譚爽 王小勇 林喆 鄢南興

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

0 引言

在空間光學(xué)遙感器中，精密調(diào)整主、次鏡間的相對位姿，可有效校正因重力、溫度、振動以及材料性質(zhì)變化等導(dǎo)致的像差變化，從而改善系統(tǒng)成像性能[1-2]。Stewart六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有高精度、高剛度、高穩(wěn)定性、誤差小、摩擦小、動態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，是空間光學(xué)遙感器次鏡精密調(diào)整的主要工具[3-4]。但是六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在運(yùn)動學(xué)關(guān)系復(fù)雜和同步桿間耦合性強(qiáng)等特點(diǎn)，增加了機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)與控制精度分析的難度。桿長控制精度的設(shè)計(jì)，可以基于六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈敏度，而靈敏度的基礎(chǔ)是對位姿誤差進(jìn)行分析。因此，建立一種合適的誤差模型，分析靈敏度并反演桿長驅(qū)動控制精度成為六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿調(diào)整系統(tǒng)設(shè)計(jì)面臨的首要問題。

針對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差建模方法可分為矩陣法和矢量法兩類[5-6]。矩陣法由K.J.Waldron在1978年首次提出[7]。其原理是在DH坐標(biāo)系中（DH坐標(biāo)系規(guī)定在機(jī)械手的各個主要構(gòu)件上固定有坐標(biāo)系，Z軸可與運(yùn)動副的軸線重合，而X軸則沿著相鄰兩個Z軸的公垂線，至于Y軸可由右手法則來確定）以齊次變換矩陣作為相鄰構(gòu)件間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，通過矩陣間乘積和微分等運(yùn)算，利用相鄰構(gòu)件間的誤差傳遞關(guān)系來建立機(jī)構(gòu)位姿誤差函數(shù)[8-9]。Wang 和Masory在將每個支桿視為一個包含各種誤差的串聯(lián)支鏈的基礎(chǔ)上，利用微分法進(jìn)行研究[10]。單鵬和謝里陽等人利用DH矩陣微分法建立了 Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差線性化計(jì)算模型[11]。矩陣法建模的優(yōu)點(diǎn)是過程簡單易懂，缺點(diǎn)是存在大量微分運(yùn)算，且轉(zhuǎn)換矩陣包含很多元素，給計(jì)算帶來很大的不便。矢量法是在絕對坐標(biāo)系下，通過矢量的各種運(yùn)算來傳遞誤差，用不同的數(shù)學(xué)方法，來化簡最終的誤差表達(dá)式。K.Sugimoto和T.Okada在矢量分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用螺旋變換建立了由結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差引起的并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差模型[12]。其優(yōu)點(diǎn)是推導(dǎo)過程清晰易懂，但是表達(dá)式中存在大量偏導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)致公式繁瑣。A.J.Patel和K.F.Ehmann對Stewart平臺建立了單個支鏈的封閉矢量鏈，對其運(yùn)動學(xué)表達(dá)式進(jìn)行微分，從而建立機(jī)構(gòu)的誤差分析模型[13]。該方法可以考慮所有的運(yùn)動學(xué)誤差源，但是計(jì)算過程復(fù)雜，計(jì)算量較大。攝動法（矢量法的一種）直接對機(jī)構(gòu)的各個誤差源用微小位移矢量按相對原理進(jìn)行合成，從而得出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿誤差方程[14]。該方法的優(yōu)點(diǎn)是推導(dǎo)過程簡單，物理意義清晰，缺點(diǎn)是對于復(fù)雜的機(jī)構(gòu)參數(shù)多，計(jì)算量大，并且不能進(jìn)一步對速度誤差和加速度誤差進(jìn)行分析[15]。

本文以桿–臺夾角的余弦值為參量，構(gòu)建了誤差傳遞模型，給出了位姿調(diào)整誤差與桿長驅(qū)動誤差間的傳遞關(guān)系分析方法。該方法推導(dǎo)簡單，計(jì)算量相對較小，且無需微分運(yùn)算，適用于工程實(shí)現(xiàn)。

1 基于余弦角的誤差傳遞模型

Stewart平臺是典型的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)上下平臺由6個可伸縮的連桿以并行方式通過鉸鏈（球鉸鏈或虎克鉸鏈）連接，如圖1所示。上平臺為動平臺，建立固連于上平臺的相對坐標(biāo)系 O′-xyz。下平臺為固定平臺，建立絕對坐標(biāo)系O-XYZ（單位向基為e1、e2、e3）。上下平臺各個鉸鏈點(diǎn)分別記作bi和Bi（i=1,2,3,··,6），上下平臺鉸鏈點(diǎn)對應(yīng)的外接圓半徑分別為r和R。6個驅(qū)動器支桿矢量記為li，桿長記為li，桿長增量記為Δl（ii=1,2,3,··,6）。定義上平臺在絕對坐標(biāo)系中的位姿參數(shù)，其中θ、φ、ψ為上平臺繞OX、OY、OZ軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角。為方便研究，每次固定另外5個方向上的運(yùn)動，僅研究1個自由度的運(yùn)動。上、下平臺均是中心對稱圖形，不妨取支桿l1進(jìn)行分析。

圖1 Stewart平臺Fig.1 A Stewart platform

假設(shè)上平臺在絕對坐標(biāo)系中沿OX方向移動一個小的增量Δx，則有，在取點(diǎn)并滿足，如圖2所示。桿l1改變的角度記為β，為極小量，則可近似認(rèn)為垂直于l1。延長B1b1至c1，滿足，則。因此，垂直于l1，三角形為直角三角形。定義 αiΦ為支桿li與上平臺運(yùn)動增量的方向ΔΦ（ [Δx,Δy,Δz,Δθ ,Δφ ,Δ ψ ]T）的夾角。根據(jù)圖2直角三角形，可以得到

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿X方向運(yùn)動圖Fig.2 Movement of the parallel mechanism in the X direction

從而可得

假設(shè)上平臺繞O′x軸旋轉(zhuǎn)小角度Δθ（此時，動平臺已繞O′x軸旋轉(zhuǎn)θ），相對坐標(biāo)系O′-xyz運(yùn)動到O′ - x′y′z′,如圖3所示。則Δθ對應(yīng)的圓弧和向量也為小的增量，即?i（ r為b到O′xb1x1軸的距離，i為Δθ的方向向量，與O′z平行）。根據(jù)投影關(guān)系， i =- sinθ ?e2+ cosθ ?e3。

在圖3（b）中，可以用圖2（b）推導(dǎo)計(jì)算的方法得

同理可得

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)繞x軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圖Fig.3 Rotation of the platform around the x axis

根據(jù)式（2）和（4）可得Δli（i=1,2,··,6）與Δx、Δy、Δz、Δθ、Δφ、Δψ的關(guān)系，整理成矩陣可得

式中 ΔL =[Δ l1Δ l2Δ l3Δ l4Δ l4Δl6]T為桿長誤差向量；Δ Φ=[Δ xΔyΔzΔθ Δφ Δψ]T為姿態(tài)誤差向量；F–1為模型系數(shù)矩陣，與并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型和位置有關(guān)，具體表示為

根據(jù)式（5）可得六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差模型為

式中 F為Stewart六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差傳遞矩陣。

2 桿長–位姿靈敏度分析

從式（6）可知，對F進(jìn)行奇異值分解，分析誤差傳遞特性，可以得到機(jī)構(gòu)輸入誤差和輸出誤差的傳遞特性，即機(jī)構(gòu)誤差傳遞靈敏度評價指標(biāo)。

對誤差傳遞矩陣F進(jìn)行奇異值分解，得

將式（9）帶入式（7）有：

式中 EAF是機(jī)構(gòu)誤差傳遞的靈敏度。

當(dāng)輸入桿長誤差一定時，EAF的值越大，輸出機(jī)構(gòu)位姿誤差也就越大，靈敏度越低；反過來，當(dāng)輸出位姿誤差一定時，EAF的值越大，輸入桿長誤差也就越小。

因此，矩陣F奇異值的最大值1σ對應(yīng)的ΔL的模 為最小，在不同位姿時取最大EAF值對應(yīng)的ΔL為控制精度。

基于式（5）、（6）和（11）給出的方法，對于六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)位姿精度要求為ΔΦ時，可獲得桿長控制精度ΔL應(yīng)小于反之，在已知桿長驅(qū)動誤差時ΔL，可估算位姿誤差ΔΦ的最大值應(yīng)為 ΔL?E AF 。

3 仿真實(shí)例

某六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)次鏡位姿調(diào)整平臺的機(jī)構(gòu)特性如表1所示。

表1 某六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)特性Tab.1 The characteristics of a 6 DOF parallel mechanism

根據(jù)式（11）計(jì)算機(jī)構(gòu)在特定位姿處時的靈敏度EAF，當(dāng)桿長誤差在一定范圍內(nèi)時，通過相應(yīng)的EAF，求出上平臺運(yùn)動誤差范圍。運(yùn)用運(yùn)動學(xué)正解求出上平臺誤差，使用蒙特卡洛法對比兩種方法的結(jié)果。

以零位姿為例，任取總桿長誤差為一個定值，本仿真總桿長誤差取。根據(jù)式（5）和（6），計(jì)算得出六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在零位姿時的誤差傳遞矩陣

并聯(lián)機(jī)構(gòu)在x、y方向上平移時誤差傳遞矩陣為

根據(jù)式（11）計(jì)算上平臺沿x、y方向平移時的靈敏度 EAF =（σF（1:2,:））max=1.974 2，則上平臺在x、y方向上位置誤差為 ex,y=ΔL?E AF = 4.8μm 。并聯(lián)機(jī)構(gòu)繞x、y軸旋轉(zhuǎn)時誤差傳遞矩陣為

根據(jù)式（11）計(jì)算上平臺繞x、y軸旋轉(zhuǎn)的靈敏度，即 EAF =（σF（4:5,:））max=0.005 1，則上平臺繞x、y旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)誤差為 eθ,φ=ΔL?E AF = 0.012mrad = 12μrad。

蒙特卡洛法模擬的樣本數(shù)為10 000，原始誤差為各桿長誤差Δli，在均勻分布且六只桿長總誤差滿足。位姿誤差抽樣值是根據(jù)桿長原始誤差，通過運(yùn)動學(xué)正解迭代法求出零位姿時相應(yīng)的位姿誤差。

圖4（a）標(biāo)識了位置誤差抽樣點(diǎn)的分布和以靈敏度EAF求出的ex,y為半徑的位置誤差包絡(luò)圓。圖4（b）標(biāo)識了姿態(tài)誤差抽樣點(diǎn)的分布和以靈敏度EAF求出的e,θφ為半徑的姿態(tài)誤差包絡(luò)圓。

圖4 位姿誤差分布圖Fig.4 The distribution of pose errors

從仿真結(jié)果可以看出，仿真得到的誤差抽樣值恰好均分布在根據(jù)公式（11）求出的位姿最大值給出的包絡(luò)圓內(nèi)，即當(dāng)輸入誤差在某個區(qū)域內(nèi)隨機(jī)變動時，其對應(yīng)的輸出誤差始終在用靈敏度指標(biāo)EAF求出的范圍內(nèi)。這說明利用靈敏度指標(biāo)EAF求出的精度范圍是準(zhǔn)確而有效的，從而驗(yàn)證了本文所提方法的正確性。

4 結(jié)束語

本文用三角函數(shù)法對桿長誤差與位姿誤差之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，推導(dǎo)出含有余弦值的靈敏度傳遞矩陣，建立誤差模型。通過對模型進(jìn)行分析，定義出機(jī)構(gòu)的靈敏度。最后對機(jī)構(gòu)的靈敏度進(jìn)行仿真，用蒙特卡洛法驗(yàn)證了該方法的可行性。

本文提出的桿–臺夾角誤差建模方法，不存在微分計(jì)算，計(jì)算量小,方便進(jìn)行大規(guī)模運(yùn)算。根據(jù)文中提出的方法，可以快速求出機(jī)構(gòu)在整個工作空間范圍內(nèi)的靈敏度 EAF。根據(jù) EAF的大小，推斷并聯(lián)機(jī)構(gòu)最靈敏的位姿。在已知位姿精度時，可以用最靈敏位姿處的EAF求出桿長誤差，為桿長驅(qū)動精度提供參數(shù)依據(jù)；在已知支桿驅(qū)動精度時，可以用EAF求出位姿精度，可以為機(jī)構(gòu)構(gòu)型精度提供參數(shù)依據(jù)。該方法在保證準(zhǔn)確性的前提下可以縮短計(jì)算時間，簡單快速地求出精度關(guān)系，為六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)及其桿長控制精度要求分析提供理論依據(jù)。

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