張立俊，楊麗蕓，劉春菊，仇計(jì)清，叢 悅，鮑冬冬

(1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018;2.石家莊鐵道大學(xué)四方學(xué)院，河北石家莊050228)

切換系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng)，它是由若干子系統(tǒng)和描述它們之間聯(lián)系的切換規(guī)則組成。根據(jù)恰當(dāng)?shù)那袚Q規(guī)則可以使系統(tǒng)獲得較好的性能，例如，2個(gè)不穩(wěn)定的子系統(tǒng)可以通過(guò)適當(dāng)?shù)那袚Q規(guī)則使得系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定［1］。因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)本身就包含了時(shí)滯和不確定性，而這些時(shí)滯和不確定性是造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的主要原因［2］。因此，人們對(duì)不確定時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛的研究［3-6］。在控制這一類系統(tǒng)的時(shí)候，人們希望既可以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又可以獲得一定的魯棒性能。在這種研究背景下，文獻(xiàn)［7］提出了保性能控制的思想，即設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得該閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有的不確定性，既保持魯棒穩(wěn)定性，又保證其給定的性能指標(biāo)小于某一上界。對(duì)于保性能控制問(wèn)題已經(jīng)取得了豐富的研究成果［8-11］。文獻(xiàn)［12］為了給不確定時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)魯棒保性能控制器，提出了利用Riccati方程的方法。而文獻(xiàn)［13］將最優(yōu)保性能控制器的設(shè)計(jì)歸結(jié)為具有LMIs約束的凸優(yōu)化問(wèn)題。

近幾十年來(lái)，奇異系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛地?cái)U(kuò)展到電力、經(jīng)濟(jì)等系統(tǒng)中，因?yàn)閼?yīng)用奇異模型描述問(wèn)題來(lái)比其他系統(tǒng)模型更直接。因此，許多建立在奇異系統(tǒng)基礎(chǔ)上的其他系統(tǒng)也得到了廣泛的應(yīng)用［14-16］，如基于線性矩陣不等式的奇異系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性控制［17］，不確定時(shí)滯離散奇異系統(tǒng)的魯棒H∞控制［18］等。但目前研究的切換奇異系統(tǒng)以不確定單時(shí)滯系統(tǒng)居多，而關(guān)于多時(shí)滯的研究尚不多見(jiàn)。本文研究了非線性不確定多時(shí)滯切換奇異系統(tǒng)的魯棒H∞保性能控制問(wèn)題。首先，定義魯棒H∞保性能控制的定義;然后應(yīng)用線性矩陣不等式LMIs的方法，根據(jù)相應(yīng)的切換規(guī)則，設(shè)計(jì)魯棒H∞保性能控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)符合魯棒H∞保性能控制的定義，最后通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例和仿真驗(yàn)證此方法的有效性。

1 問(wèn)題描述和準(zhǔn)備知識(shí)

考慮如下非線性不確定多時(shí)滯切換奇異系統(tǒng):

其中:x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，z(t)∈Rq和 ω(t)∈L2［0，+∞)分別表示狀態(tài)，控制輸入，被控輸出和擾動(dòng)輸入向量，g(x(t))表示非線性干擾，且滿足‖g(x(t))‖≤‖Mx(t)‖;φ(t)表示［－ξ，0］上連續(xù)的初始狀態(tài)，h，d表示正的時(shí)滯常數(shù)，E∈Rn×n表示奇異矩陣，且滿足 rank E=r＜n;δ(·):［0，+ ∞)→{1，2，…，n}def=表示分段常值切換信號(hào)，且 σ(t)=i表示第i個(gè)子系統(tǒng)在t時(shí)刻被激活。假設(shè) Ai，Adi，B1i，B2i，Ci，Di，Gi，M表示系統(tǒng)具有適當(dāng)維數(shù)的常矩陣，ΔAi，ΔAdi表示描述參數(shù)不確定性的不變矩陣，且具有如下形式:

其中Mi，Hi，Hdi(i∈)表示給定的具有相應(yīng)維數(shù)的常矩陣。Fi(t)表示不確定矩陣，且滿足(t)Fi(t)≤I。

定義1 考慮系統(tǒng)(1)的自由系統(tǒng)如下:

1)對(duì)每一個(gè)i∈M，存在s∈C，使得det(sE－Ai－Adi)≠0，則稱切換奇異系統(tǒng)(3)是正則的;

2)如果系統(tǒng)(3)是正則的，對(duì)所有s∈C，均滿足deg(det(sE －Ai－Adi))=rank E，i∈M，deg(p(s))表示多項(xiàng)式p(s)的次數(shù)，則稱切換奇異系統(tǒng)(3)是無(wú)脈沖的。

注1:文中所研究的切換奇異系統(tǒng)均是正則和無(wú)脈沖的。證明過(guò)程可以參見(jiàn)文獻(xiàn)［17］。

注2:M表示一個(gè)有限的整數(shù)范圍，C表示全體實(shí)數(shù)。

為了方便對(duì)問(wèn)題的研究，x(t)，x(t－d)，x(t－h(huán))，ω(t)，g(x(t))分別被記為 x，xd，xh，ω，g，且

系統(tǒng)(1)在狀態(tài)反饋控制器uδ(t)(t)=Kδ(t)x(t)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為

引入性能指標(biāo):

其中Q和R是給定的正定加權(quán)矩陣。

定義2 對(duì)于系統(tǒng)(1)和給定的常數(shù)γ＞0，設(shè)計(jì)切換規(guī)則σ(t)，如果對(duì)于所有的參數(shù)和性能指標(biāo)(5)，使得到的閉環(huán)奇異切換系統(tǒng)(4)滿足:

1)當(dāng)ω(t)≡0時(shí)，閉環(huán)奇異切換系統(tǒng)(4)的零解是漸近穩(wěn)定的;

2)當(dāng) φ (t)=0 時(shí)，對(duì)任意非零向量 ω (t)∈L2［0，+∞)，滿足 ‖z‖［0，+∞)＜γ2‖ω‖［0，+∞)成立;

3)存在性能指標(biāo)的一個(gè)上界J*＞0，使得閉環(huán)系統(tǒng)(4)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且滿足J≤J*。則稱狀態(tài)反饋控制律uδ(t)為系統(tǒng)(1)的魯棒H∞保性能控制律。

引理1［14］(schur補(bǔ)引理)若已知3個(gè)矩陣和Ω1，Ω2和Ω3，則＜0，當(dāng)且僅當(dāng)

引理2［15］對(duì)于任意給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣X，Y和任意標(biāo)量α＞0，有:

引理3［16］對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y，M，H，則Y+MFH+HTFTMT＜0，對(duì)于所有滿足FTF≤I的矩陣成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量ε＞0，有:

2 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于給定的常數(shù)γ＞0，λ＞0和性能指標(biāo)(5)，若存在可逆對(duì)稱矩陣P∈Rn×n，矩陣Ki及對(duì)稱正定矩陣 Q1，Q2，n個(gè)滿足的實(shí)數(shù)αi，使得如下矩陣不等式成立:

則系統(tǒng)(1)是具有魯棒H∞干擾抑制水平γ狀態(tài)反饋可切換正定的。其中=Kix(t)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)魯棒H∞保性能控制律，且相應(yīng)的性能指標(biāo)滿足:

選取的切換規(guī)則為

證明 由引理1，不等式(7)等價(jià)于

即對(duì)于?x∈Rn/{0}，有:

假設(shè){(tk，ik)，0=t0≤t1≤…}是由切換規(guī)則(9)在區(qū)間［0，+∞)上生成的切換序列，其中(tk，ik)表示當(dāng)tk≤t≤tk+1第ik個(gè)子系統(tǒng)被激活且在tk+1時(shí)離開(kāi)。對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(4)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(xt)，使得對(duì)任意非零狀態(tài)x，V(xt)是正定的。令

V(xt)沿閉環(huán)系統(tǒng)(4)對(duì)t求導(dǎo)，可得:

首先證明當(dāng)ω(t)=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)(4)在切換規(guī)則(9)下的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

當(dāng)ω(t)=0時(shí)，

結(jié)合式(7)和式(12)可得:

由Lyapunov穩(wěn)定性理論，閉環(huán)系統(tǒng)(4)在切換規(guī)則(9)下的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

下面證明閉環(huán)系統(tǒng)(4)滿足給定的H∞性能指標(biāo)。

由引理2知:

對(duì)于任意的ω(t)∈L2［0，+∞)，結(jié)合式(14)和式(16)，可得:

其中:

故，

當(dāng)φ(t)=0時(shí)，式(17)兩邊分別從0～+∞ 對(duì)t積分，可得:

故，對(duì)于任意的 ω (t)∈L2［0，+∞)，有‖z‖［0，+∞)＜γ2‖ω‖［0，+∞)。

將式(15)兩邊分別對(duì)tk從0～+∞ 取積分，可得:

由此定理得證。

定理2 滿足定理1條件，式(6)與式(7)的充要條件為對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)γ＞0，常數(shù)λ＞0，若存在 非 奇異可逆矩陣 S ∈Rn×n，ε＞0，及對(duì)陣正定矩陣 Ki，X，Y，常數(shù) ε＞0，n個(gè)滿足 αi＞0，i∈，且的實(shí)數(shù)αi，使得如下矩陣不等式成立:

此時(shí)，

證明 根據(jù)定理1只需要證明式(6)和式(7)分別與式(20)和式(21)等價(jià)即可。

在式(7)中，分別用Ai+ΔAi(t)=Ai+MiFi(t)Hi，Adi+ΔAdi(t)=Adi+MiFi(t)Hdi，Ci+DiKi代替，可以得到下面的式子:

由引理3，式(22)成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)

成立。

對(duì)式(23)應(yīng)用引理1，并且左乘 d iag{P－1，I，I，I，I，I，I，I，I，I}T右乘 d iag{I，I，I，I，I，I}，并令 P－1=Ti，則可推導(dǎo)出式(21)與式(7)等價(jià)。

另外，令P－1=X，容易得出式(20)與式(6)等價(jià)。故定理2得證。

定理3 對(duì)于系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(5)，對(duì)于給定的常數(shù)γ＞0，λ ＞0，如果存在可逆矩陣S∈Rn×n，ε＞0，β＞0，及對(duì)陣正定矩陣 X ，Y，N1，N2，n個(gè)滿足 αi＞0，i∈，且的實(shí)數(shù)αi，使得以下凸優(yōu)化問(wèn)題有最優(yōu)解

證明 由定理2知，若式(21)成立，則Uδ(t)(t)=Kδ(t)x(t)=Tδ(t)P為系統(tǒng)(4)的魯棒H∞保性能控制器，性能指標(biāo)上界由式(19)確定。

式(24)中的2)等價(jià)于 φT(0)S－1φ(0)＜β，

式(24)中的3)等價(jià)于UTX－1U＜N1，且tr{UTX－1U}＜tr{N1}，

式(24)中的4)等價(jià)于UTY－1U＜N2，且tr{UTY－1U}＜tr{N2}。

3 數(shù)值舉例

考慮如下非線性不確定多時(shí)滯切換奇異系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下:

選取 γ =1，λ = 0.3，ξ=1，性能指標(biāo)的對(duì)稱加權(quán)矩陣為初始條件為

通過(guò)應(yīng)用LMIs工具箱中的mincx，得到:

利用這個(gè)可行解構(gòu)造出該系統(tǒng)的最優(yōu)魯棒H∞保性能控制器:

相應(yīng)的性能指標(biāo)J*=23.905 5。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)一類非線性不確定多時(shí)滯切換奇異系統(tǒng)，研究了該系統(tǒng)的魯棒H∞保性能控制問(wèn)題。主要目的是給出魯棒H∞保性能控制器，該控制器不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，而且相應(yīng)的性能指標(biāo)不得超過(guò)某個(gè)規(guī)定的上界。基于Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式，得到閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件并設(shè)計(jì)魯棒H∞控制器。最后通過(guò)數(shù)值舉例證明了所用方法的有效性。

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