謝　燁，梁宗旗

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

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非線性Schr?dinger方程的五次B-樣條逼近

謝燁，梁宗旗

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

[摘要]利用五次B-樣條配點(diǎn)有限元方法研究了經(jīng)典的三次非線性Schr?dinger方程.在該格式中，關(guān)于時(shí)間方向的離散是基于Crank-Nicolson差分格式，而空間方向采用了分片五次B-樣條函數(shù)逼近，其得到的剛度矩陣是一個(gè)分塊五對(duì)角型矩陣.同時(shí)，利用線性穩(wěn)定性分析方法證明了該格式是無條件穩(wěn)定的.通過數(shù)值例子，驗(yàn)證了該格式保持了方程的守恒性質(zhì)及具有較高的精度，最后模擬了兩個(gè)孤立子的碰撞.

[關(guān)鍵詞]非線性Schr?dinger方程；B-樣條；數(shù)值逼近；孤立子

0引言

非線性Schr?dinger方程是一種典型的色散波動(dòng)方程[1]，這類方程從數(shù)學(xué)角度揭示了線性色散與非線性的交互作用，同時(shí)也是研究光孤子特性的基本方程.等離子體的Langmuir波、一維色散的自調(diào)制、二維定態(tài)平面波的自聚焦、超導(dǎo)電子對(duì)電磁場中的運(yùn)動(dòng)等都可以用非線性Schr?dinger方程來描述.非線性Schr?dinger方程不僅具有無窮個(gè)守恒律，存在Backlund變換和完全可積等特性，同時(shí)利用散射反演法和修正映射等方法得到了該方程及帶有克爾效應(yīng)的非線性Schr?dinger的精確解及其孤立子解[2-7].為了考察孤立子的穩(wěn)定性和相互作用，一大批非線性進(jìn)化方程的數(shù)值計(jì)算方法也隨之應(yīng)運(yùn)而生，因?yàn)槭欠癖３衷匠痰氖睾阈院凸铝⒆优鲎布笆欠窀淖兤湫螒B(tài)可以作為衡量和檢驗(yàn)數(shù)值方法好壞的一個(gè)重要標(biāo)尺.

本文研究如下的三次非線性Schr?dinger方程的Dirichlet初邊值問題：

(1)

其中：u(x,t) 是未知復(fù)值函數(shù)；ut=?u/?t；uxx=?2u/?x2；u0(x)是已知函數(shù)；i2=-1；q為實(shí)常數(shù)，如果q<0 稱為散焦，q>0稱為聚焦.設(shè)u(x,t)及其導(dǎo)數(shù)在x→±時(shí)指數(shù)衰減為0，則方程的解滿足如下的守恒律[1]：

(2)

近幾十年來，許多學(xué)者對(duì)非線性Schr?dinger方程在數(shù)值計(jì)算方法中的應(yīng)用進(jìn)行了廣泛的研究：Delfour等人[8]提出了一個(gè)有限差分格式；Taha等人[9]總結(jié)和提出了5個(gè)有限差分格式和2種Fourier分裂法和擬譜方法；Sanz-Serna[10]提出了“蛙跳格式”和改進(jìn)的Crank-Nicolson格式，并用半離散的方法討論了守恒和不守恒的格式[11].關(guān)于該方程有大量的數(shù)值方法研究文獻(xiàn)，如譜方法[12]、擬譜方法[13]、有限元方法[14]、有限差分方法[15-16]、多辛格式[17]等等.近年來Bao等[18]利用分裂Hermite及Legurrer譜方法在研究非線性Schr?dinger方程以及更廣泛的Gross-Pitaevskii方程和Bose-Einstein 凝聚態(tài)方程方面取得了突破性的進(jìn)展.

B-樣條是樣條曲線一種特殊的表示形式，由于其具有很好的支撐性、靈活性和光滑性，被廣泛應(yīng)用于計(jì)算幾何中.B-樣條是貝茲曲線[19]的一種一般化，可以進(jìn)一步推廣為非均勻有理B樣條(NURBS)，使得能給更多一般的幾何體建造精確的模型.自從石鐘慈[20]基于均勻分劃的B樣條展開定理構(gòu)造三次B樣條基函數(shù)來表示位移場函數(shù)和應(yīng)用最小勢能原理導(dǎo)出樣條有限元以來，以三次和五次B-樣條基函數(shù)為逼近函數(shù)的計(jì)算方法得到了極大的發(fā)展，如：應(yīng)用四、五、七次B-樣條方法求解Korteweg-de Vries-Burgers(KdVB)方程[21-23]；應(yīng)用五次B-樣條求解混合 Korteweg-de Vrie(CMKdV)方程的數(shù)值解[24].本文擬通過在空間方向采用五次B-樣條離散，時(shí)間方向采用Crank-Nicolson 差分格式離散的方法來求解非線性Schr?dinger方程的數(shù)值解，通過Matlab來實(shí)現(xiàn)數(shù)值解的計(jì)算．

1五次B-樣條法

1.1　五次B-樣條的構(gòu)建

問題(1)是定義在無界區(qū)域上的，一般有3種方法求解無界區(qū)域問題：1)截取有限區(qū)間，加入人工邊界條件；2)利用Hermite譜方法或Lagurrer譜方法；3)通過映射將無界區(qū)域變?yōu)橛薪鐓^(qū)域，再利用有界區(qū)域的Legendre多項(xiàng)式或有理多項(xiàng)式逼近.

本文采用第一種方法，即將問題(1)轉(zhuǎn)化為有限區(qū)間[a,b]上初邊值問題，其中a,b的選擇取決有u(x,t)的衰減情況.這樣原方程的Dirichlet初邊值問題變?yōu)槿缦碌膯栴}：

(3)

(4)

本文將區(qū)間[a,b]等分為N個(gè)有限單元，步長h=(b-a)/N,節(jié)點(diǎn)為xi，a=x0

(5)

其中h=xi+1-xi,i=-2,-1,…,N+2.

(6)

令η=(x-xi)/h，其中0≤η≤1，代入式(5)得：

(7)

(8)

式(7)代入方程(6)中得：

(9)

其中：αi=q(vi2+wi2)=q[(Reδi-2+26Reδi-1+66Reδi+26Reδi+1+Reδi+2)2+(Imδi-2+26Imδi-1+66Imδi+26Imδi+1+Imδi+2)2],i=0,1,2,…,N.

用Crank-Nicolson方法，得：

(10)

將式(10)代入方程(9)得：

(11)

容易驗(yàn)證式(11)滿足守恒律：

(12)

(13)

式(11)是全隱格式，為了避免求解非線性方程組，對(duì)非線性項(xiàng)進(jìn)行處理,利用Taylor展開式：

經(jīng)過這樣處理后的方程組(11)變?yōu)橐粋€(gè)線性方程組，更利于計(jì)算.

(14)

(15)

k1=I/Δt+10M/h2-αM/2,k2=26I/Δt+20M/h2-13αM,k3=66I/Δt-60M/h2-33αM,k1=k4,k2=k5,

d1=I/Δt-10M/h2+αM,d2=26I/Δt-20Μ/h2+13αM,d3=66I/Δt+60M/h2+33αM,d1=d4,d2=d5,

1.2　初值問題的處理

從而得到如下的矩陣方程組：A0δ0=B0.其中：

2穩(wěn)定性分析

假設(shè)(11)的解的形式是：

(16)

將式(16)代入式(11)得：

根據(jù)Von Neumann穩(wěn)定性分析，說明本文所提供的格式是無條件穩(wěn)定的，這也意味著該格式對(duì)步長h和Δt沒有任何限制，但在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)選擇適當(dāng)小的網(wǎng)格，保證不降低精度.

3數(shù)值例子

例1為了便于比較和簡單起見，取文獻(xiàn)[7]中的例子：

該方程的精確的孤波解為：u(x,t)=sech(x-4t)exp[2ix-3it].定義如下的L2誤差來度量數(shù)值解un和精確解uexact在每一時(shí)間層上的誤差：

取時(shí)間步長和空間步長h=0.01，Δt=0.001，圖1—圖3分別畫出了ReL2、ImL2及模L2在時(shí)間t=20s時(shí)的誤差圖.從中可以看出，隨著時(shí)間的增加，實(shí)部誤差、虛部誤差和模誤差，在大約t∈[0,6]時(shí)誤差是遞增的，但當(dāng)t≥6s之后，誤差將會(huì)在一個(gè)較小的但穩(wěn)定的區(qū)域震蕩，之后基本保持不變或遞減，說明該格式有較好的穩(wěn)定性和較好的精度.圖4給出的原方程關(guān)于能量函數(shù)E1,E2守恒律的驗(yàn)證，其中E1,E2分別表示精確解(2)的能量函數(shù)，EE1,EE2表示數(shù)值解(12)，(13)的計(jì)算值.從圖4可以看出，格式較好地保持了原方程的守恒律.

本文構(gòu)造的計(jì)算方法是一種簡單、有效、具守恒性、有較高精度的格式.

例2設(shè)方程

其精確解是：u(x,t)=e-2ix-3itsech(x-10+4t)+e2ix-3itsech(x-4t).該方程具有孤立子碰撞的現(xiàn)象，用五次B-樣條數(shù)值方法模擬了兩個(gè)孤立解碰撞模型.

從圖5—圖7中可以看出，兩個(gè)孤立子在t=0s兩個(gè)孤立子保持各自的振幅和頻率相向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t=0.5s時(shí)，兩個(gè)孤立子發(fā)生碰撞，當(dāng)t=1s時(shí)，碰撞后兩個(gè)孤立子基本保持原有振幅和頻率相背運(yùn)動(dòng).它的時(shí)空?qǐng)D見圖8.孤立子碰撞是該方程最具特征的性質(zhì)，本文的數(shù)值計(jì)算很好地模擬了這一現(xiàn)象.

4結(jié)論

本文主要運(yùn)用五次B-樣條配置方法求非線性Schr?dinger方程的數(shù)值解，構(gòu)造了一個(gè)時(shí)間具二階精度、空間方向具四階精度的計(jì)算格式.該格式的主要特點(diǎn)是在空間方向的離散采用了五次B-樣條方法，這樣的格式是一個(gè)全隱格式，對(duì)應(yīng)的將需要求解一個(gè)非線性方程組.為克服這一缺點(diǎn)，對(duì)非線性項(xiàng)，利用Taylor展開，將原非線性方程組求解問題降解為只需求解一個(gè)分塊五對(duì)角型的一個(gè)線性方程組，這樣大大減低了計(jì)算量和計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)證明了該格式是無條件穩(wěn)定的.最后通過數(shù)值結(jié)果，驗(yàn)證了該格式的穩(wěn)定性、守恒性、精度等.

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(責(zé)任編輯馬建華英文審校黃振坤)

Numerical Approach of the Nonlinear Schr?dingerEquation by the Quintic B-SplineXIE Ye,LIANG Zong-qi

(School of Science,Jimei University,Xiamen 361021,China)

Abstract:In this paper,the quintic B-spline collocation finite element method is implemented to find numerical solution of the classic cubic nonlinear Schr?dinger equation.The scheme is based on the Crank-Nicolson formulation for time discretization and quintic B-spline functions for space discretization,and the stiffness matrix of the scheme is a block-five-diagonal matrix.The scheme is verified to be unconditionally stable by the method of linear stability analysis.By numerical examples,it is confirmed that the scheme keeps the conservative property of the equation preferably.Finally,the collision of two solitons is simulated.

Key words:nonlinear Schr?dinger equation;B-spline;numerical approach;soliton

[中圖分類號(hào)]O 241.82

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1007-7405(2015)02-0145-09

[作者簡介]謝燁 (1989—)，女，碩士生，從事計(jì)算數(shù)學(xué)方向研究.通訊作者：梁宗旗 (1964—)，男，教授，碩導(dǎo)，從事計(jì)算數(shù)學(xué)方向研究，E-mail:zqliang@jmu.edu.cn.

[基金項(xiàng)目]福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012J01013);福建省高校科研專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(JK2012025)；福建省科技廳重點(diǎn)課題(2014H0034)

[收稿日期]2014-05-15[修回日期] 2014-10-12