国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

數(shù)列試題的精彩交匯

2015-03-10 18:24:39毛仕理
關(guān)鍵詞:優(yōu)勝者交匯通項(xiàng)

近幾年高考與各省市模擬考試中一些富有時(shí)代氣息的數(shù)列交匯性問題,有同一模塊知識(shí)點(diǎn)的“小交匯”,如等差數(shù)列與等比數(shù)列相交匯在同一題中呈現(xiàn),也有以數(shù)列為主體,橫向聯(lián)系其他知識(shí)模塊、跨度較大的“大交匯”,如數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與三角函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率、數(shù)列與解析幾何、數(shù)列與程序框圖、數(shù)列與應(yīng)用問題等知識(shí)相交匯的問題.此類問題大膽創(chuàng)新、構(gòu)思新穎,難度中等,此時(shí)會(huì)涉及求數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和、數(shù)列的最值等問題.主要考查我們的理解能力和處理交匯性問題的能力.

1數(shù)列與函數(shù)的交匯

例1(2014·廣元市模擬)已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列,a4,a6是函數(shù)f(x)=x2-7x+12的兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{an2n}的前n項(xiàng)和Sn.

分析(1)先求出函數(shù)f(x)=x2-7x+12的兩個(gè)零點(diǎn),由數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列,可求出a4,a6的值,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),求出首項(xiàng)與公差,從而寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{an2n}的前n項(xiàng)和.

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-7x+12的兩個(gè)零點(diǎn)分別為3,4,由題意得a4=3,a6=4.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=12n+1.

(2)由(1),知an2n=n+22n+1,則Sn=322+423+…+n+12n+n+22n+1,所以12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2,所以兩式相減得Sn=2-n+42n+1.

方法點(diǎn)津求解這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,將條件進(jìn)行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化;對于函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),主要利用函數(shù)的單調(diào)性或有界性來求解數(shù)列中的最值.但由于數(shù)列的通項(xiàng)是一類特殊的函數(shù),所以借助函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列問題,一定要注意數(shù)列中的自變量只能取正整數(shù)這一特點(diǎn).

此類交匯性問題的易錯(cuò)點(diǎn)有三處:一是不注意“題眼”而造成增解,如本題“數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列”中的“遞增”兩字未注意,導(dǎo)致求出的a4,a6的解有兩種情形,從而產(chǎn)生增解;二是不注意“符號”而失分,如本題,用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,兩和式相減時(shí),一定要注意作差后最后一項(xiàng)的符號,我們常在此處出錯(cuò),一定要小心;三是忽視“項(xiàng)數(shù)”而失分,對兩式相減后的式子,常需用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和,如本題中,12Sn=34+(123+124…+12n+1)-n+22n+2,用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求123+124…+12n+1時(shí),應(yīng)注意其項(xiàng)數(shù)是“n-1”,不要誤以為項(xiàng)數(shù)是“n-2”或“n+1”.

變式1(2014·資陽市模擬)

已知函數(shù)y=log12nx(n∈N*).

(1)當(dāng)n=1,2,3,…時(shí),把已知函數(shù)的圖像和直線y=1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次記為a1,a2,a3,…,an,….求證:a1+a2+a3+…+an<1;

(2)對于每一個(gè)n值,設(shè)An,Bn為已知函數(shù)圖像上與x軸距離為1的兩點(diǎn),求證n取任意一個(gè)正整數(shù)時(shí),以AnBn為直徑的圓都與一條定直線相切,求出這條定直線的方程和切點(diǎn)坐標(biāo).

解析(1)原函數(shù)可化為y=-1nlog2x,得an=(12)n.所以a1+a2+a3+…+an=1-(12)n<1.

(2)因?yàn)锳n,Bn為已知函數(shù)圖像上與x軸距離為1的兩點(diǎn),所以得An(2n,-1),Bn(2-n,1),所以|AnBn|=2n+12n.所以這條定直線為x=0,又圓心C(2n+2-n2,0)在x軸上,所以切點(diǎn)為(0,0).

2數(shù)列與三角函數(shù)的交匯

例2(2014·攀枝花市模擬)已知函數(shù)f(n)=n2sinnπ2,且an=f(n)+f(n+1),求數(shù)列{an}的前2014項(xiàng)的和S2014.

分析分析sinnπ2的取值規(guī)律是1,0,-1,0,1,0,-1,0,…,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=a1+a3=12-32,同理可得后面連續(xù)四項(xiàng)的取值規(guī)律,這樣可以求得a1+a3++…+a2013,同理可以求得a2+a4+…+a2014.

解析a1+a3+a5+…+a2013=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(2014),

a2+a4+a6+…+a2014=f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015),

所以S2014=a1+a2+a3+a4+…+a2014=-4032.

方法點(diǎn)津分組求和是把數(shù)列之和分為幾組,每組中的各項(xiàng)是可以利用公式(或其他方法)求和的,求出各組之和即得整體之和,這類試題一般有如下幾種情況:(1)數(shù)列是周期數(shù)列,先求出每個(gè)周期內(nèi)的各項(xiàng)之和,然后把整體之和按照周期進(jìn)行劃分,再得出整體之和;(2)奇偶項(xiàng)分別有相同的特征的數(shù)列(如奇數(shù)項(xiàng)組成等差數(shù)列、偶數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列),按照奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分組求和;(3)通項(xiàng)中含有(-1)n的數(shù)列,按照奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組,或者按照項(xiàng)為奇數(shù)、偶數(shù)分類求和.

變式2(2014·廣漢市質(zhì)檢)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,角B所對的邊b=3,且函數(shù)f(x)=23sin2x+2sinxcosx-3在x=A處取得最大值.求△ABC的面積.

解析因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,所以B=π3,A+C=2π3.

因?yàn)閒(x)=23sin2x+2sinxcosx-3=2sin(2x-π3),

又函數(shù)f(x)在x=A處取得最大值,所以2sin(2A-π3)=2,

所以A=5π12,則C=π4.得c=2.又因?yàn)閟in5π12=2+64,所以S△ABC=12bcsinA=3+34.

3數(shù)列與不等式的交匯

例3(2014·南充市模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+Sn=4.

(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;

(2)是否存在正整數(shù)k,使Sk+1-2Sk-2>2成立,若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

解析(1)由題意,知an+Sn=4,an+1+Sn+1=4,兩式相減,得an+1=12an.

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=2,公比為12的等比數(shù)列.

(2)由(1)得an=2·(12)n-1,則Sn=4-22-n.

假設(shè)存在正整數(shù)k,使Sk+1-2Sk-2>2成立,即4-21-k-24-22-k-2>2,整理得1<2k-1<32,

因?yàn)閗∈N*,這與2k-1∈(1,32)相矛盾,故不存在這樣的正整數(shù)k.使已知不等式成立.

方法點(diǎn)津?qū)τ跀?shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型,解答此類問題的一般策略是:先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立,以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理,若由此推出矛盾,則假設(shè)不成立,從而得到“否定”的結(jié)論,即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾,能求得滿足條件的數(shù)值或圖形,就得到肯定的結(jié)論,即得到存在的結(jié)果.

變式3(2014·廣安市模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an(an+2)4(n∈N*).

分析由題意可得事件S8=2表示反復(fù)投擲硬幣,其中出現(xiàn)正面的次數(shù)是5次,事件“S2≠0,S8=2”表示前兩次全正或全負(fù).

解析事件S8=2表示反復(fù)投擲硬幣,其中出現(xiàn)正面的次數(shù)是5次,其概率為P=732,事件“S2≠0,S8=2”表示前兩次全正或全負(fù),則概率為P=13128,故選答案B.

方法點(diǎn)津此題以數(shù)列{an}及其前n項(xiàng)和考查了獨(dú)立性重復(fù)試驗(yàn)事件的概率,解決本題的關(guān)鍵是正確理解事件Sn所表示的意義.

變式5(2014·佛山市模擬)A,B,C三人進(jìn)行乒乓球比賽,優(yōu)勝者按以下規(guī)則決出:(Ⅰ)三人中兩人進(jìn)行比賽,勝出者與剩下的一人進(jìn)行比賽,直到出現(xiàn)兩連勝者,則此兩連勝者被判定為優(yōu)勝者,比賽結(jié)束;(Ⅱ)在每次比賽中,無平局,必須決出勝負(fù).

已知A勝B的概率是23,C勝A的概率是12,C勝B的概率是13,第一場比賽在A與C中進(jìn)行,

(1)分別求出第二場、第三場、第四場比賽后C為優(yōu)勝者的概率;

(2)記第3n-1場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為pn,第3n場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為qn,第3n+1場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為rn,n∈N*,試求pn,qn,rn.

解析(1)由題意知第二場比賽后C為優(yōu)勝者的情況為(C勝A)→(C勝B)→C,故其概率為16;

由題意可知第三場比賽后C不可能為優(yōu)勝者,故其概率為O;

由題意可知第四場比賽后C為優(yōu)勝者的情況為(C負(fù)A)→(B勝A)→(C勝B)→(C勝A)→C,故其概率為136.

(2)第一場A與C的比賽結(jié)果分兩種情況:

①A與C的比賽中C勝出,C如果要成為優(yōu)勝者,接下來的比賽按如下進(jìn)行:

(C勝A)→(C負(fù)B)→(B負(fù)A)→(A負(fù)C)循環(huán)n-1次→(C勝B)→C,(n∈N*,共3n-1場),

對n∈N*,以上比賽進(jìn)行的概率為16·(29)n-1,此時(shí)C在第3n-1場比賽后成為優(yōu)勝者;

②A與C的比賽中A勝出,C如果要成為優(yōu)勝者,接下來的比賽按如下進(jìn)行:

(C負(fù)A)→(A負(fù)B)→(B負(fù)C)→(C負(fù)A)→(A負(fù)B)循環(huán)n-1次→(B負(fù)C)→(C勝A)→C,(n∈N*,共3n+1場),

對n∈N*,以上進(jìn)行的概率為12·(118)n,此時(shí)C在第3n+1場比賽后成為優(yōu)勝者.

綜上所述,C在第3n-1場或者第3n+1場比賽后能成為優(yōu)勝者,在第3n場比賽后不能成為優(yōu)勝者,所以pn=16·(29)n-1,qn=0,rn=12·(118)n,n∈N*.

6數(shù)列與解析幾何的交匯

例6(2014·西昌市模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且點(diǎn)Pn(an,an+1)(n∈N*)在直線x-2y+1=0上,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析由題意可得an和an+1的遞推關(guān)系,再由此遞推關(guān)系得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an,an+1)(n∈N*)在直線x-2y+1=0上,所以an+1=12an+12.

設(shè)存在實(shí)數(shù)λ(λ≠0)使得an+1+λ=12(an+λ)成立,整理比較得λ=-1.

則an+1-1=12(an-1),所以數(shù)列{an-1}是以1為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列.故an=(12)n-1+1.

方法點(diǎn)津數(shù)列與圓錐曲線的交匯是近年高考命題的熱點(diǎn),引起交匯的主要是“點(diǎn)列”,“點(diǎn)”是解析幾何的基本元素,而“列”是數(shù)列的基本特征.把兩者結(jié)合起來,就會(huì)使數(shù)列有機(jī)會(huì)與解析幾何問題形成交匯.解決“點(diǎn)列”問題的關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式,建立數(shù)列的遞推關(guān)系或通項(xiàng)之間的關(guān)系,然后借助數(shù)列知識(shí)進(jìn)行解決.

當(dāng)然“點(diǎn)列”不僅僅是數(shù)列的相鄰的兩項(xiàng)可以作為點(diǎn)的坐標(biāo),和自然數(shù)有關(guān)的式子均可以作為“點(diǎn)列”,如(n,Sn),(n,an),(an,Sn),(an,an+1)等均可以作為“點(diǎn)列”,它們均可以為研究通項(xiàng)公式提供遞推關(guān)系.但求解與曲線的切線相關(guān)的問題時(shí),注意充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

變式6(2014·綿陽市模擬)在平面直角坐標(biāo)系上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2).P3(a3,b3),…,Pn(an,bn),…,對每一個(gè)自然數(shù)n,點(diǎn)Pn(an,bn)在函數(shù)y=x2的圖像上,且點(diǎn)Pn(an,bn),點(diǎn)A(n,0),點(diǎn)B(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以點(diǎn)Pn(an,bn)為頂點(diǎn)的等腰三角形.

(1)求對每一個(gè)自然數(shù)n,以點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)令Cn=12bn-an+n,求C1+C2+C3+…+Cn的值.

解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an,bn)為等腰三角形的頂點(diǎn),所以由|PnA|=|PnB|,可得an=n+12.

因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an,bn)在函數(shù)y=x2的圖像上,所以bn=n2+n+14.

(2)因?yàn)镃n=12bn-an+n=12n2+2n=12(1n-1n+1),所以C1+C2+C3+…+Cn=12(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=n2n+2.

7數(shù)列與應(yīng)用問題的交匯

例7(2014·成都市模擬)某旅游景點(diǎn)2013年利潤為205萬元,因市場競爭,若不開發(fā)新的項(xiàng)目,預(yù)測從2014年起每年利潤比上一年減少10萬元.2014年初,該景點(diǎn)一次性投入150萬元開發(fā)新項(xiàng)目,預(yù)測在未扣除開發(fā)所投入資金的情況下,第n年(n為正整數(shù),2014年為第1年)的利潤為200(1+13n)萬元.

(1)設(shè)從2014年起的前n年,該景點(diǎn)不開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤為An萬元,開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤為Bn萬元(需扣除開發(fā)所投入資金),求An,Bn的表達(dá)式;

(2)依上述預(yù)測,該景點(diǎn)從第幾年開始,開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤超過不開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤?

分析(1)依題意可得An是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,Bn可由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解;(2)利用數(shù)列的單調(diào)性來解答.

解析(1)依題意,An是首項(xiàng)為195,公差為-10的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,

所以An=n(195+205-10n)2=200n-5n2.

因?yàn)閿?shù)列{200(1+13n)}的前n項(xiàng)和為200n+100[1-(13)n],所以Bn=200n-50-1003n.

(2)由(1)得Bn-An=5n2-50-1003n,易知{Bn-An}是遞增數(shù)列.觀察并計(jì)算知B3-A3<0,B4-A4=30-10081>0,

所以從第4年開始,開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤超過不開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤.

方法點(diǎn)津(1)此類問題的解題思路:仔細(xì)閱讀所給材料,認(rèn)真理解題意,將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)語言并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,是求通項(xiàng)問題還是求項(xiàng)數(shù)問題,或是求和問題等,并建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型求解.(2)一般涉及遞增率,要用等比數(shù)列,涉及依次增加或者減少,要用等差數(shù)列,有的問題是通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列,在解決問題時(shí)要向這些方面思考.

常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法

(1)產(chǎn)值模型:原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,對于時(shí)間n的總產(chǎn)值y=N(1+p)n.

(2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式:按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和y=a(1+r)n.

(3)銀行儲(chǔ)蓄單利公式:利息按單利計(jì)算,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和y=a(1+nr).

(4)分期付款模型:a為貸款總額,r為年利率,b為等額還款數(shù),則b=r(1+r)na(1+r)n-1.

變式7(2014·內(nèi)江市模擬)小李2014年底花100萬元買了一套住房,其中首付30萬元,70萬元采用貸款.貸款的月利率為0.5%,按復(fù)利計(jì)算,從貸款后的次月開始還貸,且每月等額還貸,10年還清.試求每月應(yīng)還貸約為多少元?(參考數(shù)據(jù):(1+0.005)120≈1.8)

解析設(shè)每月應(yīng)還貸x元,共付款12×10=120(次),則有

x[1+(1+0.005)+(1+0.005)2+…+(1+0.005)119]=700000×(1+0.005)120,所以x≈7875.

所以每月應(yīng)還貸約為7875元.

上述是其他的知識(shí)點(diǎn)與數(shù)列知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用.命制出這樣的知識(shí)點(diǎn)交叉的數(shù)學(xué)試題,不僅考查我們的數(shù)列相關(guān)知識(shí)的掌握情況,同時(shí)也考查了與之綜合運(yùn)用的其他數(shù)學(xué)知識(shí),還能夠考查一些在解決問題過程中靈活運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的所謂“融會(huì)貫通”就是指將數(shù)學(xué)中不同的知識(shí)進(jìn)行相互融合的能力,也是培養(yǎng)我們數(shù)學(xué)能力的一種重要手段.

作者簡介毛仕理,男,1963年生,四川省特級教師,主持并參與國家,省、市級6個(gè)課題研究,其中兩項(xiàng)教學(xué)成果獲省市政府獎(jiǎng),出版教學(xué)專著五部,在《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等三十多學(xué)術(shù)期刊發(fā)表論文.

猜你喜歡
優(yōu)勝者交匯通項(xiàng)
抄句子
青年文摘(2022年6期)2022-12-10 14:31:27
“六?一”兒童節(jié)
數(shù)列通項(xiàng)與求和
n分奇偶時(shí),如何求數(shù)列的通項(xiàng)
巧求等差數(shù)列的通項(xiàng)
兩水交匯,涇渭分明
求數(shù)列通項(xiàng)課教學(xué)實(shí)錄及思考
三角的交匯創(chuàng)新問題
聚焦離散型隨機(jī)變量的交匯創(chuàng)新
動(dòng)起來!
健康女性(2017年2期)2017-04-27 11:47:51
土默特右旗| 乌拉特后旗| 桦川县| 盐亭县| 阳江市| 林芝县| 高要市| 沽源县| 常宁市| 凤山市| 新源县| 瓦房店市| 金川县| 东城区| 蚌埠市| 深圳市| 平塘县| 井研县| 永登县| 黑水县| 丹阳市| 南宫市| 米林县| 潜山县| 凤冈县| 连州市| 柳林县| 盐亭县| 东阿县| 闻喜县| 大姚县| 灵寿县| 浦江县| 陇川县| 凤翔县| 平塘县| 仁寿县| 塘沽区| 出国| 台东县| 民乐县|