楊愛峰， 王文婷， 范世慶

（合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

隨著企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模的不斷擴(kuò)大和生產(chǎn)技術(shù)的提高，越來越多的企業(yè)需要配備大型化、智能化、自動(dòng)化的設(shè)備以滿足消費(fèi)者個(gè)性化、多樣化和差異化的需求。但面對(duì)昂貴的設(shè)備購(gòu)買成本及維修費(fèi)用等不利因素，一些企業(yè)開始由購(gòu)買設(shè)備轉(zhuǎn)向租賃設(shè)備［1］。于是在這樣的背景下，有些企業(yè)（稱為租賃商）開始購(gòu)買耐用設(shè)備并專門用于經(jīng)營(yíng)性租賃，從而獲得相應(yīng)的租賃收益。租賃模式下設(shè)備的所有權(quán)始終歸租賃商所有，承租企業(yè)只需與租賃商簽訂耐用設(shè)備的租賃合同便可獲得一定時(shí)期內(nèi)設(shè)備的使用權(quán)，而設(shè)備在租賃期內(nèi)發(fā)生的一系列維修服務(wù)成本將由租賃商承擔(dān)。因此，為了保證設(shè)備在租賃期內(nèi)正常工作，降低設(shè)備故障維修成本，增加設(shè)備在租賃期后的殘值收益，租賃商需制定包括租賃次數(shù)等在內(nèi)的耐用設(shè)備租賃維修計(jì)劃。

設(shè)備故障的維修方案，按其維修時(shí)間的不同可分為事后維修（corrective maintenance，CM）和預(yù)防性維修（preventive maintenance，PM）［2］。其中，事后維修是指當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障后進(jìn)行維修使設(shè)備恢復(fù)到其故障前的工作狀態(tài)，但并不改變?cè)O(shè)備的故障率和使用壽命；它是一種傳統(tǒng)的維修方式且是出現(xiàn)不可預(yù)知的緊急狀況后的唯一處理手段，因此事后維修一般都會(huì)使企業(yè)面臨昂貴緊急的維修費(fèi)用。預(yù)防性維修是指根據(jù)設(shè)備故障維修數(shù)據(jù)和零部件磨損規(guī)律，制訂科學(xué)的生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防性維修策略，在設(shè)備發(fā)生故障前就采取各種預(yù)防性措施來保證生產(chǎn)設(shè)備能夠處于正常工作狀態(tài)。有效的預(yù)防性維修可以降低設(shè)備的故障頻率，延長(zhǎng)設(shè)備的使用壽命，有效地降低了企業(yè)的維修成本。

與本文關(guān)系緊密的租賃設(shè)備預(yù)防性維修最優(yōu)策略代表性研究成果如下：文獻(xiàn)［3］從消費(fèi)者的角度，提出了一種基于設(shè)備年齡更新維修設(shè)備的策略，從而延長(zhǎng)設(shè)備的使用周期，降低了消費(fèi)者的總成本；文獻(xiàn)［4］提出對(duì)具有剩余價(jià)值的產(chǎn)品決定其租賃期及預(yù)防性維修政策，從租賃商的角度，對(duì)其在租賃設(shè)備維修中利潤(rùn)問題做了進(jìn)一步的分析，但文獻(xiàn)中對(duì)租賃周期Ti、設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修的初始故障率控制點(diǎn)θa與維修程度x的關(guān)系表述有所欠缺，實(shí)際為Ti＋1－Ti＝θa＋ix；文獻(xiàn)［5］給出了租賃設(shè)備的最優(yōu)預(yù)防性策略，考慮了在固定的租賃期L內(nèi)分別在時(shí)刻t1，t2，…，tk（0＜t1＜t2＜ …＜tk＜L）對(duì)設(shè)備進(jìn)行k次預(yù)防性維修，每次預(yù)防性維修使得設(shè)備故障率降低δj，使得企業(yè)（承租人）在租賃期內(nèi)總成本最??；文獻(xiàn)［6］從企業(yè)（承租人）的角度，建立了相應(yīng)的設(shè)備供應(yīng)商的最優(yōu)定價(jià)策略以及最佳維修和更換策略，從而滿足企業(yè)（承租人）在購(gòu)買設(shè)備時(shí)期望延長(zhǎng)設(shè)備保修期的要求；文獻(xiàn)［7］將租賃品與再制造聯(lián)系起來，探討了租賃商對(duì)租賃品進(jìn)行回收再制造的最優(yōu)庫(kù)存與定價(jià)策略，體現(xiàn)了租賃品再制造與出售產(chǎn)品再制造產(chǎn)品所屬權(quán)不同的特征；文獻(xiàn)［8－9］分別對(duì)再制造產(chǎn)品租賃的最優(yōu)庫(kù)存和定價(jià)策略及對(duì)租賃設(shè)備在租賃期內(nèi)的最優(yōu)維護(hù)策略進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［10］對(duì)易逝品的租賃供應(yīng)鏈模式進(jìn)行了深入研究，重點(diǎn)突出易逝品隨時(shí)間消耗其價(jià)值不斷降低的特征；文獻(xiàn)［11］對(duì)租賃返回產(chǎn)品的回收再制造活動(dòng)協(xié)調(diào)機(jī)制進(jìn)行了研究，主要分析了分散決策模式和集中模式下租賃商對(duì)到期返回產(chǎn)品的最優(yōu)庫(kù)存、再制造策略問題，但卻沒有集中體現(xiàn)租賃品與普通產(chǎn)品再制造的具體差異特征；文獻(xiàn)［12］以雪橇租賃為例，研究了占線決策者對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行T周期租賃，可以獲得一定折扣的租賃價(jià)格，從而建立了帶預(yù)期的占線租賃模型，研究租賃商之間的確定性競(jìng)爭(zhēng)策略。

本文研究了耐用設(shè)備的租賃及預(yù)防性維修聯(lián)合優(yōu)化策略，進(jìn)一步假設(shè)耐用產(chǎn)品租賃期結(jié)束后的殘值回收收益是隨預(yù)防性維修次數(shù)及預(yù)防性維修程度線性遞增，建立了一個(gè)更加符合現(xiàn)實(shí)的租賃設(shè)備運(yùn)行情況的預(yù)防性維修模型。本文著重考慮設(shè)備殘值對(duì)租賃商利潤(rùn)的影響程度，租賃商可以通過安排合理的預(yù)防性維修策略來增加租賃設(shè)備在租賃期末的剩余殘值，最終使得租賃商在租賃活動(dòng)中獲得更高的利潤(rùn)，同時(shí)也提升了租賃商的服務(wù)水平和可信度。

1 符號(hào)說明與模型假設(shè)

1.1 模型中用到的符號(hào)

本文研究的耐用設(shè)備租賃活動(dòng)主要包括租賃商、承租人和租賃合同3個(gè)要素。租賃商向承租人租賃耐用設(shè)備并提供相應(yīng)的維修服務(wù)，承租人需按租賃合同支付相應(yīng)的租金。因此租賃合同中通常包括租賃價(jià)格、租期內(nèi)設(shè)備要求達(dá)到的工作狀態(tài)及設(shè)備故障的維修方案等。

模型假設(shè)已知參數(shù)：W 為耐用設(shè)備的單位租賃價(jià)格；td為耐用設(shè)備的生命周期；V為租賃商購(gòu)買耐用設(shè)備的價(jià)格；Vd為耐用設(shè)備在預(yù)防性維修情況下td末的單位殘值；f（t）為設(shè)備發(fā)生故障的密度函數(shù)；F（t）為設(shè)備發(fā)生故障的分布函數(shù)；Cr為設(shè)備事后維修的單位成本；Cp（x）為設(shè)備預(yù)防性維修的單位成本；ti為第i次預(yù)防性維修的時(shí)間點(diǎn)；TC為租賃商的總成本；TR為租賃商的總收入；TP為租賃商的利潤(rùn)。

模型假設(shè)決策變量：θa為設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修的控制初始點(diǎn)；L為耐用設(shè)備的租賃時(shí)間；x為設(shè)備預(yù)防性維修每次恢復(fù)程度；n為設(shè)備在整個(gè)租賃期內(nèi)進(jìn)行預(yù)防性維修的總次數(shù)。

1.2 模型假設(shè)條件

（1）租賃設(shè)備發(fā)生故障后，經(jīng)過事后維修可以恢復(fù)到故障前的狀態(tài)，但事后維修不能改變?cè)O(shè)備的故障強(qiáng)度，也不會(huì)延長(zhǎng)設(shè)備的使用壽命。

（2）本文所考慮的設(shè)備事后維修時(shí)間及設(shè)備預(yù)防性維修時(shí)間均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于設(shè)備的平均故障間隔時(shí)間及租賃期限；因此，本文忽略事后維修時(shí)間及預(yù)防性維修時(shí)間。

（3）在計(jì)算租賃商利潤(rùn)中，本文假設(shè)一個(gè)隨設(shè)備預(yù)防性維修次數(shù)及單位維修程度呈線性相關(guān)的單調(diào)遞增函數(shù)來表示租賃設(shè)備期末的回收殘值，以此體現(xiàn)租賃商按計(jì)劃對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修作業(yè)可以延長(zhǎng)設(shè)備使用壽命的特征。

（4）由于本文考慮的是對(duì)耐用設(shè)備的長(zhǎng)期租賃及維修問題，故當(dāng)租賃設(shè)備達(dá)到其租賃期限后，租賃商將對(duì)設(shè)備進(jìn)行回收，評(píng)估其剩余殘值。

2 模型建立

耐用設(shè)備的租賃及預(yù)防性維修優(yōu)化策略主要是從租賃商的角度，通過優(yōu)化租賃設(shè)備的預(yù)防性維修策略，減少對(duì)設(shè)備發(fā)生故障的維修次數(shù)及故障維修成本，增加租賃設(shè)備在租賃期末的回收殘值，建立租賃商利潤(rùn)最大化模型。

租賃商在整個(gè)租賃期L內(nèi)的總利潤(rùn)為：

（1）式中第1部分為租賃商在租賃期L內(nèi)獲得的總收入，包括租賃設(shè)備所得租金收入LW和耐用設(shè)備在租賃期L末回收所獲得的總殘余價(jià)值。假設(shè)設(shè)備的單位殘余價(jià)值Vd是與耐用設(shè)備預(yù)防性維修次數(shù)n及維修程度x線性相關(guān)的單調(diào)遞增函數(shù)，即Vd＝V0＋nx。耐用設(shè)備在租賃期L末回收所獲得的總殘余價(jià)值為：

由此可得，租賃商在租賃期L內(nèi)的總收入為：

（1）式中的第2部分為租賃商在租賃期L內(nèi)所產(chǎn)生的總成本，其主要是由租賃設(shè)備發(fā)生故障的維修成本及租賃商購(gòu)買耐用設(shè)備價(jià)格V2個(gè)部分組成。本文將維修成本根據(jù)維修時(shí)間的不同分為事后維修成本和預(yù)防性維修成本2項(xiàng)進(jìn)行討論。其中事后維修成本可以在耐用設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修情況下，根據(jù)預(yù)測(cè)的設(shè)備故障率得出，具體分析過程如下：假設(shè)設(shè)備的租賃期限為L(zhǎng)（0≤L≤td），設(shè)備在租賃期內(nèi)發(fā)生故障的密度函數(shù)及分布函數(shù)分別為f（t）、F（t），其中f（0）＝0；對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修的初始故障率控制點(diǎn)為θa。當(dāng)設(shè)備運(yùn)行t時(shí)間后，達(dá)到預(yù)防性維修的控制初始點(diǎn)θa時(shí)，租賃商便開始對(duì)設(shè)備采取預(yù)防性維修策略，每次的維修程度均為x，如圖1所示。即設(shè)備每進(jìn)行一次預(yù)防性維修之后，設(shè)備的使用年限就相應(yīng)增加x，于是有：

ti＋1－ti＝x，i＝1，2，…，n，

因此，在預(yù)防性維修的情況下，租賃設(shè)備在租賃期L內(nèi)的總故障率為：

假設(shè)當(dāng)租賃設(shè)備在租賃期L內(nèi)發(fā)生故障時(shí)，事后維修的單位成本為Cr，事后維修時(shí)間忽略不計(jì)，可得租賃期L內(nèi)設(shè)備的總事后維修成本為：

圖1 耐用設(shè)備的預(yù)防性維修示意圖

設(shè)備維修的總成本中的另一部分為設(shè)備的預(yù)防性維修成本，其主要考慮了租賃設(shè)備在租賃期L內(nèi)進(jìn)行預(yù)防性維修次數(shù)n及維修程度x，假設(shè)預(yù)防性維修的單位成本為a＋bx，其中a＞0，b＞1，因此設(shè)備在租賃期內(nèi)的總預(yù)防性維修成本為：

由上述分析可得，租賃商在整個(gè)租賃期L內(nèi)的期望總成本為：

將（1）式化簡(jiǎn)可得：

3 模型求解

在考慮設(shè)備剩余價(jià)值Vd的情況下，為對(duì)已經(jīng)建立的模型求解，首先假設(shè)耐用設(shè)備故障率的密度函數(shù)f（t）是關(guān)于時(shí)間t的增函數(shù)，即f′（t）＞0，?t＞0，這是因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)際情況，隨著租賃時(shí)間t的增加，設(shè)備發(fā)生故障的頻率也越來越大。

定理1 當(dāng)f′（t）＞0，?t＞0，且n，L，x＞0，租賃設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修的最優(yōu)控制初始點(diǎn)。

證明 對(duì)（8）式進(jìn)行關(guān)于θa的一階求導(dǎo)，可得：

因?yàn)楫?dāng)f′（t）＞0，?t＞0，所以f（θa）－f（θa－x）＞0，即

得E［TP（θa，x，L，n）］是關(guān)于θa的單調(diào)遞減函數(shù)。又x≤θa≤L，故。定理1得證。

定理2 當(dāng)f′（t）＞0，?t＞0，且a＞0，b＞1，x＞0，租賃設(shè)備預(yù)防性維修的最優(yōu)維修程度x＊＝L／（n＋1）。

證明 對(duì)（10）式進(jìn)行關(guān)于x的一階求導(dǎo)，可得：

得E［TP（x，L，n）］是關(guān)于x的單調(diào)遞減函數(shù)。又，θa＝x，從而得出x＊＝L／（n＋1）。定理2得證。

將x＊＝L／（n＋1）代入（10）式可化簡(jiǎn)租賃商的利潤(rùn)函數(shù)為：

證明 將（12）式分別對(duì)租賃期L進(jìn)行一階和二階求導(dǎo)可得：

即得，可知是關(guān)于租賃期L（0≤L≤td）的單調(diào)遞減函數(shù)。

又因?yàn)?/p>

可分以下3種情況求得租賃設(shè)備的最優(yōu)租賃期L＊：

定理3得證。

為求解租賃設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修的最優(yōu)預(yù)防性維修次數(shù)n＊，設(shè)計(jì)如下算法：

（1）取變量n的初始值n＝1，max＝0。

（2）若，則L＊＝0，租賃設(shè)備預(yù)防性維修的最優(yōu)策略為（n＊，x＊，θ＊）＝（0，0，0），E［TP］＝max＝0，迭代停止；否則轉(zhuǎn)步驟（3）。

4 算例分析

假設(shè)租賃設(shè)備故障率和故障維修時(shí)間均服從二參數(shù)威布爾分布，其發(fā)生故障的密度函數(shù)為f（t）＝λβ（t）β－1，λ＞0，β＞0，t＞0，假設(shè)租賃設(shè)備預(yù)防性維修模型中其他參數(shù)的具體數(shù)值如下：

W＝800＄，V＝1 000＄，V0＝20a，

td＝20a，Cr＝280＄，Cp（x）＝50＋bx（b≥1）。

對(duì)于不同取值的b、λ、β，租賃設(shè)備的最優(yōu)預(yù)防性維修（PM）策略對(duì)租賃商的影響，見表1所列。

表1 租賃設(shè)備的最優(yōu)預(yù)防性維修（PM）策略對(duì)租賃商利潤(rùn)的影響

由表1可以看出：

（1）租賃期L增加，預(yù)防性維修（PM）成本Cp增加，對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修（PM）的次數(shù)增加；租賃商利潤(rùn)減少。

（2）預(yù)防性維修（PM）的次數(shù)增加，可使設(shè)備的剩余價(jià)值增加，即可延長(zhǎng)設(shè)備的生命周期，租賃商利潤(rùn)增加。

（3）設(shè)備故障強(qiáng)度增加，租賃期L變短，設(shè)備的剩余價(jià)值降低，即設(shè)備生命周期的延長(zhǎng)率降低。

5 結(jié)束語

本文將產(chǎn)品租賃融資模式與設(shè)備預(yù)防性維修（PM）相結(jié)合，通過對(duì)租賃設(shè)備運(yùn)行時(shí)故障次數(shù)、預(yù)防性維修程度、預(yù)防性維修次數(shù)及租賃期限的研究，建立了有殘值的租賃設(shè)備的最優(yōu)預(yù)防性維修策略模型，從而優(yōu)化了租賃商的利潤(rùn)函數(shù)，使租賃設(shè)備在租賃期內(nèi)獲得更高的生產(chǎn)效率及服務(wù)能力。另外，耐用設(shè)備租賃回收殘值除了與設(shè)備預(yù)防性維修時(shí)間、維修程度、租賃期限有關(guān)，還與設(shè)備故障損耗等其他因素有關(guān)，需要進(jìn)一步探索。

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