劉清清， 劉 麗

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

20世紀(jì)90年代，文獻(xiàn)［1］證明了某些高效二元非線性碼可以看作Z4－線性碼的Gray象，自此人們對有限環(huán)上編碼理論的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣，尤其是環(huán)上的循環(huán)碼和常循環(huán)碼的研究成為編碼理論的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［2－4］第1次提出了利用非交換的斜多項(xiàng)式環(huán)來構(gòu)造一種更廣義的循環(huán)碼，稱之為斜循環(huán)碼，并通過斜多項(xiàng)式環(huán)上的碼構(gòu)造出了許多好碼；文獻(xiàn)［5－6］將有限域上的斜循環(huán)碼推廣到伽羅瓦環(huán)和有限鏈環(huán)上；文獻(xiàn)［7］通過斜多項(xiàng)式環(huán)上模來研究斜循環(huán)碼及其對偶碼的相關(guān)性質(zhì)；文獻(xiàn)［8］研究了環(huán)F2＋vF2上的斜多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)，并給出了斜循環(huán)碼及其對偶碼的生成元；文獻(xiàn)［9］利用Gray映射討論了F4＋vF4上斜循環(huán)碼和環(huán)F2＋vF2以及F4上的斜循環(huán)碼的關(guān)系；文獻(xiàn)［10］介紹了Fp＋vFp上斜循環(huán)碼的性質(zhì)；文獻(xiàn)［11－12］研究了有限環(huán)Z4＋vZ4（v2＝v）的結(jié)構(gòu)以及該環(huán)上的線性碼的性質(zhì)。

本文對環(huán)Z4＋vZ4（v2＝v）上的斜循環(huán)碼進(jìn)行研究，給出了斜多項(xiàng)式環(huán)R［x；θ］的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)以及斜循環(huán)碼的定義，并證明了R上長度為n的斜循環(huán)碼C 為R［x；θ］／（xn－1）的左R［x；θ］－子模。最后給出了斜循環(huán)碼的歐幾里得對偶碼和厄米特對偶碼的定義及其生成多項(xiàng)式，并討論了斜循環(huán)自對偶碼存在的條件。

1 預(yù)備知識

設(shè)R為有限交換環(huán)，Rn為環(huán)R上n維向量組成的集合。R上長為n的碼為Rn的一個(gè)非空子集，若它是Rn的一個(gè)加法子群或者Rn的R－子容模，則該碼為線性碼。對于R上長為n的線性碼C 中任意的碼字c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C，它的循環(huán)移位（cn－1，c0，…，cn－2）∈C，則稱該碼為循環(huán)碼。碼C 中每個(gè)碼字c＝（c0，c1，…，cn－1）均可以對應(yīng)于R［x］中的一個(gè)碼字多項(xiàng)式，即

c（x）＝c0＋c1x＋…＋cn－1xn－1。設(shè)環(huán)R＝Z4＋vZ4＝｛a＋vb｜a，b∈Z4｝，其中v2＝v，該環(huán)與多項(xiàng)式環(huán)Z4［v］／（v2）同構(gòu)。環(huán)R的單位群U（R）＝｛1，3，1＋2v，3＋2v｝，且R中的非單位元均為零因子。環(huán)R為半局部的有限非鏈環(huán)，通過計(jì)算R只有2個(gè)極大理想〈v＋1〉和〈v＋2〉。故由中國剩余定理知，R＝〈v＋1〉8〈v＋2〉，那么對于任意的α∈R，α可唯一表示成a（v＋1）＋b（v＋2），其中a，b∈Z4。

2 斜循環(huán)碼

定義環(huán)R上非平凡的自同構(gòu)如下：

對于任意的α∈R，都有θ2（α）＝α，即θ是階為2的環(huán)自同構(gòu)。對于任意的e∈Z4，有θ（e）＝e，所以Z4為θ的固定環(huán)。

定義1 環(huán)R上的多項(xiàng)式集合R［x；θ］＝｛a0＋a1x＋…＋anxn｜ai∈R，0≤i≤n，n∈N｝為斜多項(xiàng)式環(huán)，其中加法定義為通常的多項(xiàng)式加法，乘法定義如下：

其中，fs、gt為R 中的單位，則存在R［x；θ］中唯一的多項(xiàng)式p（x）、q（x）使得：

其中，deg（q（x））＜deg（g（x））或者q（x）＝0。若q（x）＝0，則稱g（x）為f（x）的右因式，g（x）右整除f（x）。

定理 1 R［x；θ］的 中 心 Z（R［x；θ］）是Z4［x2］。

證明 θ是階為2的環(huán)自同構(gòu)，對于?r∈R有x2i＊r＝（θ2）i（r）x2i＝r＊x2i。因此 x2i∈Z（R［x；θ］）。由Z4為θ的固定環(huán)可知，f（x）＝f0＋f1x2＋…＋fkx2k為R［x；θ］中心中的一元，其中fj∈Z4，0≤j≤k。反之，對?f（x）∈Z（R［x；θ］），r∈R，有f（x）＊r＝r＊f（x），x＊f（x）＝f（x）＊x，則

推論1 若xn－1∈Z（R［x；θ］），當(dāng)且僅當(dāng)n為偶數(shù)。

推論2 若n為偶數(shù)，且在R［x；θ］中，xn－1＝g（x）＊h（x），則

xn－1＝g（x）＊h（x）＝h（x）＊g（x）。

證明 參考文獻(xiàn)［3］中定理10的證明。

定義2 Rn的子集C叫做斜循環(huán)碼（也稱θ－循環(huán)碼），若C滿足以下條件：

（1）C為Rn的R－子容模。

（2）若 （c0，c1，…，cn－1）∈C，則 （θ（cn－1），θ（c0），…，θ（cn－2））∈C。

若θ為R上平凡的自同構(gòu)，則定義2的碼C為循環(huán)碼。

令Rn＝R［x；θ］／（xn－1），Rn中的加法為通常的多項(xiàng)式加法，乘法定義如下：

設(shè)f（x）∈Rn，對于任意的r（x）∈R［x；θ］，r（x）＊（f（x）＋（xn－1））＝r（x）＊f（x）＋（xn－1），稱Rn是左R［x；θ］－模。

定理2 碼C是R上長度為n的斜循環(huán)碼，當(dāng)且僅當(dāng)碼C是左R［x；θ］－模Rn的左R［x；θ］－子容模。

證明 若碼C為斜循環(huán)碼，則對于?c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C，有（θ（cn－1），θ（c0），…，θ（cn－2））∈C，即f（x）＝c0＋c1x＋…＋cn－1xn－1∈C，則x＊f（x）∈C。由線性可得?g（x）∈R［x；θ］，g（x）＊f（x）∈C。所以C是左R［x；θ］－模Rn的左R［x；θ］－子容模。

若碼C 是左R［x；θ］模Rn的左R［x；θ］－子模，則?f（x）＝c0＋c1x＋…＋cn－1xn－1∈C，x＊f（x）＝θ（cn－1）＋θ（c0）x＋…＋θ（cn－2）xn－1∈C，即對于任意的c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C，（θ（cn－1），θ（c0），…，θ（cn－2））∈C，所以碼C為斜循環(huán)碼。

定理3 設(shè)碼C是Rn中的斜循環(huán)碼，f（x）為碼C中次數(shù)最低的多項(xiàng)式。若f（x）為首一多項(xiàng)式，則C＝（f（x））＝｛r（x）＊f（x）｜r（x）∈Rn｝，其中f（x）為xn－1的右因式。

證明 對于任意的c（x）∈C存在q（x），r（x）∈Rn，使得c（x）＝q（x）＊f（x）＋r（x），其中r（x）＝0或deg（r）＜deg（f）。因?yàn)榇aC 是線性的，r（x）＝c（x）－q（x）＊f（x）∈C。而f（x）為碼C中次數(shù)最低的多項(xiàng)式，所以r（x）＝0，即c（x）＝q（x）＊f（x）。因此C＝（f（x））。

再證f（x）為xn－1的右因式。存在q1（x），r1（x）∈R［x；θ］，使xn－1＝q1（x）＊f（x）＋r1（x），其中r1（x）＝0或deg（r1）＜deg（f）。所以在Rn中，r1（x）＝－q1（x）＊f（x）∈C。由f（x）為碼C中次數(shù)最低的多項(xiàng)式得r1（x）＝0，所以f（x）為xn－1的右因式。

引理1 若f（x）是碼C中次數(shù)最低的但不是首一的多項(xiàng)式，則f（x）＝fkf1（x），其中fk∈R但fk?U（R），f1（x）為R 中首一多項(xiàng)式。

證明 設(shè)f（x）＝f0＋f1x＋…＋fkxk，若fk為單位，則碼C中必存在k次首一的多項(xiàng)式，所以fk不為單位。由于環(huán)R中的不可逆元均為零因子，可設(shè)S＝｛u｜u∈R，ufk＝0｝。對?a∈S，有af（x）＝af0＋…＋afkxk＝af0＋…＋afk－1xk－1，又由于f（x）是碼C中最低次數(shù)多項(xiàng)式，af（x）＝0。對?a∈S，afi＝0，其中0≤i≤k－1，即fi＝fkbi（bi∈R）。故f（x）＝fkf1（x），f1（x）為 R 中首一多項(xiàng)式。

定理4 設(shè)碼C為環(huán)R上的斜循環(huán)碼，f（x）為碼C中次數(shù)最低的多項(xiàng)式，如果碼C中沒有首一多項(xiàng)式，則C＝（f（x）），其中f（x）＝fkf1（x），fk∈R＼U（R）。f1為R 中首一多項(xiàng)式，且f1是xn－1的右因式。

證明 對于?c（x）∈C，存在R［x；θ］中多項(xiàng)式q（x）和r（x），使c（x）＝q（x）＊f（x）＋r（x），其中r（x）＝0或者deg（r）＜deg（f）。由于f（x）為碼C中次數(shù)最低的多項(xiàng)式，碼C中沒有首一多項(xiàng)式，所以r（x）＝0，即C＝（f（x））。

令xn－1＝Q（x）＊f1（x）＋R（x），其中Q（x），R（x）∈R［x；θ］，R（x）＝0或者deg（R）＜deg（f1），易知Q（x）為首一多項(xiàng)式。再令Q（x）＝Q1（x）＋Q2（x），Q1（x）為Q（x）中所有的奇次項(xiàng)，Q2（x）為Q（x）中所有的偶次項(xiàng)，fk＝a（1＋v）＋b（2＋v）。若Q1（x）為首一多項(xiàng)式，那么有：

fk（xn－1）＝fk（Q（x）＊f1（x））＋fkR（x）＝fkQ1（x）＊f1（x）＋fkQ2（x）＊f1（x）＋fkR（x）＝Q1（x）＊θ（fk）f1（x）＋Q2（x）＊fkf1（x）＋fkR（x）＝Q1（x）＊fkf1（x）＋Q2（x）＊fkf1（x）＋fkR（x）＋Q1（x）＊（（a＋b）（1＋2v））f1（x）。

由于碼C是斜循環(huán)碼，在Rn中p（x）＝Q1（x）＊［（a＋b）（1＋2v）］f1（x）＋fkR（x）∈C，所以存在s（x）∈Rn滿足p（x）＝s（x）＊fkf1（x），又因?yàn)镼1（x）、f1（x）首一且碼C 中沒有首一的多項(xiàng)式，所以a＋b≠1或3。若a＋b＝2，fk?U（R），則a＝0，b＝2，fk＝2v或a＝2，b＝0，fk＝2＋2v。當(dāng)a＝0，b＝2，fk＝2v時(shí)，p（x）的最高項(xiàng)系數(shù)為2，那么存在r∈R，使得r·θ（2v）＝2或者r·2v＝2，矛盾。當(dāng)a＝2，b＝0，fk＝2＋2v時(shí)，同樣是矛盾的。所以a＋b＝0，即p（x）＝fkR（x）∈C。又由f（x）為碼C中次數(shù)最低的多項(xiàng)式得R（x）＝0。若Q2（x）為首一的多項(xiàng)式，可以通過討論θ（fk）＊（xn－1）同理可得R（x）＝0，所以f1（x）為xn－1的右因式。

定理5 設(shè)碼C為Rn中的含有部分首一多項(xiàng)式的斜循環(huán)碼。假設(shè)碼C中次數(shù)最低的多項(xiàng)式f（x）不為首一多項(xiàng)式，則C＝（f（x），g（x）），其中g(shù)（x）是在碼C內(nèi)的首一多項(xiàng)式中次數(shù)最低的多項(xiàng)式。

證明 對于任意的c（x）∈C，存在唯一的多項(xiàng)式q（x），r（x）∈R［x；θ］，使得c（x）＝q（x）＊g（x）＋r（x），其中r（x）＝0或者 deg（r（x））＜deg（g（x））。由碼C 為斜循環(huán)碼，g（x）∈C 可知r（x）∈C。如果r（x）＝0，則c（x）∈（f（x），g（x））。如果r（x）≠0，則r（x）不為首一多項(xiàng)式，令r（x）＝q1（x）＊f（x）＋r1（x），其中r1（x）＝0或者deg（r1）＜deg（f），由f（x）是碼C中次數(shù)最低的多項(xiàng)式知r1（x）＝0，所以c（x）＝q（x）＊g（x）＋q1（x）＊f（x）∈ （f（x），g（x）），故 C＝（f（x），g（x））。

定理6 設(shè)碼C是R上長度為n的斜循環(huán)碼，若n為偶數(shù)，則碼C等價(jià)于R上長度為n、指數(shù)為2的準(zhǔn)循環(huán)碼；若n為奇數(shù)，則碼C等價(jià)于R上長度為n的循環(huán)碼。

證明 若n為偶數(shù)，對于?c＝（c0，c1，c2，…，cn－1）∈C，由θ2＝1可知：

θ2（c）＝ （θ2（cn－2），θ2（cn－1），θ2（c0），…，θ2（cn－3））＝（cn－2，cn－1，c0，…，cn－3）∈C。

再由準(zhǔn)循環(huán)碼的定義知，C等價(jià)于R上長度為n、指數(shù)為2的準(zhǔn)循環(huán)碼。

若n為奇數(shù)，對于任意的c＝（c0，c1，c2，…，cn－1）∈C，由斜循環(huán)碼的定義知：

（θn（c0），θn（c1），…，θn（cn－1））∈C，

進(jìn)而有（θn＋1（cn－1），θn＋1（c0），…，θn＋1（cn－2））∈C，又因 為n 為奇 數(shù) 且θ2＝1，所以 （cn－1，c0，…，cn－2）∈C，故C是R上長度為n的循環(huán)碼。

3 環(huán)R上斜循環(huán)碼的對偶碼

定義3 設(shè)x＝（x1，x2，…，xn），y＝（y1，y2，…，yn）為Rn中的2個(gè)元素。x與y的歐幾里得內(nèi)積定義為：

〈x，y〉＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，x與y的厄米特內(nèi)積定義為：

［x，y］＝x1θ（y1）＋x2θ（y2）＋ … ＋xnθ（yn）。

定義4 設(shè)碼C是R上長度為n的線性碼，碼C在歐幾里得內(nèi)積下的對偶碼為：

C⊥＝｛x∈Rn｜〈x，c〉＝0，?c∈C｝。碼C在厄米特內(nèi)積下的對偶碼為：

C＊＝ ｛x∈Rn｜［x，c］＝0，?c∈C｝。若C⊥＝C，則稱碼C為歐幾里得自對偶碼；若C＊＝C，則稱碼C為厄米特自對偶碼。

定理7 設(shè)碼C是R上長度n的斜循環(huán)碼，則C⊥和C＊也為斜循環(huán)碼。

證明 對?c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C⊥，a＝（a0，a1，…，an－1）∈C，有〈c，a〉＝0。若n為偶數(shù)，由斜循環(huán)碼的定義知：

（θn－1（a1），θn－1（a2），…，θn－1（a0））∈C，c0θn－1（a1）＋c1θn－1（a2）＋…＋cn－1θn－1（a0）＝0，

即有θ（c0）θn（a1）＋θ（c1）θn（a2）＋ … ＋θ（cn－1）θn（a0）＝0。因?yàn)閚為偶數(shù)，則有：

θ（cn－1）a0＋θ（c0）a1＋θ（c1）a2＋ …

＋θ（cn－2）an－1＝0，

（θ（cn－1），θ（c0），…，θ（cn－2））∈C⊥，所以C⊥為斜循環(huán)碼。

若n 為奇數(shù)，可知（θn－1（a1），θn－1（a2），…，θn－1（a0））＝（a1，a2，…，a0）∈C，則a1c0＋a2c1＋…＋a0cn－1＝0，即（cn－1，c0，…，cn－2）∈C⊥，由于

（θn（a0），θn（a1），…，θn（an－1））＝（θ（a0），θ（a1），…，θ（an－1））∈C，

cn－1θ（a0）＋c0θ（a1）＋ … ＋cn－2θ（an－1）＝0，即a0θ（cn－1）＋…＋an－1θ（cn－2）＝0，所以有：（θ（cn－1），θ（c0），…，θ（cn－2））∈C⊥。同理可證C＊也為斜循環(huán)碼。

引理2 如果n為偶數(shù)，且xn－1＝h（x）＊g（x），其中g(shù)（x）、h（x）為R［x；θ］中首一的多項(xiàng)式，碼C＝（g（x））是Rn中的斜循環(huán)碼，那么對于任意的c∈C，當(dāng)且僅當(dāng)在Rn中c（x）＊h（x）＝0。

證明 當(dāng)c∈C時(shí)存在p（x）∈Rn使c（x）＝p（x）＊g（x）。由推論2知，在Rn中有：

c（x）＊h（x）＝ （p（x）＊g（x））＊h（x）＝

p（x）＊（h（x）＊g（x））＝0。

反之若在Rn中c（x）＊h（x）＝0，則

c（x）＊h（x）＝p（x）＊（xn－1）＝p（x）＊（h（x）＊g（x））＝（p（x）＊g（x））＊h（x），

又因?yàn)閔（x）不為零因子，所以有c（x）＝p（x）＊g（x）∈C。

定理8 設(shè)C＝（g（x））為R上偶長度n、維數(shù)為k的斜循環(huán)碼。假設(shè)xn－1＝h（x）＊g（x），其中g(shù)（x）＝g0＋g1x＋…＋gn－k－1xn－k－1＋xn－k，h（x）＝h0＋h1x＋…＋hk－1xk－1＋xk，則其對偶碼C⊥＝（h（x）），h（x）＝θk（h0）xk＋θk－1（h1）xk－1＋…＋1。

證明 由 引理2知，對 ?c＝ （c0，c1，…，cn－1）∈C，f（x）＝c（x）＊h（x）＝0。所以f（x）中xs（1≤s≤n－1）項(xiàng)的系數(shù)為0，即其中，hk＝1；ht＝0；k＋1≤t≤n－1。

令β＝（hs，θ（hs），…，θs（h0），θs＋1（hn－1），…，θn－1（hs－1）），那么〈c，β〉＝0，且c與β 及其所有的循環(huán)移位歐幾里得正交，所以（h（x））?C⊥。

若k 為 奇 數(shù)，令g（x）＝1＋gn－k－1x ＋θ（gn－k－2）x2＋…＋θ（g1）xn－k－1＋g0xn－k。

若k為偶數(shù)，令g（x）＝1＋θ（gn－k－1）x＋gn－k－2x2＋…＋θ（g1）xn－k－1＋g0xn－k。

由于h（x）＊g（x）＝xn－1，在Rn中g(shù)（x）＊h（x）＝0，所以h（x）為xn－1的右因式。又｜（h（x））｜＝｜R｜n－k＝｜C⊥｜，故C⊥＝（h（x））。

定理9 設(shè)xn－1＝h（x）＊g（x），其中h（x）、g（x）為首一的多項(xiàng)式。C＝（g（x））為R上偶長度n、維數(shù)為k的斜循環(huán)碼，則

證明 與定理8的證明類似。

推論3 若環(huán)R上的斜循環(huán)碼為歐幾里得自對偶碼，那么該循環(huán)碼的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)和長度要滿足：①g0＝1＋2v或3＋2v；②n＝2k，其中k為奇數(shù)。

證明 設(shè)碼C＝（g（x））是環(huán)R上長度為n的斜循環(huán)自對偶碼，其中，

g（x）＝g0＋g1x＋…＋gk－1xk－1＋xk，g0≠0。易知n＝2k，由定理8知（h（x））＝（g（x）），那么g0為單位，且

又因?yàn)樵赗［x；θ］中h（x）＊g（x）＝xn－1，故θk（g0）＝－g0，所以g0＝1＋2v或3＋2v，k為奇數(shù)。由此得n＝4，8，12時(shí)沒有斜循環(huán)自對偶碼，進(jìn)一步得n＝2，6，10時(shí)也沒有斜循環(huán)自對偶碼，所以當(dāng)n≤12時(shí)環(huán)R上沒有斜循環(huán)自對偶碼。

4 結(jié)束語

本文給出了環(huán)Z4＋vZ4上的自同構(gòu)，討論了該環(huán)上斜循環(huán)碼C的生成多項(xiàng)式，進(jìn)一步證明了偶長度的斜循環(huán)碼等價(jià)于指數(shù)為2的準(zhǔn)循環(huán)碼，奇長度的斜循環(huán)碼等價(jià)于循環(huán)碼。并給出了在歐幾里得內(nèi)積和厄米特內(nèi)積下環(huán)R上偶長度斜循環(huán)碼的對偶碼的生成多項(xiàng)式。由于Z4＋vZ4上斜循環(huán)碼是廣義的循環(huán)碼，其個(gè)數(shù)比循環(huán)碼要多，從而通過斜循環(huán)碼有利于得出一些性質(zhì)好的碼。

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