何　敏，章禮華，王其申

(安慶師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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非均勻圓環(huán)形薄膜的離散模型軸對(duì)稱振動(dòng)的定性性質(zhì)

何敏，章禮華，王其申

(安慶師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133)

摘要：本文研究非均勻圓環(huán)形薄膜的微振動(dòng)，由二階中心差分格式導(dǎo)出了內(nèi)外邊界均任意支承的圓環(huán)形薄膜軸對(duì)稱振動(dòng)的差分離散模型，說(shuō)明了該模型屬于雅可比正系統(tǒng)，進(jìn)而引出了該系統(tǒng)的振動(dòng)定性性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：非均勻圓環(huán)形薄膜；軸對(duì)稱振動(dòng)；離散模型；定性性質(zhì)

膜結(jié)構(gòu)具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。均勻圓膜橫振動(dòng)問(wèn)題的求解是數(shù)學(xué)物理方法中的一個(gè)重要內(nèi)容，求解相應(yīng)的偏微分方程可以導(dǎo)出Bessel函數(shù)[1]。非均勻膜橫振動(dòng)問(wèn)題的研究是少見(jiàn)的，文[2]研究了非均勻圓膜的橫振動(dòng)，在此基礎(chǔ)上，本文研究圓環(huán)形薄膜的橫振動(dòng)，涉及非均勻膜中的一種特殊情況，即物理參數(shù)滿足軸對(duì)稱分布但非均勻，邊界條件也是軸對(duì)稱分布的。

對(duì)于變參數(shù)的軸對(duì)稱膜的橫振動(dòng)方程，其精確解是難以求得的，可以考察相應(yīng)的離散系統(tǒng)。軸對(duì)稱膜的振動(dòng)方式有多種，其中軸對(duì)稱振動(dòng)模式是最基本和最重要的模式之一。本文采用二階中心差分格式，導(dǎo)出了軸對(duì)稱圓環(huán)形薄膜軸對(duì)稱振動(dòng)的差分離散模型。雖然在一般情況下，它不能歸為一個(gè)變質(zhì)量的彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，但它仍然屬于雅可比正系統(tǒng)。根據(jù)雅可比矩陣的振蕩性質(zhì)，即可得到該離散系統(tǒng)軸對(duì)稱振動(dòng)的定性性質(zhì)。

1圓環(huán)形薄膜軸對(duì)稱振動(dòng)的方程和離散模型

下面研究質(zhì)量軸對(duì)稱分布的圓環(huán)形薄膜，其面密度是半徑r的單值函數(shù)，即ρ=ρ(r)。這時(shí)圓環(huán)形薄膜滿足如下的振動(dòng)方程：

(1)

這里y=y(r,θ,t)表示膜的橫向位移。在最一般的軸對(duì)稱邊界條件下，即

(2)

這里的常數(shù)T,k和h取值均大于零。對(duì)于圓環(huán)形薄膜的軸對(duì)稱振動(dòng)，位移y只與半徑r有關(guān)，即y=y(r,t)。對(duì)方程(1)采用分離變數(shù)法求解，令y=u(r)ejωt，振動(dòng)方程(1)可以化為

(3a)

或

(3b)

這里的ω對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率。

一般地，方程(3)已不屬于Bessel方程，但它還是屬于斯圖膜—?jiǎng)⒕S爾型方程的。方程(3)在邊界條件

(4)

下構(gòu)成了一類特殊的斯圖膜—?jiǎng)⒕S爾方程的本征值問(wèn)題[1]。

對(duì)于一般的密度函數(shù)ρ=ρ(r)，特征值問(wèn)題(3)，(4)是沒(méi)有精確解的。為了探求其近似解，首先建立與方程(3)，(4)相對(duì)應(yīng)的差分離散系統(tǒng)。

圖1　軸對(duì)稱圓環(huán)形薄膜的差分模型

(5)

(6)

用us簡(jiǎn)記u(rs)(s=0,…,n)。關(guān)于內(nèi)點(diǎn)s=1,…,n-1，用式(6)代入式(3b)得

(7)

在左端點(diǎn)s=0處，直接用泰勒公式(5)的第一式和邊界條件(4)的第一式得到：

(8)

而在右端點(diǎn)s=n處，又利用泰勒公式(5)的第二式和邊界條件(4)的第二式有

(9)

引入如下變換：

(10)

又令λ=ω2，得到離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程組：

(11)

上式中，

(12)

(11′)

2圓環(huán)形薄膜離散模型軸對(duì)稱振動(dòng)的若干定性性質(zhì)

由于上面所述的差分離散模型是屬于雅可比系統(tǒng)的，從雅可比矩陣特征值及特征向量的特有性質(zhì)[3]出發(fā)，可以得到圓環(huán)形薄膜的離散系統(tǒng)軸對(duì)稱振動(dòng)具有下列所述的定性性質(zhì)：

1)系統(tǒng)的圓頻率是正實(shí)數(shù)和分立的，可以進(jìn)行由小到大的排序，即

(0)≤ω1<ω2<…<ωN

這里只在h=k=0時(shí)取等號(hào)。當(dāng)0

2)對(duì)應(yīng)于ωk的第k個(gè)位移振型u(k)=(u0k,u1k,…,uN-1,k)T的變號(hào)數(shù)為k-1(k=1,2,…,N)個(gè)。

3)相鄰的兩個(gè)振型u(k)和u(k+1)(k=2,…,N-1)，其節(jié)點(diǎn)相間。

3結(jié)束語(yǔ)

以上我們導(dǎo)出了非均勻圓環(huán)形薄膜做軸對(duì)稱振動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的差分離散模型，進(jìn)而討論了它的定性性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，可以求解相應(yīng)離散系統(tǒng)的振動(dòng)反問(wèn)題，包括模態(tài)反問(wèn)題[2,4,5]以及頻率反問(wèn)題[2,6]等，本文不再詳細(xì)探討。

參考文獻(xiàn):

[1] 郭敦仁.數(shù)學(xué)物理方法[M]. 北京：科學(xué)出版社，1982.

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Qualitative Properties of Discrete Model of an Inhomogeneous Circular Membrane with Axial Symmetric Vibration

HE Min, ZHANG Li-hua, WANG Qi-shen

(School of Physical & Electrical Engineering, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

Abstract:The vibration of an inhomogeneous circular membrane was researched, the second-order center difference scheme was used and the difference discrete model for axial symmetric vibration of a circular membrane with arbitrary supports was established. This model belongs to a positive Jacobi system. Thus, some qualitative properties of the system were obtained.

Key words:inhomogeneous circular membrane, axial symmetric vibration, difference discrete model, qualitative property

文章編號(hào)：1007-4260(2015)03-0054-03

中圖分類號(hào)：O32

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.015

作者簡(jiǎn)介：何敏，男，安徽巢湖人，碩士，安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院副教授，研究方向?yàn)檎駝?dòng)的定性性質(zhì)和反問(wèn)題。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(10772001)，安徽高校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2013B128)和安慶師范學(xué)院2012年校級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目。

收稿日期：2014-09-07

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.015.html