數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的評價標(biāo)準(zhǔn)的維度非常多，但其中依據(jù)學(xué)生的認知方式是其最為重要的標(biāo)準(zhǔn)之一。只有依據(jù)學(xué)生認知方式的教學(xué)設(shè)計才可能是有效的，才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，因而，教師要充分理解具體的學(xué)生發(fā)生具體的數(shù)學(xué)知識的心理活動環(huán)節(jié)，以此依據(jù)適應(yīng)學(xué)生的認知方式展開數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計。

認知方式 數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是一項結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性的整體工程，它的構(gòu)成要素體現(xiàn)于互相關(guān)聯(lián)的三個側(cè)面：理解所要傳授的具體數(shù)學(xué)知識所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的組成序列（簡稱“教材分析”）；把握學(xué)生生成數(shù)學(xué)知識環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的心理活動環(huán)節(jié)及其過渡性中介（簡稱“學(xué)情分析”）；通過創(chuàng)造性工作找到關(guān)聯(lián)這兩方面組成環(huán)節(jié)之間的切合點（可以溝通的元素），實現(xiàn)兩者之間的貫通（簡稱“關(guān)聯(lián)分析”）（如框架圖1所示[1]）。本文主要探討適應(yīng)學(xué)生認知方式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的實現(xiàn)途徑。

圖1 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)框架圖

一、發(fā)生數(shù)學(xué)知識認知方式的涵義

學(xué)習(xí)心理學(xué)將認知方式與認知風(fēng)格等價。施良方先生寫道，認知風(fēng)格這一術(shù)語，一般用來描述學(xué)生加工信息（包括接受、儲存、轉(zhuǎn)化、提取和使用信息）時習(xí)慣采用的不同方式[2]。《現(xiàn)代漢語詞典》（商務(wù)印書館，第五版）將“方式”釋義為“談話做事所采取的方法和形式”，由此，我們可以將認知方式界定為，主體發(fā)生認識所采用的方法和形式。認知方式具有三項特征：1.它們是學(xué)生學(xué)習(xí)時發(fā)生心理活動環(huán)節(jié)的理智傾向性；2.它們所描述的是那些在時間上相對穩(wěn)定的過程；3.學(xué)生在完成類似的任務(wù)時始終表現(xiàn)出這種穩(wěn)定性。

不同的人的認知方式可能處于兩個極端，但是，認知方式?jīng)]有先進與落后之分。例如，有些人偏于求異思維的認知方式，另一些人偏于求同思維的認知方式，對此，我們不能說哪一種就好些，因為，某些問題的解決可能求異思維好些，另一些問題的解決可能求同思維要好些。大多數(shù)人在不同情況下，會從多種不同的認知方式中選擇某種來解決他面對的有特定性質(zhì)的問題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中，教師需要特別注意學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識時的特定認知方式。教師只有把握學(xué)生的數(shù)學(xué)認知方式，才能由此模擬學(xué)生在特定認知方式發(fā)生作用時的心理活動途徑來設(shè)計出合適的發(fā)生數(shù)學(xué)知識的教學(xué)流程，才能通過教學(xué)活動的實現(xiàn)優(yōu)化原有的或構(gòu)建新的認知方式，進而幫助學(xué)生生成更有活力的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，從而有效地將發(fā)生具體知識時生成的數(shù)學(xué)活動基本經(jīng)驗與認知方式遷移到應(yīng)對新的問題情境中去。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。教師只有準(zhǔn)確地認識、把握與辨別學(xué)生運用某種認知方式發(fā)生特定數(shù)學(xué)知識的有效性程度是高、還是低的，萌生的數(shù)學(xué)觀念是清晰正確、還是模糊錯誤的，取得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是成熟、還是素樸的等，在教學(xué)設(shè)計時才能揚長避短，針對學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性的中介，選擇適宜的教學(xué)策略，設(shè)計有效的教學(xué)流程，促進學(xué)生正確理解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，生成具有活力的、動態(tài)的數(shù)學(xué)活動基本經(jīng)驗等。

學(xué)生的認知方式的標(biāo)識包括：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識是容易的、還是困難的；學(xué)生在哪種層次（如是素樸的生活概念層次、還是規(guī)范的數(shù)學(xué)概念層次等）上發(fā)生并理解數(shù)學(xué)知識；發(fā)生數(shù)學(xué)知識的心理環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)、承、啟、合的大致路徑中哪些是接近正確的運行程式，哪些是典型錯誤的運行方式；是什么使學(xué)生學(xué)習(xí)具體數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生了困難、或產(chǎn)生了錯誤理解等。教師據(jù)此進行教學(xué)設(shè)計才具有針對性，從而提高教學(xué)效率，對于學(xué)生容易理解的內(nèi)容就可以少講、甚至讓學(xué)生自學(xué)，難于理解或容易造成誤解的內(nèi)容要進行更為精致的教學(xué)設(shè)計。

學(xué)生的認知方式不是先天的、惟一的，而是在實踐中建構(gòu)、發(fā)展與完善起來的，這為發(fā)揮知識不同層級教育價值提供了發(fā)生學(xué)上的依據(jù)，也是教學(xué)設(shè)計存在的關(guān)鍵依據(jù)。在具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)設(shè)計時，學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識的途徑?jīng)Q定著學(xué)生認知方式的優(yōu)化或生成，從而決定了數(shù)學(xué)知識的不同等級層次的教育價值。如果數(shù)學(xué)知識的教育價值總是客觀的、僵死不變的，那就沒有必要研究學(xué)生認知方式，也沒有必要進行教學(xué)設(shè)計。

因此，有的教學(xué)設(shè)計發(fā)生知識可能離學(xué)生合適的認知方式近些，有的可能遠些，從而對優(yōu)化學(xué)生認知方式的效果會大相徑庭；有的教學(xué)設(shè)計針對學(xué)生的具體認知方式可能更為合理些因而更有價值些，它有利于促進學(xué)生形成更具活力、更具適應(yīng)性的認知方式，也有利于萌生優(yōu)秀的心理品質(zhì)，反之，就會阻礙這些實現(xiàn)。在具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)做好預(yù)判發(fā)生數(shù)學(xué)知識的基本條件：學(xué)生在發(fā)生知識之前，需要產(chǎn)生學(xué)習(xí)動機，形成學(xué)習(xí)心向；在知識發(fā)生過程中，需要提供動力，維持認知活動的延伸；在知識發(fā)生之后，需要引導(dǎo)學(xué)生通過反思感悟自己的認知方式有效性發(fā)生的條件，以利于認知方式遷移到新情境中去。

二、例示適應(yīng)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識認知方式的教學(xué)設(shè)計

教師分析與選擇學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識的認知方式進行教學(xué)活動的取向在于：是否有利于學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識而避免錯誤理解，是否有利于學(xué)生激活原有的數(shù)學(xué)知識的活力，是否有利于為學(xué)生發(fā)生新數(shù)學(xué)知識起到鋪墊或?qū)б饔茫欠裼欣趯W(xué)生將素樸的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為規(guī)范的數(shù)學(xué)概念，是否有利于加強學(xué)生所學(xué)的新數(shù)學(xué)知識與原有的數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，是否有利于促進學(xué)生將剛剛學(xué)習(xí)所掌握的數(shù)學(xué)知識運用到新的問題情境中去，是否有利于學(xué)生在問題解決過程中的思維活動的展開與維持，等等。

例1已知：如圖2，在△ABC中，∠ADC=∠BAC。求證：∠CAD=∠CBA。

教師甲一節(jié)課共講了四道題，時間有富余。他對例1作了簡要的分析，然后規(guī)范性地板書了證明，實錄他的分析過程如下。

要證明∠CAD=∠CBA，因為∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAC=∠CAD+∠BAD，由∠BAD為公共角，希望證明∠ADC=∠BAC，這正是已知。

教師乙一節(jié)課只講了這道題，時間較緊迫。將其課堂教學(xué)設(shè)計的主要片段比較詳細地實錄如下（說明，下文的省略號表示學(xué)生思維環(huán)節(jié)中斷之處）。

師：請用不同標(biāo)識在圖2中標(biāo)示出所求結(jié)論與已知條件中各存在的一對相等角。

生1：在圖3中，已知條件∠ADC=∠BAC中的∠BAC被AD分割開來，圖形的覆蓋影響了探索問題的思路。首先解決覆蓋問題，使我們?nèi)菀卓辞鍒D形本質(zhì)，……

師：這是一個好建議！大家動手試一試。

學(xué)生活動：首先把圖3中的△ADC平移出來，得到了圖3與圖5，其次，根據(jù)已知條件∠ADC=∠BAC①和要證明的結(jié)論∠CAD=∠CBA②，把圖4變換成圖5的位置形態(tài)。學(xué)生成功地運用標(biāo)識標(biāo)示出圖3中的兩對相等角，即①，②兩個等式。

師：大家做得非常好！請對比圖4與圖5，有新發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：比較圖4和圖5中的這兩個三角形之間角的關(guān)系可得（教師精心設(shè)計板書）：

已知條件是∠ADC=∠BAC①，

所求結(jié)論是∠CAD=∠CBA②，

還有公共角∠ACD=∠BCA③。

這三個等式中，①和③成立，②是求證的結(jié)論，應(yīng)該成立?！?/p>

生3：應(yīng)用“三角形的內(nèi)角和等于180°”，……

生4：①，②，③三個等式的左邊的三個角是△DAC的三個內(nèi)角，右邊的三個角是△ABC的三個內(nèi)角。于是，我們把這三個角的等式左、右兩邊分別相加就得到了這兩個三角形各自的內(nèi)角和，都等于180°，即

∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，……

生5：兩個等式的右邊相等（180°），知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB④。將④的左、右兩邊分別對應(yīng)地減去①與③的左、右兩邊，就可得到②成立[3]。

三、適應(yīng)學(xué)生認知方式的教學(xué)設(shè)計結(jié)果分析

教師的教學(xué)設(shè)計要遵循不拂逆學(xué)生思考某一問題時心理活動展開的路徑，即充分理解認識學(xué)生展開自己的認知方式，做到因勢利導(dǎo)；即使在學(xué)生思維走勢的分叉口，也不能輕易地告知學(xué)生思維延伸的標(biāo)志物，而是啟發(fā)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)某種標(biāo)志。這種啟發(fā)的過程，不一定就是教師將自己的思考擺在學(xué)生面前，而是通過選擇學(xué)生經(jīng)由活動已經(jīng)生成的材料，選擇恰如其分的表征形式表征這些材料，學(xué)生感受這種表征形式，從中得到啟發(fā)，促進自己思維的延伸。通過如此教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生充分認識到自己內(nèi)在能力的發(fā)揮，從而形成情感體驗。

教師甲的教學(xué)設(shè)計基于平面幾何證明的邏輯過程的認知方式，它的特點是洗盡鉛華、褪去塵滓，簡練到一塵不染。但是，按巴洛的觀點，邏輯性是由對事物的內(nèi)在秩序的猜測所組成的——但只有當(dāng)確實有一種明確無誤的內(nèi)在秩序可作猜測時。我們打一個比方，邏輯的過程仿佛已經(jīng)淘去砂粒而留下金子，而不把淘沙那種艱難的過程展示在琳瑯滿目的黃金展示臺上。邏輯是論題的一種屬性而非精神過程的屬性，也即猜測不論在心算中還是在創(chuàng)造性思維中都是最本質(zhì)的東西[4]。證明的表達已經(jīng)將發(fā)現(xiàn)這一邏輯過程的種種心理猜想活動的曲折過程略而不計，我們讀下去很可能感到某種令人信服的力量，但是，可能不知道我們自己是否也可以獲得這種說服他人的力量。

因此，教師甲的這種教學(xué)設(shè)計，只是將自己組織題設(shè)條件信息的精致結(jié)果告訴了學(xué)生，至于這種結(jié)果是如何得來的，大多數(shù)學(xué)生可能不得而知。這種教學(xué)設(shè)計的缺陷就在于教師甲沒有通過學(xué)情分析，充分認識與理解學(xué)生發(fā)生這一證明邏輯過程的認知方式。其實，除了少數(shù)學(xué)生，絕大多數(shù)學(xué)生不可能立即就想到∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAC=∠CAD+∠BAD這兩個等式，教師估計學(xué)生的認知方式的主要支點就是追問這兩個等式是如何從心理上產(chǎn)生的。

事實上，教師甲幾乎沒有考慮學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識的心理活動環(huán)節(jié)，遑論對知識脈絡(luò)與學(xué)生心理線索聯(lián)結(jié)過程的思考。他只是將自己的發(fā)現(xiàn)思路整理成了精致的邏輯過程，在課堂上將這一過程展示給了學(xué)生，學(xué)生可以讀懂這一過程，但是，必須要有記憶的幫助代償了這一尋找的過程。艾芙·居禮說，“第一句叫學(xué)生記憶意義不明的知識，或者第一件叫他盲從地接受而不讓他理解其意義的事物，就是毀滅學(xué)生理解力與判斷力的開始。”[5]如此，教師甲的這種設(shè)計不可能實現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程所設(shè)計的目標(biāo)，也很難發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的教育價值。

教師乙的教學(xué)設(shè)計充分利用平面圖形的直觀性、可操作性，通過要求學(xué)生從標(biāo)識“圖3中的兩對相等的角”出發(fā)，鼓勵學(xué)生對題設(shè)條件信息進行有序觀察、比較，啟發(fā)學(xué)生對圖形進行操作、變換與定位，幫助學(xué)生利用圖形中已知明確的兩項信息①、②組構(gòu)成“支點式”信息。再由圖形直觀生成外圍信息③，“支點式”信息①、②與外圍信息③組構(gòu)成了信息結(jié)構(gòu)輪廓（教師乙用非常合適的表征突出了它），學(xué)生由此確定了知識框架。從教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，這不是一件容易的事，是經(jīng)過許多學(xué)生的接力思考與不懈努力，對信息不斷地發(fā)掘與調(diào)整而得到。如此，學(xué)生對解決問題時如何確定這個知識框架體驗深刻，必將生成深度數(shù)學(xué)經(jīng)驗[6]。

對教師乙設(shè)計的這一整套過程，我們聽課者為之動容。這奠基于教師乙透徹理解學(xué)生發(fā)生知識的心理環(huán)節(jié)，特別是誘導(dǎo)學(xué)生萌生關(guān)聯(lián)分散信息的心理動力的設(shè)計與執(zhí)行，令人拍手叫絕！通過恰如其分的板書設(shè)計（傳統(tǒng)媒體：黑板與粉筆），得到有利于學(xué)生思維發(fā)揮作用的表征形式的提示——板書等式①、②、③成規(guī)則形態(tài)的排列很有效值，它恰到好處地幫助學(xué)生生成了信息結(jié)構(gòu)輪廓。這些看上去似乎是教師乙的不經(jīng)意行為，其實正是他匠心獨運之處，充分展示了他的教學(xué)設(shè)計能力，從而誘發(fā)學(xué)生萌生信息關(guān)聯(lián)的內(nèi)在動力，生發(fā)了完形心理內(nèi)驅(qū)力（“格式塔”的經(jīng)典理論[2]），引導(dǎo)學(xué)生運用“三角形內(nèi)角和定理”完滿地解決了問題。

教師乙嚴(yán)格還原學(xué)生發(fā)生知識的心理環(huán)節(jié)，依據(jù)學(xué)生的認知方式，在此基礎(chǔ)上，將這道題的證明思路發(fā)現(xiàn)過程的主體部分放手交給學(xué)生，讓學(xué)生自己去做，使他們探究問題的各種手段都得到充分地發(fā)揮，利用學(xué)生通過自己的操作、觀察、比較、類比、聯(lián)想、想象與思維等要素的展開認識活動。教師通過設(shè)計合適的表征形式表征學(xué)生生成對形成問題思路有價值的材料（教師經(jīng)由選擇），由此表征提示學(xué)生思維延伸的方向與走勢，而不是將思維前進的可借助的條件材料直接奉獻給學(xué)生。

教師甲沒有充分尊重學(xué)生，利用學(xué)生的認知方式展開思維過程；教師乙充分依據(jù)學(xué)生的認知方式，在證明思路的發(fā)現(xiàn)中，步步按照學(xué)生思維展開路徑的提示。從這個例子中，盡管沒有某種意義上的標(biāo)準(zhǔn)，我們還是可以感受到，教師乙的設(shè)計優(yōu)于教師甲的設(shè)計。

數(shù)學(xué)教學(xué)所要傳授的知識相對固定（其最低限度已經(jīng)寫入課程標(biāo)準(zhǔn)）。但是，通過何種方式來傳授這種已經(jīng)設(shè)定了的知識，卻隨著教師的教學(xué)理念不同，預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)不同，持有的教學(xué)觀念不同，獲得的教學(xué)經(jīng)驗不同，理解特定數(shù)學(xué)知識性質(zhì)不同，揣摩發(fā)生特定知識的學(xué)生認知方式不同，估計發(fā)生知識時學(xué)生現(xiàn)場心理活動意向不同，存在多種選擇。不同的教學(xué)設(shè)計對發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的教育價值、促進學(xué)生素質(zhì)發(fā)展的結(jié)果迥然有別。在不同理念指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計中，適應(yīng)學(xué)生認知方式的教學(xué)設(shè)計是一種基礎(chǔ)性的要求。

參考文獻

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[6] 張昆.高考答卷惜時如金：問題與出路[J].數(shù)學(xué)通報，2011（1）.

【責(zé)任編輯 郭振玲】