張正林（宿州學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽　宿州　234000）

一類時(shí)滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動(dòng)研究

張正林
（宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州234000）

摘要：在實(shí)際求解偏微分方程的定解問題時(shí)，除了在一些特殊的情況下可以方便地求得其精確解外，在一般的情況下，當(dāng)方程或定解條件具有比較復(fù)雜的形式，或求解區(qū)域具有比較復(fù)雜的形狀時(shí)，往往求不到或不易求到其精確解，實(shí)際的需要促使我們?nèi)で笃⒎址匠潭ń鈫栴}的近似解，特別是數(shù)值近似解.本文將對(duì)一類時(shí)滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動(dòng)進(jìn)行研究，希望能夠?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰那蠼鈫栴}提供一定參考借鑒.

關(guān)鍵詞：拋物型；偏微分方程；初邊值；奇攝動(dòng)

基于偏微分方程的圖像處理可以追溯到J.J. Koenderink和A.P.witkin的各自獨(dú)立的研究.他們嚴(yán)格地介紹了尺度空間理論，并指出：圖像與具有遞增方差的高斯函數(shù)做卷積實(shí)現(xiàn)低通濾波，等價(jià)于求解以原圖像為初值的熱傳導(dǎo)方程.對(duì)圖像來說，在切向擴(kuò)散就是沿邊緣進(jìn)行平滑，而在法向擴(kuò)散使得邊緣模糊[1].各向同性擴(kuò)散在法向與切向的擴(kuò)散系數(shù)是相同的，因此具有各向同性的圖像平滑在抑制噪聲的同時(shí)把圖像的邊緣模糊化，使圖像中重要的邊緣信息減少.最具有代表性的各向同性擴(kuò)散的例子就是用高斯核做圖像光滑[2].

1　偏微分方程的求解問題

求一類時(shí)滯拋物型偏微分方程數(shù)值解的方法是多種多樣的，如擬小波精細(xì)積分法[3]，它本身已形成了一個(gè)獨(dú)立的研究方向，其要點(diǎn)是對(duì)偏微分方程定解問題進(jìn)行離散化.對(duì)于偏微分方程的求解問題，不論它是何種類型的偏微分方程，也不分自變量的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)，Maple均使用同一個(gè)函數(shù)pdsolve（)對(duì)其進(jìn)行求解.并且函數(shù)pdsolve（)能夠識(shí)別出用通用方法可以解決的標(biāo)準(zhǔn)形式的偏微分方程，如果方程是非標(biāo)準(zhǔn)形式，它會(huì)試圖用分離變量等方法將它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式再進(jìn)行求解.如果求解成功，pdsolve（)將得到幾種可能的結(jié)果：（1）方程的通解；（2）擬通解（包含有任意函數(shù)，但不足以構(gòu)造出通解）；（3）一些常微分方程的集合[4].

方程的解是以顯式給出的，但表達(dá)式比較復(fù)雜，如果要檢驗(yàn)方程的結(jié)果，可以用函數(shù)pdetest（)進(jìn)行，在結(jié)果正確時(shí)，返回值為0，如果結(jié)果可能有誤，將返回一個(gè)代數(shù)表達(dá)式，也就是說是將求出的結(jié)果代入方程中化簡(jiǎn)而得到的代數(shù)式.如果Maple不能找到最一般形式的通解，還是有結(jié)果的，它會(huì)用函數(shù)PDESolStruc（)的結(jié)果給出，顯示成帶有“星＞-where”的形式.該函數(shù)的第一個(gè)參數(shù)是待求的未知函數(shù)的表達(dá)式，其中包括一些單變量的函數(shù)，第二個(gè)參數(shù)是這些函數(shù)所滿足的常微分方程，這樣的形式[5].

2　一類時(shí)滯拋物型偏微分方程的初邊值問題

求解一維拋物型方程的初邊值問題[6]:

給定初始條件為

邊界條件為

其中f（x，t)是非齊次項(xiàng)，a＞0為擴(kuò)散系數(shù)，g0（t)，g1（t)，d（x)均是已知函數(shù).

空間步長(zhǎng)用h表示，時(shí)間步長(zhǎng)則用τ表示；函數(shù)u（x，t)在（xj，tn)點(diǎn)處的值用ujn近似，xj=jh，t0=nτ，j=0，1，…，m，h=1/m，n≥0[7].

根據(jù)空間的四階緊致差分逼近公式

將上式展開，則可得

（2.10）式是一個(gè)兩層隱式格式，計(jì)算量較大，不方便求解.所以我們將它改寫成如下形式的半顯式格式[9]：

3一類時(shí)滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動(dòng)分析

線性偏微分方程反映了實(shí)際問題的理想情況，現(xiàn)實(shí)中的許多物理現(xiàn)象都是非線性地依賴于一些物理參量變化，從而描述這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理方程就是非線性偏微分方程.非線性偏微分方程有許多不同于線性偏微分方程的特征，如線性偏微分方程的疊加原理對(duì)非線性偏微分方程就不再成立，從而基于疊加原理的求解方法對(duì)非線性偏微分方程就不再適用.另外，解的性質(zhì)也有許多本質(zhì)的變化[11].

自20世紀(jì)60年代以來，非線性方程在物理、化學(xué)、生物等各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中不斷出現(xiàn)，其研究?jī)?nèi)容日趨豐富.與線性方程的定解問題相比，非線性方程定解問題的解法要復(fù)雜得多，至今能求解的方程類型寥寥無幾.在本章中.我們主要介紹物理現(xiàn)象中典型的非線性方程及其求解方法，它們?cè)诜蔷€性光學(xué)、量子場(chǎng)論和現(xiàn)代通信技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景.

假設(shè)所要求解的偏微分方程初值問題的解u（x，t)是光滑的，根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)展開，有

其中[?]jn表示括號(hào)內(nèi)的函數(shù)在節(jié)點(diǎn)（xj，tn)處的取值.利用表達(dá)式（1.5）中的第一式和第三式有[12]：

如果u（x，t)是滿足對(duì)流方程（1.1）的光滑解，則

則，偏微分方程（1.1）在（xj，tn)處可以用下面的方程來近似地代替

其中ujn為u（xj，tn)的近似值.（1.7）式稱作逼近偏微分方程（1.1）的有限差分方程（或簡(jiǎn)稱差分方程）.圖1.4表示所用到的節(jié)點(diǎn).為了方便計(jì)算，可以把（1.7）式改寫成如下形式[13]：

根據(jù)差分方程（1.7）和初始條件（1.2）的離散形式

uj0=φj，j=0，±1，…

4　結(jié)論

本文通過對(duì)一類時(shí)滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動(dòng)進(jìn)行研究，能夠?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰那蠼鈫栴}提供一定參考借鑒.在非線性方程中，最高階數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng).顯然，可以寫出無數(shù)個(gè)偏微分方程，并不是每個(gè)方程都有它的實(shí)際意義和應(yīng)用.一個(gè)特定形式的偏微分方程可描述許多物理理的共性與規(guī)律，它可以有很多不同形式的特解.——————————

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中圖分類號(hào)：O175.8

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2015）09-0001-02