軍工程大學防空反導(dǎo)學院，陜西西安710051;2.中國人民解放軍95437部隊，四川彭山620864)

近年來，隨著全球空間競爭的日趨激烈，高速機動飛行器的研究受到各國的普遍重視并得到了相當程度的發(fā)展，目前，一些高超聲速飛行器已經(jīng)投入軍事應(yīng)用，給各國導(dǎo)彈防御系統(tǒng)帶來了嚴峻的挑戰(zhàn)。

在新的攔截情形下，由于彈目相對速度很大，末制導(dǎo)攔截時間又很短，這就對攔截導(dǎo)彈的精確制導(dǎo)技術(shù)研究提出了特別的要求［1-3］。文獻［1］研究了使視線角速率有限時間收斂的多種高精度制導(dǎo)方法，以滿足新一代導(dǎo)彈實現(xiàn)“趨零脫靶量”精確制導(dǎo)能力的要求，取得了良好的制導(dǎo)效果;文獻［2］基于Lyapunov穩(wěn)定性理論分別設(shè)計了導(dǎo)彈俯仰平面和偏航平面的視線角速率有限時間收斂制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律既能保證系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定，又能夠保證其有限時間收斂;文獻［3］基于新型自適應(yīng)非奇異Terminal滑?？刂品椒ǎO(shè)計了一種部分制導(dǎo)與控制一體化有限時間收斂控制算法，可保證滑模面在有限時間內(nèi)收斂到零。同時，為了使導(dǎo)彈能夠更好地適應(yīng)新型攔截的實際需要，考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的制導(dǎo)律也得到了廣泛的研究［1，4-10］。文獻［4-5］分別考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀一階和二階動態(tài)特性，設(shè)計了變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，但不能使導(dǎo)彈的視線角速率在有限時間內(nèi)收斂到零;文獻［6］運用非線性反步設(shè)計法，設(shè)計了考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的終端角度約束滑模導(dǎo)引律，并能夠保證導(dǎo)彈的有限時間收斂特性;文獻［7］基于有限時間穩(wěn)定性理論，設(shè)計了考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的有限時間收斂制導(dǎo)律，具有較強的魯棒性;文獻［8-9］通過引入低通濾波器，運用動態(tài)面控制方法，設(shè)計了考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀二階動態(tài)特性的制導(dǎo)律;文獻［10］為改善BTT導(dǎo)彈的捕獲區(qū)性能，設(shè)計了考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的最優(yōu)制導(dǎo)律，仿真實驗證明了其有效性和實用性。文獻［11］根據(jù)平行接近法原理推導(dǎo)了一種動能攔截器零控脫靶量制導(dǎo)律，具有較高的制導(dǎo)精度;文獻［12］設(shè)計了基于零控脫靶量的大氣層外超遠程攔截制導(dǎo)律;但是這兩種制導(dǎo)律只能使零控脫靶量在攔截結(jié)束時刻收斂到零，不能使零控脫靶量在有限時間內(nèi)收斂到零。

1 零控脫靶量三維制導(dǎo)模型推導(dǎo)

零控脫靶量的具體表達式有多種形式，對零控脫靶量的定義如下:從當前時刻開始，導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令為零，目標按照當前的機動狀態(tài)繼續(xù)飛行，最終獲得的彈目之間的最小距離。導(dǎo)彈-目標三維相對運動學關(guān)系如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈-目標三維相對運動學關(guān)系Fig.1 Three-dimensional relative motion geometry of missile and target

圖1中:M為導(dǎo)彈，T為目標，r為彈目相對距離;oxi yi zi為慣性坐標系，oxL yL zL為視線坐標系;θT和ψT為目標的彈道傾角和彈道偏角;θM和ψM為導(dǎo)彈的彈道傾角和彈道偏角;θL和ψL為視線傾角和視線偏角。由圖1所示的彈目三維相對運動學關(guān)系，可得如下彈目運動方程:

由于重點對導(dǎo)彈攔截目標的末制導(dǎo)段進行研究，可假定導(dǎo)彈中制導(dǎo)結(jié)束后，導(dǎo)彈-目標初始對準良好，且整個飛行過程中彈目視線角變化不大［13］。因此，選擇以導(dǎo)彈-目標初始視線坐標系oxL0yL0zL0為基準，將三維非線性彈目攔截幾何關(guān)系解耦為俯仰平面和偏航平面進行單獨研究。首先對俯仰平面內(nèi)的彈-目攔截問題進行研究，如圖2所示。

圖2 俯仰平面內(nèi)的彈目相對幾何關(guān)系Fig.2 Relative motion geometry of missile and target in pitch plane

令ψL=180°，˙ψL=0，則式(1)和(2)可轉(zhuǎn)化為:

式中，Vr和Vy⊥分別為彈目相對速度沿視線方向和垂直視線方向分量。根據(jù)幾何關(guān)系，其表達式如下所示:

假定在制導(dǎo)末端，導(dǎo)彈和目標的速度大小變化不大，近似認為是常值，則剩余飛行時間tgo可近似由式(8)確定:

令yd，aTNy和aMNy表示r，aT和aM沿初始視線坐標系y方向的分量，則有:

由于在導(dǎo)彈攔截目標的過程中，彈目視線角變化不大［13］，故有:

式中，θL0為彈目初始視線傾角。

為了更加符合實際作戰(zhàn)情形，將目標和導(dǎo)彈的動態(tài)特性分別視為時間常數(shù)為τT和τM的一階慣性環(huán)節(jié)，即:

根據(jù)零控脫靶量的定義，得俯仰平面內(nèi)導(dǎo)彈的零控脫靶量yZEM為:

式中，ψ(ξ)=e-ξ+ξ-1，eAGtgo為式(14)關(guān)于剩余飛行時間tgo的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，其表達式為:

考慮信息的可獲取性，對式(15)進行重新整理和化簡。根據(jù)圖2描述的幾何關(guān)系有:

對式(16)兩端求導(dǎo)，可得:

對式(17)兩端同時乘以tgo并結(jié)合式(16)，可得:

將式(18)代入式(15)，可得:

同理，可得偏航平面的零控脫靶量zZEM為:

式中，aTNz和aMNz分別表示aT和aM沿初始視線坐標系z方向的分量。

2 零控脫靶量有限時間收斂制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 制導(dǎo)律設(shè)計

根據(jù)零控脫靶量的定義，零控脫靶量是當導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令為零，目標按照當前的機動狀態(tài)繼續(xù)飛行時，所獲得的彈目之間的最小距離。因此，若yZEM和zZEM到達并保持到零附近的鄰域內(nèi)，就能夠保證導(dǎo)彈-目標的最終脫靶量為零，從而確保導(dǎo)彈準確命中目標。又的相對階為1，因此可直接選擇yZEM為滑模變量:

為了便于后續(xù)推導(dǎo)，對式(6)～(8)求導(dǎo)并結(jié)合式(2)，可得:

結(jié)合式(19)、式(24)和式(25)，可得

證明:由于導(dǎo)彈在攔截目標的過程中，彈目距離不斷減小，因此剩余飛行時間也逐漸趨向于零，即

由此，俯仰平面和偏航平面的制導(dǎo)律可設(shè)計如下:

式中，μy，μz為大于零的常數(shù)，aκy，aκz為自適應(yīng)因子。

同時，為了克服普通滑模帶來的抖振現(xiàn)象，采用如下飽和函數(shù)sat(·)代替符號函數(shù)sgn(·):

式中，Δ為邊界層厚度。

2.2 穩(wěn)定性分析

選擇如下Lyapunov函數(shù):

對式(32)兩端求導(dǎo)，并結(jié)合式(26)，可得:

因此，穩(wěn)定性得證。同理，可證明式(29)～(30)所示的偏航平面的零控脫靶量有限時間收斂制導(dǎo)律亦能保證系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定。

2.3 有限時間收斂特性分析

該制導(dǎo)律設(shè)計的目的，就是在考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的前提下，設(shè)計導(dǎo)彈視線角速率有限時間收斂制導(dǎo)律。因此需要對其有限時間收斂特性進行分析，首先給出如下引理［14］。

引理針對自治系統(tǒng)˙x=f(x)，f(0)=0，假設(shè)存在連續(xù)光滑可微函數(shù)V2(x):U→R，使其滿足如下條件:

1)V2(x)為正定函數(shù)。

2)存在實數(shù)c〉0和κ∈(0，1)，以及一個定義在原點的鄰域U0∈U，使得下列條件成立:

則上述自治系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定的;若U=U0=Rn，則該自治系統(tǒng)為全局有限時間穩(wěn)定。

由于采用飽和函數(shù)法對制導(dǎo)律的繼電特性進行了連續(xù)化，因此會對系統(tǒng)的有限時間收斂特性產(chǎn)生一定的影響。如式(36)所示:

3 仿真結(jié)果分析

為驗證所設(shè)計的零控脫靶量有限時間收斂的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律的有效性，在MATLAB下進行數(shù)字仿真，仿真步長為0.01s;但當彈目距離小于300m時，步長為0.01ms。導(dǎo)彈和目標初始參數(shù)設(shè)置如下:目標初始位置為(26 000m，21 000m，2000m)，速度為1800m/s，初始彈道傾角為170°，初始彈道偏角為0°，目標在俯仰和偏航平面內(nèi)做正弦型機動，aty=aty0sin(πt/3)，atz=atz0sin(πt/3);由于目標機動加速度延遲時間常數(shù)無法測得，故令其機動時間常數(shù)為0.01s;導(dǎo)彈初始位置為(0m，19 000m，0m)，速度為1600m/s，初始彈道傾角為4.39°，初始彈道偏角為-4.40°。

此外，仿真中，將所設(shè)計的制導(dǎo)律與比例制導(dǎo)律進行對比分析，有效導(dǎo)航比為3.0，為突出考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的制導(dǎo)律的優(yōu)勢，自動駕駛儀時間常數(shù)取較大的0.45s，導(dǎo)彈的最大可用過載為20g;aκy=aκz=0.5，，μy=μz=0.5。為了便于描述，比例導(dǎo)引律用PNG表示，基于零控脫靶量有限時間收斂制導(dǎo)律用FZEM表示，仿真結(jié)果如圖3～5和表1所示。

圖3 三維彈道軌跡Fig.3 Three-dimensional ballistic trajectories

由圖3～4可知，F(xiàn)ZEM可保證導(dǎo)彈俯仰平面偏航平面內(nèi)的零控脫靶量在有限時間內(nèi)收斂到零，而PN只能保證零控脫靶量在導(dǎo)彈攔截目標結(jié)束時刻收斂到零。由圖5可知，在攔截初始階段，F(xiàn)ZEM的過載大于PN的過載，此后FZEM的過載均小于PN，這主要是由于FZEM在攔截初始階段需要較大的過載，使零控脫靶量在有限時間內(nèi)收斂到零;一旦零控脫靶量達到有限時間收斂，則其過載便會小于PN過載。由表1可知，在目標做不同形式和大小的機動時，F(xiàn)ZEM均能夠以較小的脫靶量準確命中目標，而PN在aty0較大時，總是出現(xiàn)脫靶。因此，與比例制導(dǎo)律相比，零控脫靶量有限時間收斂制導(dǎo)律具有更高的制導(dǎo)精度，且可使零控脫靶量在有限時間內(nèi)收斂到零。

圖4 零控脫靶量隨時間變化曲線Fig.4 Time history of zero-effort miss

圖5 導(dǎo)彈過載隨時間的變化曲線Fig.5 Time history of missile overload

表1 不同制導(dǎo)律攔截性能比較Tab.1 Interception performance comparison between different guidance laws

4 結(jié)論

本文針對新型高速機動目標的攔截問題，將彈目三維攔截幾何關(guān)系解耦到俯仰平面和偏航平面，推導(dǎo)了考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的新型零控脫靶量制導(dǎo)模型;根據(jù)自適應(yīng)滑?？刂评碚摵陀邢迺r間穩(wěn)定性理論，選取兩個平面的零控脫靶量為滑模面，設(shè)計了三維零控脫靶量有限時間收斂制導(dǎo)律;選取兩種不同的Lyapunov函數(shù)，對所設(shè)計制導(dǎo)律的穩(wěn)定性和有限時間收斂進行了詳細地分析;通過與比例制導(dǎo)律進行仿真對比分析，表明該制導(dǎo)律具有良好的零控脫靶量有限時間收斂特性，且在目標做不同形式和大小的機動時，均能夠有效命中目標，并具有更高的制導(dǎo)精度。

References)

［1］孫勝.有限時間收斂尋的導(dǎo)引律［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，2010.SUN Sheng.Guidance laws with finite time convergence for homing missiles［D］.Harbin:Harbin Institute of Technology，2010.(in Chinese)

［2］Zhou D，Sun S，Teo K L.Guidance laws with finite time convergence［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32(6):1838-1846.

［3］Wang X H，Wang J Z.Partial integrated missile guidance and control with finite time convergence［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2013，36(5):1399-1409.

［4］佘文學，周軍，周鳳岐.一種考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律［J］.宇航學報，2003，24(3):245-249.SHE Wenxue，ZHOU Jun，ZHOU Fengqi.An adaptive variable structure guidance law considering missile's dynamics of autopilot［J］.Journal of Astronautics，2003，24(3):245-249.(in Chinese)

［5］佘文學，周鳳岐，周軍.考慮自動駕駛儀動態(tài)魯棒自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2003，25(12):1513-1516.SHE Wenxue，ZHOU Fengqi，ZHOU Jun.Robust adaptive variable structure guidance law considering autopilot dynamics［J］.Systems Engineering and Electronics，2003，25(12):1513-1516.(in Chinese)

［6］孫勝，張華明，周荻.考慮自動駕駛儀動特性的終端角度約束滑模導(dǎo)引律［J］.宇航學報，2013，34(1):69-78.SUN Sheng，ZHANG Huaming，ZHOU Di.Sliding mode guidance law with autopilot lag for terminal angle constrained trajectories［J］.Journal of Astronautics，2013，34(1):69-78.(in Chinese)

［7］Sun S，Zhou D，Hou W T.A guidance law with finite time convergence accounting for autopilot lag［J］.Aerospace Science and Technology，2013，25(1):132-137.

［8］曲萍萍，周荻.考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀二階動態(tài)特性的三維導(dǎo)引律［J］.航空學報，2011，32(11):2096-2105.QU Pingping，ZHOU Di.Three-dimensional guidance law accounting for second-order dynamics of missile autopilot［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2011，32(11):2096-2105.(in Chinese)

［9］Qu P P，Zhou D.Observer-based guidance law accounting for second-order dynamics of missile autopilots［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2013，20(1):17-22.

［10］Yeom J H，Hong J W，Yoo S J.Terminal-phase optimal guidance law for BTT missiles considering significant autopilot dynamics［C］//Proceedings of AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference，Portland，Oregon，2011.

［11］鄭立偉，荊武興，谷立祥.一種適用于大氣層外動能攔截器的末制導(dǎo)律［J］.航空學報，2007，28(4):953-958.ZHENG Liwei，JING Wuxing，GU Lixiang.A terminal guidance law for exoatmospheric kill vehicle［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2007，28(4):953-958.(in Chinese)

［12］陳峰，肖業(yè)倫，陳萬春.基于零控脫靶量的大氣層外超遠程攔截制導(dǎo)［J］.航空學報，2009，30(9):1583-1589.CHEN Feng，XIAO Yelun，CHEN Wanchun.Guidance based on zero effort miss for super-range exoatmospheric intercept［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2009，30(9):1583-1589.(in Chinese)

［13］李運遷.大氣層內(nèi)攔截彈制導(dǎo)控制及一體化研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，2011.LI Yunqian.Integrated guidance and control for endoatmospheric interceptors［D］.Harbin:Harbin Institute of Technology，2011.(in Chinese)

［14］丁世宏，李世華.有限時間控制問題綜述［J］.控制與決策，2011，26(2):161-169.DING Shihong，LI Shihua.A survey for finite-time control problems［J］.Control and Decision，2011，26(2):161-169.(in Chinese)