楊偉星

(中國(guó)電建集團(tuán)西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，西安 710065)

文章編號(hào)：1006—2610(2015)03—0015—03

復(fù)數(shù)在坐標(biāo)正反算計(jì)算中的應(yīng)用

楊偉星

(中國(guó)電建集團(tuán)西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，西安 710065)

通過引進(jìn)復(fù)數(shù)對(duì)測(cè)量中坐標(biāo)方位角計(jì)算進(jìn)行公式推導(dǎo)、分析研究、合理優(yōu)化相關(guān)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，得出了計(jì)算坐標(biāo)方位角簡(jiǎn)便公式。優(yōu)化CASIO編程計(jì)算器編程程序，避免在測(cè)量中計(jì)算方位角繁瑣的象限判斷條件，從而提高測(cè)量中的工作效率。

復(fù)數(shù);象限；坐標(biāo)方位角;坐標(biāo)正反算；CASIO編程計(jì)算器

鑒于復(fù)數(shù)運(yùn)算的諸多優(yōu)點(diǎn)，本文主要通過對(duì)復(fù)數(shù)的模和復(fù)角的幾何意義的應(yīng)用，引進(jìn)到坐標(biāo)方位角計(jì)算中。使得坐標(biāo)正反算變得簡(jiǎn)單化，方便CASIO編程計(jì)算器編程，提高了工作效率。

1 數(shù)學(xué)笛卡爾坐標(biāo)系復(fù)平面與測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面

數(shù)學(xué)笛卡爾坐標(biāo)系與測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系復(fù)數(shù)表示法關(guān)系如圖1。

復(fù)數(shù)的表達(dá)形式有直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)和指數(shù)形式3種表達(dá)方式[1-2]。其中直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系也稱復(fù)數(shù)的幾何表達(dá)，CASIO編程計(jì)算器只能對(duì)前兩種復(fù)數(shù)表達(dá)形式進(jìn)行計(jì)算。

z=x+yi=r∠θ=reiθr>0

(1)

式中：r∠θ是復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式；r是復(fù)式z的模Abs(absolute)；θ是復(fù)數(shù)z的復(fù)角Arg(argument)。

圖1 數(shù)學(xué)笛卡爾坐標(biāo)復(fù)平面與測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系復(fù)平面表達(dá)法關(guān)系示意圖

在圖1(1)中所示數(shù)學(xué)笛卡爾坐標(biāo)系中，當(dāng)z點(diǎn)位于Ⅰ、Ⅱ象限時(shí)方向角θ取逆時(shí)針，此時(shí)0° ≤θ≤180°；當(dāng)z點(diǎn)位于Ⅲ、Ⅳ象限時(shí)方向角θ取順時(shí)針，此時(shí)0° ≤θ≤-180°。

在圖1(2)中所示測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)z點(diǎn)位于Ⅰ、Ⅱ象限時(shí)方向角θ取順時(shí)針，此時(shí)0°≤θ≤180°；當(dāng)z點(diǎn)位于Ⅲ、Ⅳ象限時(shí)方向角θ取逆時(shí)針，此時(shí)0°≤θ≤ -180°。

由數(shù)學(xué)坐標(biāo)復(fù)平面和測(cè)量坐標(biāo)系復(fù)平面之間關(guān)系可知，計(jì)算坐標(biāo)方位角時(shí)完全可以借助復(fù)數(shù)的模和復(fù)角進(jìn)行求解。兩點(diǎn)之間距離r=Abs(z)即復(fù)數(shù)的模，兩點(diǎn)之間方位角α=Arg(z),θ≥0時(shí)則α=θ，θ≤0時(shí)則α=θ+360°。

2 坐標(biāo)正反算推導(dǎo)原理

坐標(biāo)正算是通過坐標(biāo)方位角和距離求待求點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)反算通過已知2點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算2點(diǎn)之間距離和方位角[3-4]。

測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系與測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系復(fù)平面表達(dá)關(guān)系如圖2。

圖2 測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系與復(fù)平面坐標(biāo)系表示法示意圖

2.1 測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)正反算公式推導(dǎo)

2.1.1 坐標(biāo)正算

已知點(diǎn)A(xa,ya)，兩點(diǎn)之間距離Sab、方位角θab，求B(xb,yb)，由圖2(1)可得到：

Δxab=Sabcosθab=xb-xa

(2)

Δyab=Sabsinθab=yb-ya

(3)

因此可得：

xb=xa+Sabcosθab

(4)

yb=ya+Sabsinθab

(5)

式(4)、(5)即在測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系下坐標(biāo)正算公式[3,5]。

2.1.2 坐標(biāo)反算

已知A(xa,ya)、B(xb,yb)兩點(diǎn)坐標(biāo)，求AB兩點(diǎn)之間的距離Sab、方位角θab。由圖2(1)可知：

(6)

(7)

式(6)、(7)即為坐標(biāo)反算公式。由于公式中坐標(biāo)方位角的計(jì)算是兩點(diǎn)之間的反正切值，因此，需要進(jìn)行象限條件判斷，具體求法有多種，下面給出一種通用求法。

(8)

當(dāng)xb-xa>0且yb-ya≥0,則Ⅰ象限，此時(shí)方位角θab=θab(銳角)；

當(dāng)xb-xa<0且yb-ya≥0,則Ⅱ象限，此時(shí)方位角θab=180°-θab(銳角)；

當(dāng)xb-xa<0且yb-ya<0,則Ⅲ象限，此時(shí)方位角θab=180°+θab(銳角)；

當(dāng)xb-xa>0且yb-ya<0,則Ⅳ象限，此時(shí)方位角θab=360°-θab(銳角);

當(dāng)xb-xa=0且yb-ya>0，此時(shí)方位角θab=90°；

當(dāng)xb-xa=0且yb-ya<0，此時(shí)方位角θab=270°。

2.2 測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下坐標(biāo)正反算公式推導(dǎo)

2.2.1 坐標(biāo)正算

在測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下，已知點(diǎn)A(xa,yai)，A、B之間距離rab(復(fù)數(shù)模)、方位角θab(當(dāng)復(fù)角θab>0即為方位角，當(dāng)復(fù)角θab<0時(shí)方位角360°-θab)。由復(fù)數(shù)性質(zhì)及圖2(2)則有：

zb=za+rab∠θab=xa+yai+rab∠θab

(9)

式(9)即為測(cè)量高斯坐標(biāo)系復(fù)平面下的坐標(biāo)正算公式。

2.2.2 坐標(biāo)反算

在測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下，已知點(diǎn)A(xa,yai)、B(xb,yb)，求A、B兩點(diǎn)之間距離rab(復(fù)數(shù)模)、方位角θab，由復(fù)數(shù)性質(zhì)及圖2(2)知：

za=xa+yai=ra∠θa

(10)

zb=xb+ybi=rb∠θb

(11)

zab=xab+yabi=(xb-xa)+(yb-ya)i=rab∠θab

(12)

式中：rab為復(fù)數(shù)的模；θab為復(fù)角，當(dāng)復(fù)角θab>0時(shí)方位角為θab，當(dāng)復(fù)角θab<0時(shí)方位角為360°+θab。

式(12)為在測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下的坐標(biāo)反算公式。

3 2種坐標(biāo)正反算的分析比較

坐標(biāo)正反算在工程測(cè)量中有著極其重要作用，通過坐標(biāo)正反算公式的優(yōu)化可以提高現(xiàn)場(chǎng)工作人員的工作效率。下面就以測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系與復(fù)平面系下坐標(biāo)正反算的計(jì)算流程進(jìn)行分析。

3.1 測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系與復(fù)平面系坐標(biāo)的正算流程

測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系與復(fù)平面系坐標(biāo)正算流程如圖3。

圖3測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系與復(fù)平面系下坐標(biāo)正算流程圖

由圖3可知，復(fù)平面系下將坐標(biāo)正算公式用一個(gè)復(fù)數(shù)形式表達(dá)，較測(cè)量高斯平面直角系下用2個(gè)公式形式表達(dá)簡(jiǎn)化。

3.2 測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系與復(fù)平面系坐標(biāo)的反算流程

測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系與復(fù)平面系坐標(biāo)反算流程如圖4、5。

圖4 測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系下坐標(biāo)反算流程圖

由圖4、5可知，在引入復(fù)數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)反算時(shí)可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算公式，計(jì)算可以起到事半功倍作用。

3.3 復(fù)數(shù)在坐標(biāo)正反算CASIO編程中的應(yīng)用

某工程測(cè)量中公路直線兩端點(diǎn)復(fù)數(shù)坐標(biāo)M(A,Bi)、N(C,Di),兩點(diǎn)之間距離T，方位角F。以CASIO-4800P編程計(jì)算器為例，對(duì)MN兩點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)正反算編程。程序如下：

LBIA:{A，B}:Z=0=>Goto 1：≠>Goto2 坐標(biāo)正反算判斷條件，

LBI 1：{C，D}：Pol(C-A,(D-B)i):S=I◢F=J◢J<0=>F=J+360°◢ 坐標(biāo)正算，

GotoA：LBI 2:{S，F(xiàn)}：Rec(S,F):C=A+Ii◢D=B+Ji◢GotoA坐標(biāo)反算。

由上面的程序可知：編程計(jì)算器對(duì)坐標(biāo)正反算進(jìn)行程序編寫時(shí)，通過引入復(fù)數(shù)，使得程序變得簡(jiǎn)潔、明了，提高了工作效率。

圖5 測(cè)量高斯平面坐標(biāo)系復(fù)平面下坐標(biāo)反算流程圖

4 結(jié) 語

在測(cè)量中通過引進(jìn)復(fù)數(shù)求解坐標(biāo)正反算可以得到以下結(jié)論：① 坐標(biāo)正算中使公式變得更加簡(jiǎn)單化，方便CASIO編程計(jì)算器編程。② 坐標(biāo)反算中尤其是方位角計(jì)算中大大減少了方位角象限的判斷，為工程測(cè)量中CASIO編程提供便利。

[1] 覃輝.CASIOfx-5800P編程計(jì)算器公路與鐵路施工測(cè)量程序轉(zhuǎn)換[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社,2009.

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Application of Complex Number in Coordinate Positive and Negative Calculation

YANG Wei-xing

(POWERCHINA Xibei Engineering Corporation Limited, Xi'an 710065,China)

By application of complex number, calculation of the coordinate azimuth in survey is verified by formula calculation, analysis, study and optimized relevant data. Therefore, a simplified formula for calculation of coordinate azimuth is derived. Program of the CASIO programming calculator is optimized, avoiding the complicated conditions of quadrant judgment for azimuth calculation in survey and improving the survey efficiency.

complex number; quadrant; coordinate azimuth; coordinate positive and negative calculation; CASIO programming calculator

2014-08-15

楊偉星(1979- ),男,河南省平頂山人，助理工程師，碩士,從事電站的質(zhì)量控制與變形觀測(cè)工作.

TP391

A

10.3969/j.issn.1006-2610.2015.03.005