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淺談證明不等式的方法

2015-03-10 18:10:03鐘勁松
關(guān)鍵詞:兩圓正數(shù)圖象

鐘勁松

1構(gòu)圖法的歷史

構(gòu)圖法,即構(gòu)造幾何圖形,利用幾何圖形的性質(zhì)來幫助說明不等式.構(gòu)圖法出現(xiàn)已經(jīng)有很長的歷史,可以追溯到十二世紀(jì)的古代中國,希臘和印度.一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為構(gòu)圖法不是一種嚴(yán)格的證明,構(gòu)圖法對于實(shí)際證明毫無價值,證明有且只有一種方式——推理,構(gòu)圖證明是不能夠接受的.但還有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家認(rèn)為,數(shù)學(xué)不僅是邏輯的,還是圖形的,作為數(shù)學(xué)教育工作者,必須把培養(yǎng)學(xué)生的想象能力作為重要的能力之一.數(shù)學(xué)教育家波利亞指出畫圖幫助理解題意,被認(rèn)為是經(jīng)典的教育學(xué)建議.愛因斯坦和龐加萊都認(rèn)為,我們應(yīng)該利用好我們的直覺;美國數(shù)學(xué)家加德納指出,許多情形下,一個平淡的證明加上一個幾何類似圖形,使得證明更加簡單和漂亮,定理的準(zhǔn)確性立見.所有的這些,都說明了構(gòu)圖法對幫助證明的重要性.

2幾個不等式的構(gòu)圖說明

高中數(shù)學(xué)選修模塊45《不等式選講》中的不等式主要有:基本不等式,絕對值不等式,平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,貝努利不等式.中學(xué)階段很多不等式的證明可以利用構(gòu)圖法來理解,下面列舉幾個不等式的構(gòu)圖.

2.1不等式a+b2≥ab(a,b為正數(shù))的構(gòu)圖

不等式表明:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)a+b2不小于它們的幾何平均數(shù)ab,即a+b2≥ab(a,b為正數(shù)),教材中一般構(gòu)造如下的幾何圖形來加強(qiáng)理解.

圖1圖2如圖1所示,在正方形ABCD中,有S△ABC+S△AFM-S矩形ABEF≥0,即a2+b2≥a·b,所以a+b2≥ab.基本不等式的另一種構(gòu)圖,如圖2所示,把半徑不等的兩圓水平放置,且都與直線AB相切,兩圓外切,有OF=a+b2,OE=a-b2.在直角三角形OEF中,利用勾股定理可知EF=ab,因?yàn)镺F>EF,所以a+b2≥ab.圖1~2都說明了不等式a+b2≥ab的幾何意義,并且能直觀地感知當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時“=”成立.

2.2不等式2aba+b

如圖3所示,M為圓A外一點(diǎn),MA與圓A分別相交于P、Q兩點(diǎn),MG,MR分別為圓A的切線和割線,PM=a,QM=b,a>b>0,則有HM

2.3不等式xr-1>r(x-1)的構(gòu)圖

當(dāng)n為正整數(shù),x>-1時,(1+x)n≥1+nx成立,稱為貝努利不等式(Bernoulli inequality),其證明方法通常有數(shù)學(xué)歸納法和利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮.但形如xr-1>r(x-1)的不等式,不能采用類似于證明貝努利不等式的方法進(jìn)行證明,可采用構(gòu)圖法幫助證明.構(gòu)造如圖4所示的圖形,在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=xr-1和y=r(x-1)的圖象,函數(shù)y=xr-1為經(jīng)過(1,0)點(diǎn)的凸函數(shù),函數(shù)y=r(x-1)的圖象是斜率為r,經(jīng)過點(diǎn)(1,0)的直線,且直線y=r(x-1)與y=xr-1的圖象相切,切點(diǎn)為(1,0).因此,當(dāng)r>1,x>0,x≠1時,不等式xr-1>r(x-1)恒成立.

2.4不等式ab

構(gòu)圖來幫助證明分布在數(shù)學(xué)中的各個方面,如代數(shù),幾何,三角,微積分和動態(tài)幾何,不等式,數(shù)列,排列、組合等等.數(shù)學(xué)上許多的定理和概念,都可以用優(yōu)美、簡潔的圖形來表示.老師們應(yīng)該在平時教學(xué)中多注意總結(jié),設(shè)計(jì)更多的圖來幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識,學(xué)好數(shù)學(xué),讓數(shù)學(xué)變得更為直觀.

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