王躍 王博 劉世平 李世其 熊琦

（1 北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

（2 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院，武漢 430074）

0 引言

空間遙感相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)中的光學(xué)元件在微振動載荷的作用下會產(chǎn)生剛體位移和表面變形，光學(xué)元件剛體位移會導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生慧差、像散和離焦，表面變形將影響光學(xué)系統(tǒng)的波前差。光軸偏轉(zhuǎn)會導(dǎo)致像移引起成像模糊，這些都會影響相機(jī)的成像品質(zhì)[1]。

空間紅外遙感相機(jī)內(nèi)部主要擾動源是為紅外焦面探測器提供低溫保障的制冷機(jī)。對于工作在紅外波段的遙感相機(jī)，紅外焦面需要在低溫環(huán)境下工作，以降低焦面探測器的熱噪聲，提高靈敏度。目前國內(nèi)外通常采用低溫制冷機(jī)冷卻紅外焦平面，以保證其在低溫范圍內(nèi)正常工作。制冷機(jī)工作時(shí)由于活塞等運(yùn)動部件動量不平衡、高壓氣體壓力波動等產(chǎn)生干擾力，影響光學(xué)系統(tǒng)的分辨率和指向精度等。

理想的鏡面是光滑的，而有限元方法得到的是離散的數(shù)據(jù)，將離散數(shù)據(jù)擬合成光滑連續(xù)曲面需要采用合適的擬合方法。Zernike多項(xiàng)式作為曲面擬合的常用方法，以其特有的優(yōu)點(diǎn)使其成為結(jié)構(gòu)分析和光學(xué)分析之間的橋梁[2]。

相機(jī)在正常工作條件下，受到來自相機(jī)內(nèi)部以及衛(wèi)星平臺活動部件微振動載荷的擾動。由于主鏡、次鏡尺寸較大，結(jié)構(gòu)剛性相對較小，產(chǎn)生的剛體位移和面形變化會對相機(jī)的成像品質(zhì)起主要影響，而分色片及透鏡口徑小、剛度高，穩(wěn)定性好，微振動對鏡片的剛體位移和面形影響很小。本文主要以主、次鏡為對象來分析微振動對成像品質(zhì)的影響。

1 相機(jī)有限元模型建立

空間遙感相機(jī)在軌工作時(shí)，影響光學(xué)元件精度的因素主要有以下方面：1）光學(xué)元件在加工過程中產(chǎn)生的面形誤差和鏡頭裝調(diào)誤差；2）光學(xué)元件在振動源的擾動下發(fā)生偏移產(chǎn)生剛體位移；3）光學(xué)元件在振動源的擾動下發(fā)生面形的變化。本文只分析振動源擾動引起的光學(xué)元件剛體位移和面形變化。根據(jù)制冷機(jī)微振動測試分析結(jié)果，制冷機(jī)在工作時(shí)產(chǎn)生頻率約為0～500Hz的擾動力（圖1是制冷機(jī)測點(diǎn)測試信號在X軸方向的擾動力頻譜，項(xiàng)目測試要求采樣頻率不低于2 000Hz），幅值范圍0～1.5N。

圖1 制冷機(jī)測試擾動力頻譜Fig.1 Disturbance force’s frequency spectrogram of cryocooler test

由制冷機(jī)擾動力頻譜分析可知，擾動力是以 50Hz為基頻的一系列諧波信號，可以用式（1）來描述[3]

式中 fk為制冷機(jī)測試信號；P0為制冷機(jī)工作頻率幅值；ω為制冷機(jī)驅(qū)動頻率；t為時(shí)間；fl表示第 l階諧波幅值；Nh為擾動諧波數(shù)；φ為相位角。

借助有限元方法，將連續(xù)的振動系統(tǒng)劃分成n個(gè)自由度系統(tǒng)，空間遙感相機(jī)的動力學(xué)模型可以表示為

式中 m為n階對稱質(zhì)量矩陣，c為n階對稱阻尼矩陣，k為n階對稱剛度矩陣；n×1維列向量?x?（t），x?（t），x（t）分別代表系統(tǒng)的廣義加速度、速度和位移；F（t）為表示系統(tǒng)激勵(lì)的n×1維列向量。通過測得的系統(tǒng)激勵(lì)對式（2）進(jìn)行求解，得出光學(xué)鏡片節(jié)點(diǎn)的位移矩陣并進(jìn)行面形分析計(jì)算。

某空間遙感相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)構(gòu)型如圖2所示，光線由主鏡、次鏡反射，經(jīng)由分色片、透鏡組到達(dá)成像焦面。運(yùn)用 hypermesh軟件建立有限元模型，加載制冷機(jī)振源載荷，獲得相機(jī)主次鏡的整體變形如圖 3所示，可以看出主鏡次鏡除了產(chǎn)生剛性位移偏離了理想安裝位置（包括平移和傾斜），面形也發(fā)生變化，光軸也發(fā)生了偏轉(zhuǎn)。選取主鏡響應(yīng)最大時(shí)間點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)作為曲面擬合與分析的有限元數(shù)據(jù)，表1為主鏡節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和變形量。

圖2 某空間遙感相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)構(gòu)型Fig.2 A space remote sensing camera’s optical system configuration

圖3 相機(jī)主次鏡的整體變形云圖Fig.3 Overall deformation of primary and second mirror in camera

表1 主鏡有限元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及變形Tab.1 Primary mirror’s finite element node coordinates and displacements mm

2 鏡面擬合與分析

要將有限元方法計(jì)算得到的離散數(shù)據(jù)擬合成光滑連續(xù)曲面需要采用合適的擬合方法。主次鏡的整體變形對應(yīng)的是波前像差的變化，主要包含平移、傾斜、離焦、像散等，其中平移和傾斜是剛性位移，離焦、像散等主要是面形的變化?？梢酝ㄟ^Zernike多項(xiàng)式擬合的方式分離剛性位移和面形變化[4]。

有限元計(jì)算輸出文件包括節(jié)點(diǎn)變形前坐標(biāo)（x,y,z）和變形量（Δ x ,Δ y ,Δ z ），見表 1。將有限元計(jì)算文件數(shù)據(jù)帶入n項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式可得線性方程組（3），

寫成矩陣形式：

式中 Z=（Zij）為m×n矩陣，其中i為節(jié)點(diǎn)數(shù)，Zj（xi,yi）為Zernike多項(xiàng)式的第j項(xiàng)；表示經(jīng)多項(xiàng)式擬合后的結(jié)果數(shù)據(jù)；為n項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式系數(shù)。

選取Zernike多項(xiàng)式的前37項(xiàng)作為一組基擬合波面，將鏡面變形后的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入擬合公式（3），鏡面有限元?jiǎng)澐止?jié)點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于未知數(shù)的數(shù)目，得到的線性方程為矛盾方程，矛盾方程不存在通常意義下的解，一般通過最小二乘法來獲得的最小二乘解。通過MATLAB計(jì)算獲得Zernike多項(xiàng)式前37項(xiàng)系數(shù)，如表2所示。

表2 主鏡次鏡Zernike多項(xiàng)式擬合系數(shù)Tab.2 Zernike polynomials fitting coefficient of primary and second mirror

Zernike多項(xiàng)式的前三項(xiàng)分別對應(yīng)著剛性位移、X軸傾斜及Y軸傾斜。由表2中的Zernike系數(shù)可以看出前三項(xiàng)系數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于后面的系數(shù)，表明擾動力對主次鏡的剛性位移影響較大，對鏡面面形影響較小。

通過Zernike擬合得到變形后的主鏡面形，如圖4所示，變形量約為為100nm。圖5是去除剛性位移后的主鏡面形變化，變形量約為3nm。顯而易見，微振動導(dǎo)致的主鏡剛性位移是影響波前像差的主要因素。

擬合得到變形后的次鏡面形如圖6所示，變形量約為10nm。圖7是去除剛性位移后的次鏡面形變化，變形量約為1.0×10–2nm。由此可知，微振動導(dǎo)致的次鏡面形變化可以忽略。

圖4 變形后的主鏡面形Fig.4 Primary mirror surface after deformation

圖5 去除剛性位移后主鏡面形Fig.5 Primary mirror surface without rigid-body motion

圖6 變形后的次鏡面形Fig.6 Second mirror surface after deformation

圖7 去除剛性位移后次鏡面形Fig.7 Second mirror surface without rigid-body motion

光學(xué)元件面形誤差通常采用鏡面表面最大峰谷（PV）值和鏡面表面形貌的均方根誤差（RMS）值來表示。PV值計(jì)算公式為

RMS體現(xiàn)了波面的變化緩慢，計(jì)算公式為

式中 di為節(jié)點(diǎn)i到擬合波面的法向距離；為節(jié)點(diǎn)到擬合波面的平均法向距離；N為波面擬合計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

主次鏡PV和RMS計(jì)算結(jié)果見表3。主次鏡的面形變化很小，微振動擾動對主次鏡的影響主要體現(xiàn)在剛性位移。

通過主次鏡面形的分析可知，對于空間遙感相機(jī)在軌振動，光學(xué)元件的剛性位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于面形的變化。主鏡、次鏡的固有頻率分別在1 200、3 000Hz以上，對于頻率范圍0～500Hz的擾動力激勵(lì)，主次鏡自身的變形量（即鏡面變形）很小。因此，剛性位移的變化是需要著重考慮的因素。

表3 主次鏡PV和RMSTab.3 Primary and second mirror’s PV and RMS nm

3 振動對相機(jī)調(diào)制傳遞函數(shù)的影響

調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）能反映成像系統(tǒng)對目標(biāo)不同空間頻率的傳遞特性[5]，是常用的光學(xué)系統(tǒng)成像品質(zhì)評價(jià)工具[6]。光學(xué)元件偏離理想安裝位置會影響相機(jī)光學(xué)傳函的變化，將空間相機(jī)光學(xué)元件在制冷機(jī)微振動作用下的曲面擬合結(jié)果代入Zemax軟件計(jì)算MTF的結(jié)果，如圖8及表4所示（圖8中T表示切向，S表示弧矢方向）。由表4的數(shù)據(jù)可以看出，光學(xué)元件偏離理想安裝位置對MTF的影響非常小，對應(yīng)歸一化空間頻率56線對/mm處MTF下降了0.001 5%。

圖8 偏離理想安裝位置前后的MTF曲線Fig.8 MTF curve of ideal position and changed position

表4 偏離理想安裝位置前后的MTF值Tab.4 MTF value of ideal position and changed position

微振動造成相機(jī)光學(xué)元件發(fā)生剛性位移，光學(xué)元件的剛性位移會導(dǎo)致相機(jī)光軸發(fā)生偏角變化[7]。相機(jī)光軸繞X軸的偏角變化如圖9所示，由于制冷機(jī)的工作頻率為50Hz，相機(jī)為受迫振蕩，可以看出光軸的振蕩頻率也為50Hz。

光軸空間偏角隨時(shí)間的變化曲線如圖10所示，偏角最大值為0.0371″。按式（7）計(jì)算由相機(jī)光軸變化引起的像移量，相機(jī)歸一化空間頻率對應(yīng)的MTF計(jì)算由式（8）給出[8-10]。

式中 α為主光軸偏角；f為相機(jī)焦距；δ為像移量；fs為歸一化空間頻率。

圖9 相機(jī)光軸繞X軸的偏角變化Fig.9 Camera optical axial angle rotating about X-axis

圖10 光軸偏角隨時(shí)間的變化Fig.10 Optical axial angle vs time

將α=0.037 1″，fs=56線對/mm，代入式（7）、（8）中，計(jì)算得到MTF下降量為0.41%。因此可知，光軸的偏角變化對相機(jī)的成像影響大于偏離安裝位置對相機(jī)成像品質(zhì)的影響。由于光軸偏角是隨時(shí)間變化的，對 MTF的影響也是隨時(shí)間變化的，當(dāng)微振動載荷引起的偏角對相機(jī)MTF影響最大時(shí)，MTF下降量不超過0.41%，在工程可接受的范圍內(nèi)。

相機(jī)擾動力是以50Hz為基頻的一系列諧波信號，單獨(dú)提取出每個(gè)頻率的幅值代入有限元模型計(jì)算，獲得不同頻率下的光軸偏角，如圖11所示。由于相機(jī)的一階固有基頻為45 Hz，和制冷機(jī)基頻接近，頻率為50Hz的諧波信號對光軸的偏角影響最大，隨著頻率的提高，對光軸影響逐漸變小，頻率大于250 Hz的諧波信號主要對應(yīng)相機(jī)的某些局部模態(tài)，對相機(jī)的光軸偏角影響極小，由此引起的MTF下降量可忽略不計(jì)。

圖11 不同頻率激勵(lì)下的光軸偏角Fig.11 Optic axial angle of different frequency

4 結(jié)束語

本文主要從相機(jī)微振動源分析入手，通過有限元方法對光學(xué)元件曲面擬合，面形、光軸分析，最后結(jié)合光學(xué)成像分析了空間紅外遙感相機(jī)微振動對成像品質(zhì)的影響。通過對微振動載荷激勵(lì)下的鏡面擬合分析可知，微振動對相機(jī)光學(xué)元件自身面形的影響很小，主要表現(xiàn)為光學(xué)元件剛性位移和光軸偏轉(zhuǎn)。光學(xué)元件之間偏離理想位置的剛性位移造成MTF下降了0.001 5%，影響極其有限。相機(jī)微振動激勵(lì)源主要為制冷機(jī)，其工作頻率為50Hz，此頻率下的的諧波信號對相機(jī)光軸偏角影響最大，引起的MTF下降量也最大，為 0.41%，經(jīng)分析，MTF下降量在工程可接受的范圍內(nèi)。

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