劉志軍， 王曉軍， 干為民

(常州工學(xué)院江蘇省數(shù)字化電化學(xué)加工重點(diǎn)建設(shè)實(shí)驗(yàn)室 常州，213002)

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重頻結(jié)構(gòu)大修改動(dòng)力重分析的矩陣攝動(dòng)法*

劉志軍， 王曉軍， 干為民

(常州工學(xué)院江蘇省數(shù)字化電化學(xué)加工重點(diǎn)建設(shè)實(shí)驗(yàn)室 常州，213002)

為拓展矩陣攝動(dòng)法在結(jié)構(gòu)重分析中的適用范圍，提高重分析計(jì)算精度，針對(duì)重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)大修改提出了重頻結(jié)構(gòu)動(dòng)力重分析的矩陣攝動(dòng)法。采用高次增量法將反映重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量分別表示為小參數(shù)ε的一次與二次冪項(xiàng)之和，根據(jù)矩陣攝動(dòng)理論推導(dǎo)得到重特征值的二階攝動(dòng)解及相應(yīng)特征向量的一階攝動(dòng)解。數(shù)值算例表明，所提出方法極大提高了重頻結(jié)構(gòu)大修改下的動(dòng)力重分析計(jì)算精度。

重頻結(jié)構(gòu)； 結(jié)構(gòu)動(dòng)力重分析； 結(jié)構(gòu)大修改； 矩陣攝動(dòng)法

引 言

在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)過(guò)程中，反復(fù)修改后結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題成為了主要困難，重分析方法能夠用來(lái)減少計(jì)算量，提高工作效率，受到了廣泛的重視和研究[1-6]。工程實(shí)際中常會(huì)有重頻率的退化系統(tǒng)，例如，飛機(jī)、宇航飛行器和海洋平臺(tái)等比較復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)[7-10]。當(dāng)結(jié)構(gòu)具有重特征值時(shí)，已有的孤立特征值的矩陣攝動(dòng)理論不能直接應(yīng)用，而密集頻率結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的矩陣攝動(dòng)問(wèn)題往往是將密集模態(tài)處理成為重頻模態(tài)來(lái)進(jìn)行研究[1,11]，因此研究重頻結(jié)構(gòu)大修改動(dòng)力重分析的矩陣攝動(dòng)法具有重要意義。

重特征值結(jié)構(gòu)參數(shù)變化后，原來(lái)的一組重特征值可能分離為非重特征值，特征向量可能產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象。確定重頻的特征向量的一階攝動(dòng)需要用到二階攝動(dòng)方程，如果重特征值的一階攝動(dòng)量仍然是重的，就需要使用高階攝動(dòng)方程才能確定特征向量的一階攝動(dòng)量[1]。傳統(tǒng)經(jīng)典矩陣攝動(dòng)法將結(jié)構(gòu)修改后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量分別表示為小參數(shù)ε的一次冪項(xiàng)形式，而重特征值的一階攝動(dòng)解與小參數(shù)平方ε2對(duì)應(yīng)的二階攝動(dòng)方程相關(guān)，因此僅適用于結(jié)構(gòu)的小修改重分析。當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)修改較大時(shí)，計(jì)算精度變差甚至變得沒(méi)有意義。筆者提出重頻結(jié)構(gòu)大修改動(dòng)力學(xué)重分析的矩陣攝動(dòng)法，采用高次增量法將反映重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量分別表示為小參數(shù)ε的高次冪項(xiàng)之和，結(jié)構(gòu)修改后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，與其特征值和特征向量一樣，同時(shí)進(jìn)行高階攝動(dòng)展開(kāi)。根據(jù)矩陣攝動(dòng)理論推導(dǎo)得到重頻特征值及特征向量的一階攝動(dòng)解，極大提高了重頻結(jié)構(gòu)大修改下的重分析計(jì)算精度。

1 重頻結(jié)構(gòu)的改進(jìn)矩陣攝動(dòng)法

考慮結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征值問(wèn)題

其中：K0和M0為n×n的實(shí)對(duì)稱矩陣；Λ0為特征值對(duì)角陣；U0為n×n的模態(tài)矩陣。

設(shè)結(jié)構(gòu)修改后的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K由下式表示

M=M0+εM1+ε2M2

(3)

K=K0+εK1+ε2K2

(4)

其中：εM1+ε2M2和εK1+ε2K2分別代表原系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M0和剛度矩陣K0的變化；M1和M2分別為質(zhì)量矩陣的一階攝動(dòng)和二階攝動(dòng)；K1和K2分別為剛度矩陣的一階攝動(dòng)和二階攝動(dòng)。

ε不必是小參數(shù)，與ε=0對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱為原系統(tǒng)。

當(dāng)εM1+ε2M2→0和εK1+ε2K2→0時(shí)，M→M0，K→K0。

結(jié)構(gòu)修改后相應(yīng)的特征值問(wèn)題為

(K0+εK1+ε2K2)U=(M0+εM1+ε2M2)UΛ

(5)

UT(M0+εM1+ε2M2)U=I

(6)

設(shè)原結(jié)構(gòu)有一m重特征值λ0=λ01=λ02=…λ0m，其相應(yīng)的特征向量為u01，u02，…，u0m，其余特征值為孤立特征值。u0j(j=1,2,…,m)的線性組合仍為該重特征值的特征向量，即

其中：αj為未知的待定系數(shù)。

攝動(dòng)后的結(jié)構(gòu)的重特征值和特征向量可表示為

Λm=Λ0+εΛ1+ε2Λ2

(11)

UADA)=U0mα+ε(U0mαCm+UACA)+ε2(U0mαDm+UADA)

(12)

其中：UA為n×(n-m)的矩陣，其中各列為除U0m之外的其他特征向量矩陣；Λm為m×m的攝動(dòng)后的特征值對(duì)角陣；Λ1和Λ2為m×m的重特征值Λ0的一階和二階攝動(dòng)對(duì)角陣；Cm，Dm和Em為m×m待定的展開(kāi)系數(shù)矩陣；CA，DA和EA為(n-m)×m待定的展開(kāi)系數(shù)矩陣。

將式(11，12)代入式(5，6)，并用Um和Λm代替U和Λ，比較ε的同次冪系數(shù)，可得

ε2: (K0-λ0M0)(U0mαDm+UADA)+(K1-λ0M1)×(U0mαCm+UACA)+(K2-λ0M2)U0mα=M0U0m×α(CmΛ1+Λ2)+M0UACAΛ1+M1U0mαΛ1

(17)

方程(13)～(17)就是確定Λ1，U1，Λ2和α的基本方程。

1.1 特征值一階攝動(dòng)Λ1的確定

Wα=αΛ1

(18)

其中

(19)

求解特征值問(wèn)題(18)可得到Λ1和α。

如果矩陣W無(wú)重特征值，則α可唯一確定；如果W有重特征值，就要補(bǔ)充高階攝動(dòng)方程才能確定α。矩陣W無(wú)重特征值時(shí)有λ1i≠λ1j(i≠j)，其中，λ1k(0

1.2 特征向量一階攝動(dòng)U1的確定

特征向量一階攝動(dòng)U1為

U1=U0mαCm+UACA

(20)

(21)

(22)

由于矩陣CmΛ1-Λ1Cm的對(duì)角元素為零，而Λ2的非對(duì)角元素為零，故可求出

Λ2=diag(R11,R22,…,Rmm)

(23)

(24)

由式(16)可得

(25)

其中

(26)

由式(25)可知

(27)

2 數(shù)值算例

如圖1所示的一個(gè)二自由度的系統(tǒng)，由3個(gè)彈簧支承的質(zhì)點(diǎn)m在x1x2平面內(nèi)微幅振動(dòng)，取質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m=1 kg，當(dāng)3個(gè)彈簧的剛度系數(shù)相同，取k1=k2=k3=1 N/m，這時(shí)該二自由度系統(tǒng)的兩個(gè)特征值相等，即λ1=λ2=1.5，相應(yīng)特征向量u1=[1 0]T，u2=[0 1]T。

為了研究當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)改變時(shí)本研究方法的計(jì)算精度，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的改變量從10%增加到60%，而第3個(gè)彈簧剛度改變量從-10%減少到-60%。與式(3,4)相應(yīng)的攝動(dòng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為

圖1 二自由度彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.1 Mass-spring system with 2 degrees of freedom

將筆者提出的方法與文獻(xiàn)[1]中的重頻結(jié)構(gòu)經(jīng)典攝動(dòng)解進(jìn)行比較，定義固有頻率相對(duì)誤差err=(|ω-ωa|/ωa)×100%，其中：ωa為結(jié)構(gòu)修改后的精確固有頻率；ω為用重分析方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)修改后的固有頻率。表1列舉了1，2階固有頻率的計(jì)算結(jié)果。

從表1中的數(shù)值結(jié)果可以看出，無(wú)論重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變多少， 按筆者攝動(dòng)分析方法給出的重分析結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于按重特征值經(jīng)典攝動(dòng)法給出的結(jié)果。

例如，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量增加20%而第3個(gè)彈簧的剛度系數(shù)減少20%時(shí)，按筆者攝動(dòng)分析方法給出的第1階特征值和第2階特征值的重分析相對(duì)誤差分別為0.054 2%和0.028 2%，而按重特征值經(jīng)典攝動(dòng)法給出的第1階特征值和第2階特征值的重分析相對(duì)誤差分別為1.538 5%和0.800 0%。隨著重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變?cè)龃?，兩種方法計(jì)算誤差均有所增大；當(dāng)重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變30%時(shí)，采用重特征值經(jīng)典攝動(dòng)法計(jì)算得到的兩階固有頻率的最大相對(duì)誤差超過(guò)5.6%，而筆者方法在重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變40%時(shí)計(jì)算得到的兩階固有頻率的最大相對(duì)誤差不超過(guò)0.3%，相同計(jì)算精度要求下，筆者方法的適用范圍更廣；當(dāng)重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變量超過(guò)30%以后，經(jīng)典攝動(dòng)法的重分析計(jì)算結(jié)果誤差急劇增大，因此重特征值經(jīng)典二階攝動(dòng)法的適用范圍是重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變量在30%之內(nèi)，而筆者方法在重頻結(jié)構(gòu)參數(shù)改變60%時(shí)重分析計(jì)算得到的兩階固有頻率的最大相對(duì)誤差也未超過(guò)3.8%，因此筆者方法的適用范圍更廣，適用于重頻結(jié)構(gòu)大修改情況。

表1 固有頻率比較

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了一種應(yīng)用高次增量法來(lái)提高攝動(dòng)解的精度并擴(kuò)大其適用范圍的重頻結(jié)構(gòu)動(dòng)力重分析方法，該方法保留了經(jīng)典攝動(dòng)法簡(jiǎn)單易行的特點(diǎn)，比文獻(xiàn)[1]中的經(jīng)典方法只增加了少許的計(jì)算量，但計(jì)算精度和效率卻有了很大的提高。數(shù)值算例結(jié)果表明，筆者提出的方法具有很高的重分析精度，能夠用來(lái)解決重頻結(jié)構(gòu)大修改情況下的近似重分析問(wèn)題。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.005

*國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(“九七三”計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2010CB736104)；常州工學(xué)院自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(YN1407)

2013-07-29；

2013-09-25

O302

劉志軍，男，1976年4月生，博士后、副教授。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)。曾發(fā)表《索力振動(dòng)測(cè)量的傳遞矩陣法》(《振動(dòng)與沖擊》2011年第30卷第10期)等論文。 E-mail:uliuzj@163.com