劉超　蔡文華　陸玲

摘要：圖像分割是一個(gè)經(jīng)典的難題，由于圖像分割的復(fù)雜性，圖像分割的方法很多也很難有一個(gè)通用的方法。該文主要是對(duì)圖像閾值法分割的一個(gè)綜述，敘述了閾值法分割的一些方法。最后對(duì)這些算法做了一個(gè)總結(jié)，以及對(duì)閾值法分割的期望。

關(guān)鍵詞：圖像分割，閾值法，閾值法分割

中圖分類(lèi)號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2015）01-0140-03

Survey on the Method of Image Threshold Segmentation

LIU Chao，CAI Wen-Hua，LU Ling

（East China Institute of Technology， Nanchang 330013， China）

Abstract： Image segmentation is a classical difficult problem， because of the complexity of image segmentation and image segmentation method of many is difficult to have a general method.This paper is a method of image threshold segmentation， describes the method of threshold segmentation methods.Finally made a summary of these algorithms， as well as expectations for segmenting threshold value method.

Key words： image segmentation； threshold method；threshold method segmentation

閾值分割就是簡(jiǎn)單地用一個(gè)或幾個(gè)閾值將圖像的灰度直方圖分成幾個(gè)類(lèi)，認(rèn)為圖像中灰度值在同一個(gè)灰度類(lèi)內(nèi)的像素屬于同一個(gè)物體。過(guò)去人們?yōu)閳D像灰度閾值的自動(dòng)選擇付出了巨大的努力，提出了很多方法。特別是1979年由日本學(xué)者大津提出一維最大類(lèi)間方差法[1]（OTSU）是現(xiàn)在較為通用的一種閾值分割方法；劉健莊等提出了二維的最大類(lèi)間方差的方法[2]，讓這種分割方法的抗干擾性變得更強(qiáng)了；景曉軍等提出了三維最大類(lèi)間方差的方法[3]，對(duì)低對(duì)比度、低信噪比的目標(biāo)能達(dá)到更好的效果，但是維度越高時(shí)間復(fù)雜度也就越高。

J.C.Yen等人提出的用最大相關(guān)性原則選擇閾值的方法[4]，這種方法其實(shí)只是用他們定義的一個(gè)最大相關(guān)性原則取代了一般用的最大熵原則，N.Papamarkos等人提出的先找出灰度直方圖的峰值點(diǎn)，再用有理多項(xiàng)式來(lái)擬合灰度直方圖兩個(gè)峰間的區(qū)域，讓后求出相應(yīng)的有理多項(xiàng)式的極小值，從而決定閾值的方法[5]，L.Li等人提出的通過(guò)對(duì)圖像的二維直方圖作Fisher線性映射來(lái)決定閾值的方法[6]等。

基于最大熵原則選擇閾值是最為重要的閾值選擇方法之一，九十年代對(duì)最大熵原則的研究包括P.Sahoo等人提出了用Renyi熵代替常規(guī)的最大熵原則[7]，A.D.Brink把這種方法擴(kuò)展到二維直方圖[8]，H.D.Cheng等人將模糊測(cè)度函數(shù)的感念引入最大熵原則，提出了模糊C-分類(lèi)最大熵原則[9]。

1 閾值分割主要方法

閾值法看似是最簡(jiǎn)單的，因?yàn)橹灰业揭粋€(gè)或多個(gè)閾值就可以把圖像分割出來(lái)，但是如何從一副圖像中找到一個(gè)或多個(gè)合適閾值可以說(shuō)是相當(dāng)困難的。下面就詳細(xì)的分析一下閾值法的研究和發(fā)展過(guò)程以及各個(gè)主要算法的提出和中心思想。對(duì)于其中較為簡(jiǎn)單的雙峰法就沒(méi)有介紹。

1） 大津法（OTSU法）

1979年日本學(xué)者大津提出的最大類(lèi)間方差法[1]被認(rèn)為是圖像分割中閾值選取最佳算法。因?yàn)樵摲椒ㄓ?jì)算簡(jiǎn)單，不受圖像亮度和對(duì)比度的影響，所以在圖像分割中得到了很廣泛的應(yīng)用。它是按圖像的灰度特性，將圖像分成背景和前景兩部分。背景和前景之間的類(lèi)間方差越大，說(shuō)明構(gòu)成圖像的兩部分的差別越大，當(dāng)部分前景錯(cuò)分為背景或部分背景錯(cuò)分為前景都會(huì)導(dǎo)致兩部分差別變小。因此，使類(lèi)間方差最大的分割意味著錯(cuò)分概率最小。

設(shè)灰度圖像灰度級(jí)是L，則灰度范圍為[0，L-1]，利用OTSU算法計(jì)算圖像的最佳閾值為下式1所示：

[OTSU=Max[w0（t）*（u0（t）-u）^2 +w1（t）*（u1（t）-u）^2]] （1）

其中變量說(shuō)明：當(dāng)分割的閾值為t時(shí)，w0為背景在整幅圖像灰度所占比例；u0為背景灰度均值；w1為前景在整幅圖像灰度所占比例；u1為前景灰度均值；u為整幅圖像的灰度均值。

使表達(dá)式中的OTSU的值為最大，此時(shí)所取的t值即為分割圖像的最佳分割閾值。

2） 最大熵算法

J N Kapur [10]等人成功地將信息論中的最大熵原理應(yīng)用于圖像閾值的分割，通過(guò)計(jì)算各級(jí)灰度的熵，找出目標(biāo)和背景灰度分布的信息量最大的灰度級(jí)，找出最佳閾值。

設(shè)灰度圖像灰度級(jí)是L，則灰度范圍為[0，L-1]：先求出目標(biāo)和背景的熵值，再求目標(biāo)和背景的熵之和最大值。其中目標(biāo)的熵值如式2所示，背景的熵值如式3所示，式4即為最大熵值。

[H1（t）=i=0t-1-（p[i]/w0（t））*log（p[i]/w0（t））] （2）

[H2（t）=i=tL-1-（p[i]/w1（t））*log（p[i]/w1（t））] （3）

[H=Max（H1（t）+H2（t））] （4）

變量說(shuō)明：分割的閾值為t時(shí)，w0為背景在整幅圖像灰度所占比例，w1為前景在整幅圖像灰度所占比例，p[i]為灰度值i的概率值，H1為背景的熵值，H2為目標(biāo)的熵值。

使表達(dá)式H的值為最大，此時(shí)的t即為分割圖像的最佳閾值。

3） 多閾值最大類(lèi)方差算法

王磊[11]等人把最大類(lèi)方差的方法應(yīng)用在多閾值上。眾所周知在多閾值中如何自動(dòng)的確定閾值個(gè)數(shù)一直是一個(gè)難題。王磊等人自己定義了一個(gè)確定閾值個(gè)數(shù)的公式如式5所示。

[SF=σBCνT] （5）

式中：[νT=i=0L-1（i-μT）2pi]。[νT]為圖像的總方差。類(lèi)間為[σBC]，如下式6所示：

[σBC=ω0（μ0-μT）2+…+ωn（μn-μT）2 +…+ωm-1（μm-1-μT）2] （6）

假設(shè)把圖像分割成了m塊，w即為各個(gè)區(qū)域的比例，u為各個(gè)區(qū)域內(nèi)的平均灰度值，uT是整幅圖像的總平均灰度值。

SF的值用來(lái)度量已經(jīng)存在的類(lèi)之間的分離程度，它的值越大則說(shuō)明這些類(lèi)之間的分離性越強(qiáng)。SF的取值范圍為[[0…1]]，當(dāng)SF趨向于1時(shí)，圖像中的類(lèi)就被完全的分離出來(lái)了，既類(lèi)間方差[σBC]也取得最大值。這樣圖像中的類(lèi)的個(gè)數(shù)以及分割閾值的個(gè)數(shù)就可以自適應(yīng)的確定出來(lái)。

他們的分割思想是：首先使用OTSU算法對(duì)圖像進(jìn)行分類(lèi)，計(jì)算出該次分類(lèi)的最大類(lèi)間方差和SF的值，如果SF的值滿足一定的結(jié)束條件，就退出。否則，就在已存在的類(lèi)中找到具有最大類(lèi)內(nèi)方差的那個(gè)類(lèi)，將它作為下一個(gè)要分割的類(lèi)。對(duì)這個(gè)類(lèi)使用局部OTSU算法分割出新的類(lèi)，然后從新計(jì)算最大類(lèi)間方差和SF的值，直到SF滿足結(jié)束條件為止。

4） 二維OTSU算法

劉健莊[2]等人把OTSU算法從一維直方圖推廣到二維直方圖，二維OTSU算法除了考慮像素點(diǎn)的灰度信息外還考慮了像素點(diǎn)與其領(lǐng)域的空間相關(guān)信息。與一維OTSU算法相比，在有強(qiáng)噪聲的圖像中，二維的OTSU算法能有較好的抗噪聲的能力。

假設(shè)圖像的灰度分為L(zhǎng)級(jí)，那么像素的領(lǐng)域平均灰度也分為L(zhǎng)級(jí)，對(duì)每個(gè)像素點(diǎn)計(jì)算其領(lǐng)域平均灰度，由此形成一個(gè)二元組：像素點(diǎn)的灰度值和它的領(lǐng)域平均灰度值，設(shè)二元組（i，j）出現(xiàn)的頻率為fij，可以定義相應(yīng)的聯(lián)合概率密度Pij如下式7所示：

[Ρij=fij/N，（i，j=0，1，…，L-1）] （7）

式中N為圖像的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，并且[i=0L-1j=0L-1pij=1]。

假設(shè)在二維直方圖存在兩類(lèi)C0和C1，它們分別代表目標(biāo)和背景，具有兩個(gè)不同的概率密度函數(shù)分布。設(shè)分割閾值為（s，t），那么這兩類(lèi)出現(xiàn)的概率分別為下式8和式9所示：

[w0=Pr（C0）=i=0sj=0tpij=w0（s，t）] （8）

[w1=Pr（C1）=i=s+1L-1j=t+1L-1pij=w1（s，t）] （9）

這兩個(gè)類(lèi)所對(duì)應(yīng)的均值矢量是為下式10和式11所示：

[μ0=（μ0i，μ0j）T=（i=0siPr（i/C0），j=0tjPr（j/C0））T =（i=0sj=0tipij/ω0，i=0sj=0tjpij/ω0）T =（μi（s，t）/ω0（s，t），μj（s，t）/ω0（s，t））T] （10）

[μ1=（μ1i，μ1j）T=（i=s+1L-1iPr（i/C1），j=t+1L-1jPr（j/C1））T =（i=s+1L-1j=t+1L-1ipij/ω1，i=s+！L-1j=t+1L-1jpij/ω1）T =（μi（s，t）/ω1（s，t），μj（s，t）/ω1（s，t））T] （11）

在二維直方圖上總的均值為下式12所示：

[μT=（μTi，μTj）T =（i=0L-1j=0L-1ipij，i=0L-1j=0L-1jpij）T] （12）

在理想的情況，遠(yuǎn)離直方圖對(duì)角線的概率是很小的幾乎可以忽略不計(jì)，所以可以合理地假設(shè)在兩個(gè)區(qū)域：[i=s+1，…，L-1]，[j=0，…，t]；[i=0，…s]，[j=t+1，…，L-1]有[pij≈0]。此時(shí)很容易證明下面的關(guān)系成立：

[ω0+ω1≈1，μT≈ω0μ0+ω1μ1]

定義一個(gè)離散度矩陣，即為下式13所示：

[σB=ω0[（μ0-μT）（μ0-μT）T] +ω1[（μ1-μT）（μ1-μT）T]] （13）

用離散度矩陣的跡作為背景和目標(biāo)類(lèi)的離散度的測(cè)度，其式14所示：

[Tr（σB）=ω0[（μ0i-μTi）2+（μ0j-μTj）2] +ω1[（μ1i-μTi）2+（μ1j-μTj）2]] （14）

當(dāng)這個(gè)離散度矩陣的跡為最大值即為取得最優(yōu)分割閾值為[（s'，t'）]，既

[Tr（s'，t'）=Max（Tr（s，t）），0≤s，t≤L-1] （15）

5） 二維最大熵算法

A S Abutaleb[12]等人在一維最佳熵的基礎(chǔ)上得到了二維最大熵的方法。后面的研究者又把該算法進(jìn)行了發(fā)展和完善，該文就敘述一下完善的二維最大熵的算法。

二維最大熵算法中多出來(lái)的一維也是像素點(diǎn)領(lǐng)域的均值，所以求聯(lián)合概率是和二維OSTU算法一樣，這里就不做重復(fù)敘述了。接上面二維OTSU算法求C0和C1概率w0和w1。二維最大熵算法也是和二維OSTU算法一樣有一個(gè)很重要的假設(shè)前提，就是w0加w1的和約等于1。所以可以求出C0和C1的熵值如式16和式17所示：

[HC0（s，t）=-i=0sj=0tpijw0logpijw0] （16）

[HC1（s，t）=-i=s+1L-1j=t+1L-1pijw1logpijw1] （17）

所以總的熵為：

[H（s，t）=HC0（s，t）+HC1（s，t）] （18）

根據(jù)最大熵原理，存在一個(gè)閾值（s*，t*）使得H（s*，t*）取得最大值既：

[H（s*，t*）=Max（H（s，t））] （19）

所以（s*，t*）既我們所取的最佳分割閾值。

2 總結(jié)

一維OTSU既是大津法的計(jì)算簡(jiǎn)單，也不受圖像亮度和對(duì)比度的影響，能對(duì)一幅圖片有很好的分割。但是因?yàn)槠渲饕强紤]灰度值，對(duì)于一些噪聲比較強(qiáng)的圖像分割效果就不是很好了。也正是出于這個(gè)方面的考慮，劉健莊等人提出了二維的OTSU，該算法解決了噪聲的干擾的問(wèn)題，但是把維度的增加，時(shí)間的開(kāi)銷(xiāo)就自然的增加。無(wú)論是幾維的OTSU對(duì)圖像進(jìn)行分割，但是從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，都是比較簡(jiǎn)單，使用如此簡(jiǎn)單的方法得到如此好的分割效果確實(shí)不容易的一件事情。所以O(shè)TSU方法看似簡(jiǎn)單，卻又不簡(jiǎn)單之處。

J N Kapur等人提出的最大熵的圖像分割算法成功地把信息論原理和圖像分割相結(jié)合，這不得不說(shuō)是一個(gè)了不起的思想，并且得到了較好的分割效果。但是最大熵的方法也只是和灰度值出現(xiàn)的概率有關(guān)，卻和像素點(diǎn)的灰度值大小沒(méi)有關(guān)系，這確實(shí)是一個(gè)遺憾。A S Abutaleb等人提出的二維最大熵分割算法同樣是為了解決強(qiáng)噪聲的干擾問(wèn)題，但同樣是時(shí)間復(fù)雜度增加的老問(wèn)題。還有就是基于二維直方圖的圖像分割算法都是基于一個(gè)很理想的想法，W0和W1相加約等于1。但是當(dāng)圖像的噪音越強(qiáng)時(shí)，W0和W1相加卻不可能達(dá)到1有的甚至一半都達(dá)不到，這樣所產(chǎn)生誤差就變得很大，從而影響分割效果。

上一節(jié)中提到過(guò)的王磊等人的研究。多閾值的最大類(lèi)方差分割方法能把圖像的信息更多地保留了下來(lái)，能得到更好的效果。但是這對(duì)于我們分析圖像就會(huì)出現(xiàn)不小的困難，因?yàn)椴荒艽_定那些信息是更有效的。多閾值的分割就像是把圖像灰度級(jí)下降了一樣，多余多目標(biāo)的分割卻有很好的用處。

我們從上面的分析可以看得出，各種分割方法有各自己的特點(diǎn)，對(duì)圖像分割也有不同的要求，但所分割圖像都為灰度圖像。閾值法分割在將來(lái)應(yīng)該向彩色圖像、紋理圖像等一些更加特殊的圖像上的應(yīng)用。因?yàn)椴噬珗D像和紋理圖像是圖像中分割的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，是眾多圖像研究者所關(guān)心的內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)：

[1] OTSU N. A Threshold Selection Method from Gray-level Histogram [J]. IEEE Trans on Systems， Man and Cybernetics， 1979， 9（1）： 62-66.

[2] 劉健莊，栗文青.灰度圖像的二維Otsu自動(dòng)閾值分割法[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1993，19（1）：101-105 .

[3] 景曉軍，李劍峰，劉郁林.一種基于三維最大類(lèi)間方差的圖像分割算法[J].電子學(xué)報(bào)，2003，31（9）：1281-1285.

[4] Yen JC，Chang F J，Chang S.A New Criterion for Automatic Multilevel Thresholding.IEEE Trans on Image Processing ，1995，4（3）：370-377.

[5] Papamarkos N，Gatos B.A New Approach for Multilevel Threshold Selection.CVGIP：Graphic Models and Image Processing.1994，56：357-370.

[6] Li L，Gong J，Chen W.Grey-Level Image Thresholding Based on Fisher Linear Projection of Two-Dimensional Ilistogram.Pattern Recognition，1997，30（5）：743-750

[7] Sahoo P，Wilkins C，Yeager J.Threshold Selection Using Renyi's Entropy.Pattern Recognition，1997，30（1）：71-84.

[8] Brink A D.Thresholding of Digital Images Using Two-Dimensional Entropies.Pattern Recognition，1992，25（8）：803-808.

[9] Cheng H D，Chen J R，Li J G.Threshold Selection Based on Fuzzy c-Partition Entropy Approach.Pattern Recognition，1998，31（7）：857-870.[10]A S Abutaleb.Automatic Thresholding of Gray-level Picturesusing Two-dimensional Entropy[J].Computer Vision，Graphics and Image Processing，1989，47（1）.

[11] 王磊，段會(huì)川.Otsu方法在多閾值圖像分割中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2008，29（11）：2844-2972.

[12] Kapur J N，Sahoo P K，Wong A K C .A New Method of Gray-level Picture Thresholding using the Entropy of the Histogram[J].Computer Vision，Graphics and Image Processing，1985，29（2）.