李廣修

全面的多角度的分析高考數(shù)學(xué)試題中的“超級難題”的因由，探討如何進一步科學(xué)、規(guī)范命題，進而促進中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更加合理、有效，是一件很有意義的事情.本文以江蘇省2014年高考數(shù)學(xué)附加題的壓軸題（以下簡稱蘇題）為例，試圖作出一些分析和討論，以期拋磚引玉.

1“超級難題”的因由分析

蘇題已知函數(shù)f0（x）=sinxx（x>0），設(shè)fn（x）為fn-1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N*.

（1）求2f1π2+π2f2π2的值；

（2）證明：對任意的n∈N*，等式nfn-1π4+π4fnπ4=22成立.

該題旨在考查簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查探究能力及運用數(shù)學(xué)歸納法的推理論證能力.該題滿分10分，但省均分不足2分；幾十萬考生，少見能夠做出第二小題的；數(shù)學(xué)教師中的解題高手，也大都做不出來第二小題.那么，第二小題緣何成為“超級難題”？

1.1情景較為陌生

蘇題通過數(shù)列記號、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)來表征函數(shù)列.函數(shù)列{fn（x）}在本質(zhì)上屬于二元函數(shù)，其自變量為x和n，絕大多數(shù)考生對于二元函數(shù)的認知幾乎是一張白紙，一下子讓他們懂得其意義，是不現(xiàn)實的.對于用符號與變元表征的對象，從感知到理解，再到運用，需要一定過程.再者，考生對證明函數(shù)恒等式這樣的命題結(jié)構(gòu)也不甚習(xí)慣.還有，因為要證明的等式nfn-1π4+π4fnπ4=22是用具體值包裝的，把本質(zhì)性的一般化關(guān)系給掩蓋住了，考生需要先去證明一個加強的命題，進而再證明一個弱化的命題，這也增加了推理難度.有部分考生曾經(jīng)做過：已知函數(shù)f（x）=sinx，記f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x）…，fn+1（x）=fn′（x），則fn（x）=，陌生感可能會小一些.

1.2探究函數(shù)列{fn（x）}的通項表達式比較困難

弄明白了符號表征的考生，按慣常的思路，先算出函數(shù)列{fn（x）}的前幾項，通過歸納得出函數(shù)列通項表達式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，基本上都是無功而返.其原因有三：一是運算量大、運算要求高.求函數(shù)列{fn（x）}的前兩項的運算較為簡單，但求第三項、第四項的運算就很復(fù)雜了，要用到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、冪函數(shù)三種類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要用到和、積導(dǎo)數(shù)運算法則.使用歸納法，避不開算出前幾項，只有準確無誤地算出前幾項，才有可能歸納出函數(shù)列{fn（x）}的通項表達式.有些學(xué)生可能需要算出第五項，才有可能發(fā)現(xiàn)函數(shù)列通項的端倪..二是很不容易概括函數(shù)列{fn（x）}的通項的表達式.函數(shù)列的前四項依次為：f1（x）=-x-2sinx+x-1cosx，f2（x）=2x-3sinx-2x-2cosx-x-1sinx，f3（x）=-6x-4sinx+6x-3cosx+3x-2sinx-x-1cosx，f4（x）=24x-5sinx-24x-4cosx-12x-3sinx+4x-2cosx+x-1sinx，要想概括出函數(shù)列{fn（x）}的通項的表達式，需要綜合地分析、評判出函數(shù)列{fn（x）}的前四項中的三角函數(shù)、冪函數(shù)、排列數(shù)、正負號的組織結(jié)構(gòu)；需要作出合適變形，以形成統(tǒng)一性.能夠正確地獲得fn（x）的表達式（-1）-n[Annx-n-1sinx-AnnA11x-ncosx-AnnA22x-n+1sinx+…+AnnAnnx-1sin（x-nπ2）]，是著實不易的.三是考試時間不足.江蘇省高考理科考生需要做附加題，要在30分鐘時間內(nèi)做四道解答題，其中選做題兩道，必做題兩道.選做的兩道題是從平面幾何、不等式、矩陣與幾何變換、極坐標與參數(shù)方程（各一道題）這四道題中自主選取兩道.盡管兩道選做題很容易，但也要耗費一些時間.2014年江蘇高考數(shù)學(xué)附加題必做題的第一題，考查排列與組合、離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望，需要縝密的分類、正確的運算求解，耗時也不少.對于絕大多數(shù)理科考生，做完前三題，剩余時間不多.對于第四題蘇題，求函數(shù)列{fn（x）}的通項運算繁復(fù)，比如算函數(shù)列的第四項，需要算導(dǎo)數(shù)8次，合并同類項三次，能力極強的考生用此方法也難以在考試時限內(nèi)完全解答出第二小題.

1.3考生缺少探尋函數(shù)列的遞推關(guān)系的意識和能力

高考對于數(shù)列的考查，通常是考查求通項公式、前n項和、最大（?。╉棧C明數(shù)列的性質(zhì)如單調(diào)性、等差、等比等.如果涉及遞推數(shù)列，通常會給出遞推關(guān)系.而解答蘇題的最有效方法是通過尋求函數(shù)列{fn（x）}的遞推關(guān)系來解決.求數(shù)列的遞推關(guān)系，對學(xué)生來說是異常困難的.筆者曾經(jīng)讓學(xué)生解答“對于給定的大于2的正整數(shù)n，由1，2，3，…，n排成的數(shù)列滿足：任意一項要么都大于它之前的所有項，要么都小于它之前的所有項，這樣的數(shù)列有多少個？”，學(xué)生們找到遞推關(guān)系用了很長時間.況且，對于遞推數(shù)列的教學(xué)要求，2002年的《普通高中教學(xué)大綱》曾明確規(guī)定，“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項”，而新的《普通高中課程標準（實驗）》則對遞推數(shù)列沒有提出明確的教學(xué)要求.從這種角度講，考生缺少探尋數(shù)列的遞推關(guān)系的意識和能力，是正常的.

1.4該題探尋函數(shù)列的遞推關(guān)系最為技巧、有效的解法是命題組所給出的參考方法：由已知，得xf0（x）=sinx，等式兩邊分別對x求導(dǎo)，得f0（x）+xf′0（x）=cosx，即f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+π2），2f1（x）+xf2（x）=-sinx=sin（x+π），3f2（x）+xf3（x）=-cosx=sin（x+3π2），4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1（x）+xfn（x）=sin（x+nπ2），對所有的n∈N*都成立（下略）.由“f0（x）=sinxx（x>0）”，到“xf0（x）=sinx”，再到“對等式xf0（x）=sinx的兩邊分別對x求導(dǎo)”，不斷地對新得到的等式分別對x求導(dǎo)，概括出函數(shù)列{fn（x）}的遞推關(guān)系，確實是神來之筆.然而此法太偏，除極個別考生外根本不可能想到.蘇教版普通高中數(shù)學(xué)教材中的閱讀材料“算兩次”，有從等式出發(fā)，等式兩邊分別對x求導(dǎo)的例子；2008年江蘇高考數(shù)學(xué)附加題，所用的解法也是對含變量的等式兩邊分別求導(dǎo)，然后再賦值證明組合恒等式，但這兩題都有所鋪墊，都是直接的導(dǎo)數(shù)運算，部分學(xué)生還是可為之的.《普通高中課程標準（實驗）》對于導(dǎo)數(shù)教學(xué)的要求是理解導(dǎo)數(shù)概念，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，直接運用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值、極值，求函數(shù)圖象的切線，求函數(shù)的零點個數(shù)，求簡單的實際問題的最值，證明簡單的不等式等.這就是說，要求學(xué)生在導(dǎo)數(shù)方面僅是操作性理解、關(guān)系性理解，而將“f0（x）=sinxx（x>0）”變形成“xf0（x）=sinx”，通過積的導(dǎo)數(shù)運算，巧妙地導(dǎo)出f0（x）與f1（x）的遞推關(guān)系，這是對導(dǎo)數(shù)運算法則的靈活應(yīng)用，這便是遷移性理解了，考生是難以達到這樣的水平的.

2命題改進的三點建議

由于高考事關(guān)社會穩(wěn)定，事關(guān)考生前途，事關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)可持續(xù)發(fā)展，事關(guān)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，所以高考數(shù)學(xué)命題應(yīng)該以考綱為依據(jù)，從中學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，通過考題準確詮釋高中數(shù)學(xué)課程標準，確?？疾槿?、區(qū)分度良好、穩(wěn)妥漸進，絕不可輕易的拿考題作“試驗田”.我們有如下三點建議：

2.1第一，不刻意設(shè)計中學(xué)從沒有用過的方法.高考命題組設(shè)計出其解法是中學(xué)從沒有用過的題目，或許目的是為了考查考生的應(yīng)變能力、創(chuàng)新能力.但這樣的愿望往往很難實現(xiàn).因為考試限定了考試時間，所用的解決問題的知識必須是中學(xué)所學(xué)的，所用的解決問題的方法也必須是中學(xué)生能夠理解的，這和創(chuàng)新的本質(zhì)要求之一——用什么知識、用什么方法來解決問題是無法預(yù)判的，有著顯著區(qū)別.一般地，考試只能考查出和創(chuàng)新能力密切相關(guān)的遷移能力、綜合應(yīng)用知識能力、突破思維定勢的品質(zhì).如果高考命題一味地想設(shè)計出其解法是中學(xué)沒有用過的試題，很容易劍走偏鋒，命制出偏題、怪題來，使得題目越來越難.再者，考中學(xué)很少用過的方法，這樣的方法必是“冷僻”的方法，而絕大多數(shù)非常優(yōu)秀的考生也會和數(shù)學(xué)比較差的考生一樣，在考試時想不到，這就會造成絕大多數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)秀的考生的資質(zhì)、投入與考試成績非正相關(guān)，考試信度差，影響高考數(shù)學(xué)的公平公正.長此以往，給人感覺“難題反正做不出來，再努力也是白搭功夫，還不如集中精力做基礎(chǔ)題、中檔題”.現(xiàn)在許多老師確實受此影響，不是去想方設(shè)法促進學(xué)生跳一跳摘桃子，而是去反反復(fù)復(fù)訓(xùn)練基本題、中檔題，不斷地給學(xué)生灌輸，在高考時看都不要看××題，對××大題只做第一小題，罔顧學(xué)生思維水平的發(fā)展、提高了.而且，考查考生的創(chuàng)新素養(yǎng)，不只可以通過考查考生從沒有用過的方法，也可以通過其它調(diào)控手段，比如在理性思維的深廣度，信息的捕捉與篩選，新穎設(shè)問的應(yīng)對，不同領(lǐng)域知識的有機融合等方面去挖掘，去設(shè)計出新穎考試題.

2.2考查中學(xué)從沒有用過的方法要適當?shù)匿亯|.

如果高考考查中學(xué)生沒有用過的方法，就要增設(shè)鋪墊.對于蘇題，我們可以將第一小題的計算換成證明f0（x）+xf1（x）=sin（x+π2），其余不變.變動后，有三點益處，一是第一小題變得簡捷，運算量也小了，自然也就提高了第一小題的得分率.并且，第一小題的證明方法至少有兩種難易程度差不多的方法，一種是直接對f0（x）求導(dǎo)后代入，另一種是通過將“f0（x）=sinxx（x>0）”變形成“xf0（x）=sinx”，等式的兩邊分別對x求導(dǎo)；二是為第二小題的解決做出鋪墊，由于有第一問的“腳手架”，有理由相信多數(shù)非常優(yōu)秀的考生會從第一小題的結(jié)論，頓悟出直接從f0（x）+xf1（x）=cosx出發(fā)，等式兩邊分別對x求導(dǎo)；三是兩個小題，前后呼應(yīng)，更有整體性結(jié)構(gòu).當然，也可以將已知函數(shù)f（x）=sinxx（x>0）中的sinx換成ex，并對兩個小題作相應(yīng)的改動.這樣的改動，運算會簡單一些，歸納函數(shù)列{fn（x）}的通項的表達式要容易一些，且使得第2小題的證明方法會更多一些，既可以用歸納法，又可以用遞推關(guān)系法.上述的兩種變更，都沒有改變考查的主要目的，但卻提高了考試的信度、區(qū)分度.

23考題的表述應(yīng)多一些平實.現(xiàn)在，高考試題中的數(shù)學(xué)文化題，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，數(shù)學(xué)信息遷移題（新定義題）量不在少數(shù).這三種類型的試題，難免附著較大文字量，對它們的表述就需要命題者特別注意“陽春白雪”和“下里巴人”兼顧，既保證簡練、準確、數(shù)學(xué)味濃，比如用符號、集合用語敘述，又要讓考生容易理解題目的意思.比如，信息遷移題，對考查考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能很適用，但是不可以用過多的符號、變元、術(shù)語干擾考生的數(shù)學(xué)閱讀.我們知道，對于陌生的定義，要理解它，就要能順利地認讀、感知、分析、理解材料中的每個數(shù)學(xué)術(shù)語、圖表和符號的含義，對問題的表征“用自己的語言來敘述出來”，并能根據(jù)數(shù)學(xué)原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，最后達到對材料的本真理解，形成對問題的整體領(lǐng)會.倘若用過多的符號、變元、術(shù)語去包裝題目，考生很難有時間去看懂它，領(lǐng)會它.所以，規(guī)范的、平實易懂的表述試題是必須的.另外，對于數(shù)學(xué)文化題，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，數(shù)學(xué)信息遷移題是以小題面目出現(xiàn)，還是以大題面目出現(xiàn)，對試題的表述的要求不盡相同.如果是大題，考查的目標就會多一些，就更應(yīng)該把試題表述得淺近一些.不然的話，想考查的便無從考查出來.還有，從人文關(guān)懷角度出發(fā)，也要讓考生能看懂試題，考生連試題都看不懂，將情何以堪？