甘志國
一、選擇題(每題5分,共60分)
1.設(shè)集合A={x∈Rx+1≥2},集合{-2,-1,0,1,2},則A∩B=().
A.{2}B.{1,2}
C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}
2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)21-i-i3對應(yīng)的點(diǎn)位于().
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
第3題圖3.閱讀程序框圖,如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[14,12]內(nèi),則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是().
A.(-∞,-2]
B.[-2,-1]
C.[-1,2]
D.[2,+∞)
4.若不等式組x≥0,
x+3y≥4,
3x+y≤4,所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+43分為面積相等的兩部分,則k=().
A.73B.37C.43D.34
5.在樣本的頻率分布直方圖中,共有11個(gè)小長方形,若中間一個(gè)小長方形的面積等于其它10個(gè)小長方形的面積和的14,且樣本容量為160,則中間一組的頻數(shù)為().
A.32B.02C.40D.025
6.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n=().
A.5B.6C.7D.8
7.6個(gè)人站成一排,其中甲、乙必須站在兩端,且丙、丁相鄰,則不同站法的種數(shù)為().
A.12B.18C.24D.36
8.若直線x=1+t
y=a-t(t為參數(shù))被圓x=2+2cosα
y=2+2sinα(α為參數(shù))所截得的弦長為22,則a=().
A.1或5B.-1或5
C.1或-5D.-1或-5
9.若0 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 10.如圖所示,邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸、y軸正半軸上移動(dòng),則OB·OC的最大值是(). A.2B.1+2C.πD.4 第10題圖第11題圖11.如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=22,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(). A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCD C.三棱錐A—BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值 12.對任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算“⊙”:a⊙b=b,a-b≥1, a,a-b<1,設(shè)f(x)=(x2-1)⊙(4+x)+k,若函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有三個(gè)公共點(diǎn),則k的取值范圍是(). A.(-2,1)B.[0,1] C.[-2,0)D.[-2,1) 二、填空題(每題4分,共16分;最后一題每空2分) 第13題圖13.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積的最小值為. 14.若過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A,B兩點(diǎn),且AF=2,則BF=.
22.(1)設(shè)數(shù)列{an}由a1=5,a2=23,an+2=5an+1-an(n∈N*)確定.
①求證an+1-5-212an是等比數(shù)列;
②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)若把無理數(shù)5+2122015寫成小數(shù),求其個(gè)位數(shù)字及十分位、百分位、千分位上的數(shù)字.
參考答案
1-12:BABAADCABACD
13.6+2314215.1+2ln2416.6,(3,5)
17.(1)由a=2bsinA及正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB=12.再由△ABC為銳角三角形得B=π6.
(2)cosA+sinC=cosA+sin(π-π6-A)=cosA+sin(π6+A)=cosA+12cosA+32sinA=3sin(A+π3).
由△ABC為銳角三角形知A的取值范圍是π3,π2,進(jìn)而可得cosA+sinC的取值范圍為32,32.
18.(1)1-10×(0.020+0.025+0.015+0.005)=0.35,100×0.35=35,即隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30,40)的人數(shù)為35.
(2)100×0.15=15,100×0.05=5,所以5×820=2,即抽取的8人中[50,60)年齡段抽取的人數(shù)為2.
(3)X的所有可能取值為0,1,2.
P(X=0)=C36C38=514;P(X=1)=C12C26C38=1528;P(X=2)=C22C16C38=328.所以X的分布列為
X012P5141528328得X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0·514+1·1528+2·328=34.
19.(1)由BC⊥CD,BC=CD=2,可得BD=22.由EA⊥ED,且EA=ED=2,可得AD=22.
又AB=4,所以BD⊥AD.
又平面EAD⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD⊥平面ADE.
(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.
得D(0,0,0),B(0,22,0),C(-2,2,0),E(2,0,2),所以BE=(2,-22,2),DE=(2,0,2),DC=(-2,2,0).
可求得平面CDE的一個(gè)法向量是n=(1,1,-1).
設(shè)直線BE與平面CDE所成的角為α,得
sinα=|cos
即直線BE和平面CDE所成角的正弦值為23.
(3)設(shè)CF=λCE,λ∈[0,1],得DC=(-2,2,0),CE=(22,-2,2),DB=(0,22,0),所以DF=DC+CF=DC+λCE=2(2λ-1,-λ+1,λ).
設(shè)平面BEF一個(gè)法向量是m,可求得m=(1,0,-2λ-1λ).若平面BEF⊥平面CDE,則m·n=0,即1+2λ-1λ=0,λ=13,λ∈[0,1].所以在線段CE上存在一點(diǎn)F使得平面BEF⊥平面CDE.
20.(1)f′(x)=2ax-2x=-2(x2-a)x,x>0.
①當(dāng)a≤1,即0 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為f(1)=0. ②當(dāng)a>1,即a>1時(shí),x在[1,+∞)上變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表 x1(1,a)a(a,+∞)f′(x)+0-f(x)0↗alna-a+1↘所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為f(a)=alna-a+1. 綜上所述:當(dāng)01時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為f(a)=alna-a+1. (2)當(dāng)a≤0時(shí),可證函數(shù)f(x)是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為f(1)=0,即a≤0滿足題設(shè).