甘志國
一、選擇題(每題5分,共60分)
1.設(shè)集合A={x∈Rx+1≥2},集合{-2,-1,0,1,2},則A∩B=().
A.{2}B.{1,2}
C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}
2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)21-i-i3對應(yīng)的點(diǎn)位于().
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
第3題圖3.閱讀程序框圖,如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[14,12]內(nèi),則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是().
A.(-∞,-2]
B.[-2,-1]
C.[-1,2]
D.[2,+∞)
4.若不等式組x≥0,
x+3y≥4,
3x+y≤4,所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+43分為面積相等的兩部分,則k=().
A.73B.37C.43D.34
5.在樣本的頻率分布直方圖中,共有11個(gè)小長方形,若中間一個(gè)小長方形的面積等于其它10個(gè)小長方形的面積和的14,且樣本容量為160,則中間一組的頻數(shù)為().
A.32B.02C.40D.025
6.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n=().
A.5B.6C.7D.8
7.6個(gè)人站成一排,其中甲、乙必須站在兩端,且丙、丁相鄰,則不同站法的種數(shù)為().
A.12B.18C.24D.36
8.若直線x=1+t
y=a-t(t為參數(shù))被圓x=2+2cosα
y=2+2sinα(α為參數(shù))所截得的弦長為22,則a=().
A.1或5B.-1或5
C.1或-5D.-1或-5
9.若0
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
10.如圖所示,邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸、y軸正半軸上移動(dòng),則OB·OC的最大值是().
A.2B.1+2C.πD.4
第10題圖第11題圖11.如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=22,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是().
A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A—BEF的體積為定值
D.異面直線AE,BF所成的角為定值
12.對任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算“⊙”:a⊙b=b,a-b≥1,
a,a-b<1,設(shè)f(x)=(x2-1)⊙(4+x)+k,若函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有三個(gè)公共點(diǎn),則k的取值范圍是().
A.(-2,1)B.[0,1]
C.[-2,0)D.[-2,1)
二、填空題(每題4分,共16分;最后一題每空2分)
第13題圖13.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積的最小值為.
14.若過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A,B兩點(diǎn),且AF=2,則BF=.
16.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)P是正方體棱上一點(diǎn)(不包括棱的端點(diǎn)),PA+PC1=m.
①若m=2,則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為;
②若滿足PA+PC1=m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6,則m的取值范圍是.
三、解答題(前5題每題12分,最后1題14分)
17.在銳角△ABC中,a=2bsinA.
(1)求B的大??;
(2)求cosA+sinC.
第18題圖18.“你低碳了嗎?”這是某市為倡導(dǎo)建設(shè)資源節(jié)約型社會(huì)而發(fā)布的公益廣告里的一句話.活動(dòng)組織者為了解這則廣告的宣傳效果,隨機(jī)抽取了100名年齡段在[10,20),[20,30),…,[50,60)的市民進(jìn)行問卷調(diào)查,由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30,40)的人數(shù);
(2)從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人,求[50,60)年齡段抽取的人數(shù);
(3)從按(2)中方式得到的8人中再抽取3人作為本次活動(dòng)的獲獎(jiǎng)?wù)?,記X為年齡在[50,60)年齡段的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
第19題圖19.如圖,四棱錐E—ABCD中,平面EAD⊥平面ABCD,DC∥AB,BC⊥CD,EA⊥ED,且AB=4,BC=CD=EA=ED=2.
(1)求證:BD⊥平面ADE;
(2)求直線BE和平面CDE所成角的正弦值;
(3)在線段CE上是否存在一點(diǎn)F使得平面BDF⊥平面CDE,請說明理由.
20.已知函數(shù)f(x)=2alnx-x2+1.
(1)若a>0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值;
(2)若f(x)≤0(x≥1)恒成立,求a的最大值.
21.已知橢圓x2a2+y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且離心率為63.
(1)求橢圓方程;
(2)斜率為k的直線l過點(diǎn)F,且與橢圓交于A,B兩點(diǎn),P為直線x=3上的一點(diǎn),若△ABP為等邊三角形,求直線l的方程.
22.(1)設(shè)數(shù)列{an}由a1=5,a2=23,an+2=5an+1-an(n∈N*)確定.
①求證an+1-5-212an是等比數(shù)列;
②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)若把無理數(shù)5+2122015寫成小數(shù),求其個(gè)位數(shù)字及十分位、百分位、千分位上的數(shù)字.
參考答案
1-12:BABAADCABACD
13.6+2314215.1+2ln2416.6,(3,5)
17.(1)由a=2bsinA及正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB=12.再由△ABC為銳角三角形得B=π6.
(2)cosA+sinC=cosA+sin(π-π6-A)=cosA+sin(π6+A)=cosA+12cosA+32sinA=3sin(A+π3).
由△ABC為銳角三角形知A的取值范圍是π3,π2,進(jìn)而可得cosA+sinC的取值范圍為32,32.
18.(1)1-10×(0.020+0.025+0.015+0.005)=0.35,100×0.35=35,即隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30,40)的人數(shù)為35.
(2)100×0.15=15,100×0.05=5,所以5×820=2,即抽取的8人中[50,60)年齡段抽取的人數(shù)為2.
(3)X的所有可能取值為0,1,2.
P(X=0)=C36C38=514;P(X=1)=C12C26C38=1528;P(X=2)=C22C16C38=328.所以X的分布列為
X012P5141528328得X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0·514+1·1528+2·328=34.
19.(1)由BC⊥CD,BC=CD=2,可得BD=22.由EA⊥ED,且EA=ED=2,可得AD=22.
又AB=4,所以BD⊥AD.
又平面EAD⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD⊥平面ADE.
(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.
得D(0,0,0),B(0,22,0),C(-2,2,0),E(2,0,2),所以BE=(2,-22,2),DE=(2,0,2),DC=(-2,2,0).
可求得平面CDE的一個(gè)法向量是n=(1,1,-1).
設(shè)直線BE與平面CDE所成的角為α,得
sinα=|cos
即直線BE和平面CDE所成角的正弦值為23.
(3)設(shè)CF=λCE,λ∈[0,1],得DC=(-2,2,0),CE=(22,-2,2),DB=(0,22,0),所以DF=DC+CF=DC+λCE=2(2λ-1,-λ+1,λ).
設(shè)平面BEF一個(gè)法向量是m,可求得m=(1,0,-2λ-1λ).若平面BEF⊥平面CDE,則m·n=0,即1+2λ-1λ=0,λ=13,λ∈[0,1].所以在線段CE上存在一點(diǎn)F使得平面BEF⊥平面CDE.
20.(1)f′(x)=2ax-2x=-2(x2-a)x,x>0.
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為f(1)=0.
②當(dāng)a>1,即a>1時(shí),x在[1,+∞)上變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表
x1(1,a)a(a,+∞)f′(x)+0-f(x)0↗alna-a+1↘所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為f(a)=alna-a+1.
綜上所述:當(dāng)01時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為f(a)=alna-a+1.
(2)當(dāng)a≤0時(shí),可證函數(shù)f(x)是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為f(1)=0,即a≤0滿足題設(shè).
當(dāng)a>1時(shí),由于f(x)在區(qū)間[1,a]上是增函數(shù),所以f(a)>f(1)=0,即在區(qū)間[1,+∞)上存在x=a使得f(x)>0.
綜上所述,a的最大值為1.
21.(1)依題意有c=2,ca=63,可得a2=6,b2=2.所以所求橢圓的方程為x26+y22=1.
(2)直線l的方程為y=k(x-2).聯(lián)立方程組y=k(x-2),
x26+y22=1.消去y并整理得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),得x1+x2=12k23k2+1,x1x2=12k2-63k2+1,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=26(k2+1)3k2+1.
設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),得x0=6k23k2+1,y0=-2k3k2+1.得直線MP的斜率為-1k,又xP=3,所以MP=1+1k2·x0-xP=k2+1k2·3(k2+1)(3k2+1).當(dāng)△ABP為正三角形時(shí),|MP|=32|AB|,即k2+1k2·3(k2+1)(3k2+1)=32·26(k2+1)3k2+1.解得k=±1.即直線l的方程為x-y-2=0,或x+y-2=0.
22.(1)①對于任意的實(shí)數(shù)x(x≠5),有
an+2-xan+1=(5-x)an+1-15-xan,
令x=15-x,得x=5±212.所以,當(dāng)x=5±212時(shí),有an+2-xan+1=(5-x)(an+1-xan),進(jìn)而可得{an+1-xan}是首項(xiàng)為23-5x、公比為5-x的等比數(shù)列,得欲證成立.
②由以上解答,得
an+1-5-212an=21+52125+212n-1=215+212n
an+1-5+212an=21-52125-212n-1=-215-212n
解這個(gè)關(guān)于an+1、an的方程組,得
an=5+212n+5-212n
(2)因?yàn)閿?shù)列an由a1=5,a2=23,an+2=5an+1-an(n∈N*)確定,所以由數(shù)學(xué)歸納法可證數(shù)列an是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均是正整數(shù).
又因?yàn)?<5-212<1,所以a2015是大于5+2122015的最小整數(shù),即a2015=5+2122015+1(這里[a]表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分)5+2122015的個(gè)位數(shù)字即5+2122015也即a2015-1被10除所得的余數(shù).由于數(shù)列{an}由a1=5,a2=23,an+2=5an+1-an(n∈N*)確定,得{an}的各項(xiàng)被10除所得的余數(shù)依次是5,3,0,7,5,8,5,7,0,3,5,2,5,3,…
所以該數(shù)列是以12為周期的周期數(shù)列,又2015被12除所得的余數(shù)是11(因?yàn)?016是12的倍數(shù)),所以a2015被10除所得的余數(shù)即a11被10除所得的余數(shù)5,得5+2122015的個(gè)位數(shù)字是5-1=4.
因?yàn)?<5-212<14,所以0<5-2122015<142015<11000,0.999<1-5-2122015<1,即1-5-2122015=0.999….
又a2015=5+2122015+5-2122015是正整數(shù),所以5+2122015=(a2015-1)+1-5-2122015=(a2015-1)+0.999…,即5+2122015的個(gè)位數(shù)字是4,十分位、百分位、千分位上的數(shù)字均是9.