胡永模，周其生

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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實(shí)變函數(shù)中集合外測(cè)度三種定義的等價(jià)性

胡永模，周其生

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

摘要：本文列出了實(shí)變函數(shù)中集合外測(cè)度的三個(gè)常見的定義，并對(duì)其之間的等價(jià)性給出了證明。通過這三種定義證明了外測(cè)度的一些基本性質(zhì)，從而更好地揭示外測(cè)度這一概念的內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：外測(cè)度；開區(qū)間；開集；可測(cè)集

實(shí)變函數(shù)論中核心的內(nèi)容之一是建立在測(cè)度理論上的勒貝格積分理論，而測(cè)度理論的核心是建立一般集合外測(cè)度。因而集合外測(cè)度概念是實(shí)變函數(shù)中的一個(gè)基本概念。目前實(shí)變函數(shù)論的各種教材中定義的集合外測(cè)度概念都是用開區(qū)間的長(zhǎng)度(面積，體積)來定義的，即

Ii為有限區(qū)間，i=1,2,…}

(1)

在本文中我們分別通過開集以及可測(cè)集的測(cè)度來給出一般集合勒貝格外測(cè)度的另外兩種定義形式并對(duì)其等價(jià)性給出證明。

1外測(cè)度另外兩種定義

定義1設(shè)E?Rn，則稱

m*E=inf{m(O)|O為開集，且O?E}

(2)

為E的外測(cè)度。

定義2設(shè)E?Rn，則稱

m*E=inf{m(A)|A為可測(cè)集，且A?E}

(3)

為E的外測(cè)度。

2三種定義間的等價(jià)性的證明

inf{m(O)|O為開集且O?E}≤

即

即

證明(2)式與(3)式的等價(jià)性事實(shí)上，由于開集一定為可測(cè)集，所以，

{O|O為開集且O?E}?{A|A為可測(cè)集且A?E}

所以，{m(O)|O為開集且O?E}?{m(A)|A為可測(cè)集且A?E}，所以，inf{m(O)|O為開集且O?E}≥inf{m(A)|A為可測(cè)集且A?E}

即

在綠色西江建設(shè)方面，深化“政、企、軍”船舶防污染應(yīng)急合作共建工作。完善西江水上突發(fā)事件隊(duì)伍共建機(jī)制，深化西江水上突發(fā)事件應(yīng)急資源共享機(jī)制，提升西江溢油應(yīng)急響應(yīng)速度。

所以

3應(yīng)用實(shí)例

用以上等價(jià)定義來證明下列三條基本性質(zhì)：

1)m*E≥0，當(dāng)E為空集時(shí)，m*E=0；

2)單調(diào)性，設(shè)A?B，則m*A≤m*B；

3.1用(1)式來證明這三條性質(zhì)

3.2用(2)式證明這三條性質(zhì)

①基本性質(zhì)1 顯然成立；

②基本性質(zhì)2的證明：設(shè)A?B，O為一覆蓋B的開集，則O一定覆蓋A，因而m*A≤m(O)，所以

m*A≤inf{m(O)|O為開集且O?B}≤m*B

3.3用(3)式來證明這三條性質(zhì)

①基本性質(zhì)1 顯然成立；

②基本性質(zhì)2的證明：設(shè)A?B，E為可測(cè)集，且E覆蓋B，則E一定覆蓋A，因而m*A≤mE，即

m*A≤inf(mE)=m*B

所以m*A≤m*B

4幾點(diǎn)評(píng)注

可測(cè)函數(shù)的上述三種定義，盡管等價(jià)但各有優(yōu)點(diǎn)和缺陷。

(1)傳統(tǒng)外測(cè)度定義是從區(qū)間的長(zhǎng)度(面積，體積)的角度描述的。該定義比較自然，且簡(jiǎn)捷明快，容易跟數(shù)學(xué)分析中區(qū)間的長(zhǎng)度(平面與空間區(qū)域的面積與體積)作比較，使學(xué)生懂得外測(cè)度實(shí)際上是長(zhǎng)度(面積，體積)的推廣，故易于理解和接受。但這一定義不易刻畫后續(xù)章節(jié)中可測(cè)集的結(jié)構(gòu)，可能易將點(diǎn)集的可測(cè)性與函數(shù)的可測(cè)性相混淆。

(2)另外兩種定義是從不同的逼近角度，利用集合的開集與可測(cè)集的逼近定理來刻畫集合的外測(cè)度。 該定義容易刻畫后續(xù)章節(jié)中可測(cè)集的結(jié)構(gòu),這使得我們把握住了可測(cè)集的結(jié)構(gòu)和實(shí)質(zhì)。但這兩個(gè)定義比較抽象，不容易跟數(shù)學(xué)分析中區(qū)間的長(zhǎng)度(平面與空間區(qū)域的面積與體積)作比較，故學(xué)生理解起來困難。

參考文獻(xiàn):

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[5] W.Rudin. Real and complex analysis[M]. New York: McGraw-Hill, 1966.

Equivalence of Three Definitions about Exterior Measure in Real Variable Function

HU Yong-mo, ZHOU Qi-sheng

(Department of mathematics and computational science, Anqing Teachers College, Anqing 246133,China)

Abstract:In this paper, we set out three ordinary definitions of exterior measure and prove their mutual equivalence. In addition,we prove some exterior measure's basic properties by using the three definitions.So the concept essence of exterior measure can be better showed.

Key words:exterior measure,open interval,open set,measurable set

文章編號(hào)：1007-4260(2015)03-0107-03

中圖分類號(hào)：O174.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.028

作者簡(jiǎn)介：胡永模，男，安徽無為人，碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)樗阕永碚撆c算子代數(shù)。

基金項(xiàng)目：安慶師范學(xué)院校級(jí)青年科研項(xiàng)目(KJ201106)，安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目(2012gxko75)省級(jí)精品資源共享課程《實(shí)變函數(shù)》。

收稿日期：2014-07-16

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.028.html