☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢(qián)德春

由“無(wú)理數(shù)”在教材中的安排引發(fā)的思考

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢(qián)德春

修訂后的蘇科版教材《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下簡(jiǎn)稱蘇科修訂版）［1］中，對(duì)“無(wú)理數(shù)”的學(xué)習(xí)順序做了調(diào)整，將蘇科實(shí)驗(yàn)版［2］教材的八年級(jí)勾股定理、開(kāi)平方之后提前到七年級(jí)“有理數(shù)”之后、數(shù)軸之前學(xué)習(xí)，這是基于數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)性、邏輯性、系統(tǒng)性考慮而安排的.從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，教師有兩點(diǎn)困惑：一是就學(xué)生認(rèn)知而言，以什么方式引入“無(wú)理數(shù)”比較恰當(dāng)？二是如何讓學(xué)生理解“無(wú)理數(shù)”的概念？有了“無(wú)理數(shù)”概念，“實(shí)數(shù)”概念呼之欲出，怎么處理？

教師的教學(xué)困惑引發(fā)了筆者的思考：“無(wú)理數(shù)”教學(xué)內(nèi)容在蘇科修訂版教材中的安排依據(jù)是什么？為什么教師會(huì)產(chǎn)生教學(xué)困惑？如何處理知識(shí)的科學(xué)性、邏輯性、系統(tǒng)性與教學(xué)現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系？

一、蘇科版教材順序安排及依據(jù)考證

從某種意義上說(shuō)，教材這種安排具有一定的科學(xué)性、邏輯性，筆者從兩個(gè)方面來(lái)論證.

1.從無(wú)理數(shù)與數(shù)軸的產(chǎn)生背景與時(shí)序來(lái)論證

據(jù)考證：約公元前500年，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)：正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的，即：若正方形邊長(zhǎng)是有理數(shù)，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是有理數(shù)，達(dá)芬奇稱之為“無(wú)理的數(shù)”，后人證明這是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的無(wú)限不循環(huán)小數(shù).數(shù)軸則由笛卡兒（1596～1650年）發(fā)明，“無(wú)理數(shù)”的發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)早于“數(shù)軸”的發(fā)明，發(fā)明“數(shù)軸”時(shí)人們所認(rèn)識(shí)的“數(shù)”在數(shù)軸上表示的點(diǎn)已經(jīng)能夠“布滿”數(shù)軸.因此，從無(wú)理數(shù)與數(shù)軸的產(chǎn)生背景與時(shí)序上說(shuō)，教材的安排具有合理性.

2.從有理數(shù)、無(wú)理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系來(lái)論證

我們知道：嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的顯著特征.數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，唯有將所有的“有理數(shù)”與“無(wú)理數(shù)”在數(shù)軸上表示，才在數(shù)軸上形成致密的、“不間斷”的點(diǎn).如果在“有理數(shù)”后接著就研究“數(shù)軸”，由于“有理數(shù)并沒(méi)有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的‘孔隙’.而這種‘孔隙’經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得‘不可勝數(shù)’”.即僅有“有理數(shù)”在數(shù)軸上表示就不完備、不連續(xù)、不嚴(yán)密.因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，教材這種安排不無(wú)道理.

二、教材內(nèi)容簡(jiǎn)述與教師教學(xué)困惑

為了理清相關(guān)問(wèn)題，筆者在簡(jiǎn)述教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對(duì)教師的教學(xué)困惑及其原因給予分析.

1.蘇科修訂版無(wú)理數(shù)部分內(nèi)容簡(jiǎn)述

圖1

蘇科修訂版教材是在七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)”的第一節(jié)“正數(shù)與負(fù)數(shù)”之后，緊接著安排了“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”一節(jié)，后一節(jié)接著研究“數(shù)軸”.（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)，并舉例說(shuō)明有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).接著進(jìn)行操作活動(dòng)：如圖1，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，沿圖中虛線剪開(kāi)，重新拼成一個(gè)大的正方形，它的面積為2，進(jìn)而提出問(wèn)題：如果設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，那么a2=2，a是有理數(shù)嗎？接著，

2.教師教學(xué)之困惑

“無(wú)理數(shù)”產(chǎn)生的來(lái)源很多，初中階段主要是開(kāi)方運(yùn)算的結(jié)果、圓周率等，三角函數(shù)產(chǎn)生的“無(wú)理數(shù)”也有開(kāi)方運(yùn)算的原因，其源頭是勾股定理和開(kāi)平方運(yùn)算.蘇科修訂版教材通過(guò)拼圖方式得到等式a2=2，似乎巧妙地回避了開(kāi)方運(yùn)算，但“無(wú)理數(shù)”的概念引入存在兩個(gè)方面的困惑：第一，由于七年級(jí)學(xué)生還不具備相關(guān)知識(shí)，學(xué)生對(duì)“a是無(wú)理數(shù)”的理解還是有一定的困難的.教材在說(shuō)明“滿足a2=2的a是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”時(shí)運(yùn)用了有限逼近、合情推理的方法，本身也是不嚴(yán)密的，這顯然陷入了“用一種不嚴(yán)密代替另一種不嚴(yán)密”的怪圈.第二，教材將“無(wú)理數(shù)”安排在七年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)“無(wú)理數(shù)是什么、怎么產(chǎn)生的”解釋顯得蒼白，教師無(wú)法回應(yīng)學(xué)生的關(guān)注與疑問(wèn)，造成了教師教學(xué)的困惑.

三、幾種版本教材“無(wú)理數(shù)”的教材安排比較

1.幾種版本的初中數(shù)學(xué)教材比較

筆者就“無(wú)理數(shù)”在教材中的安排，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）下的人教版、［3］北師大版、［4］華師大版、［5］湘教版、［6］浙教版、［7］蘇科實(shí)驗(yàn)版和蘇科修訂版做了比較（見(jiàn)下表）：

版本年級(jí)頁(yè)碼內(nèi)容在第六章實(shí)數(shù)第3節(jié)“實(shí)數(shù)”的第2節(jié)課時(shí)的“平方根”中，將兩個(gè)面積為1的正方形拼成一個(gè)大正方形求其邊長(zhǎng)得到x2=2，由逼近法得到x是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，進(jìn)而在第3節(jié)“實(shí)數(shù)”中引出無(wú)理數(shù)概念，再完善“實(shí)數(shù)”的定義.北師大版人教版七年級(jí)下冊(cè)41～44八年級(jí)上冊(cè)21～25在第二章“勾股定理”之后的第三章“實(shí)數(shù)”中，安排了“認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)”一節(jié).華師大版■是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，從而引出無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念.湘教版八八年級(jí)上冊(cè)8～12第十一章“數(shù)的開(kāi)方”第2節(jié)“實(shí)數(shù)”：前面已學(xué)過(guò)平方根與立方根.教材通過(guò)呈現(xiàn)用計(jì)算機(jī)計(jì)算2■的結(jié)果，讓學(xué)生直觀感知2八年級(jí)上冊(cè)108～118第三章“實(shí)數(shù)”：在學(xué)習(xí)了“平方根”后引入了“無(wú)理數(shù)”，最后完善了實(shí)數(shù)概念及運(yùn)算法則.蘇科實(shí)驗(yàn)版第二章“勾股定理與平方根”的第5節(jié)“實(shí)數(shù)”：在“勾股定理”及逆定理和“平方根”之后引出“無(wú)理數(shù)”，進(jìn)而將數(shù)系擴(kuò)充至實(shí)數(shù)范圍.浙教版八年級(jí)上冊(cè)57～59七年級(jí)上冊(cè)71～73第三章“實(shí)數(shù)”的第2節(jié)“實(shí)數(shù)”：在“平方根”之后引出“無(wú)理數(shù)”概念，從而完善實(shí)數(shù)概念.平方根之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘方及有理數(shù)的概念.蘇科修訂版七年級(jí)上冊(cè)15～17將“無(wú)理數(shù)”內(nèi)容提前到七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)”中學(xué)習(xí)，并將“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”單列為一節(jié)，而前一節(jié)的知識(shí)是“正數(shù)與負(fù)數(shù)”，后面研究“數(shù)軸”.

2.比較后的結(jié)論

從以上七種版本教材看，人教版、華師大版、湘教版和浙教版都是在平方根之后引入無(wú)理數(shù)概念，進(jìn)而完善實(shí)數(shù)概念，符合知識(shí)邏輯，但都是從數(shù)值計(jì)算出發(fā)引入概念，學(xué)生仍然缺少體驗(yàn)與感悟；北師大版、蘇科實(shí)驗(yàn)版則是在勾股定理學(xué)習(xí)中，已知兩邊求第三邊時(shí)出現(xiàn)開(kāi)平方運(yùn)算，進(jìn)而順勢(shì)引出無(wú)理數(shù)概念，這種由形到數(shù)、從直觀到抽象的概念引入方式自然流暢，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)發(fā)展史；蘇科修訂版從有理數(shù)直接到無(wú)理數(shù)，對(duì)七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解有難度也是自然的事.

四、“無(wú)理數(shù)”呈現(xiàn)順序及其教育形態(tài)

（一）對(duì)教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)順序的思考

1.教材模塊化設(shè)計(jì)與知識(shí)邏輯關(guān)系

各種版本教材根據(jù)課程目標(biāo)、課程內(nèi)容有自己的思考與自身的編排體系無(wú)可厚非，但這種體系與安排應(yīng)該兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯體系，順應(yīng)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知心理.由于數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有一定的邏輯關(guān)系，教材安排順序和教學(xué)順序不宜隨意變化.現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材采用了模塊化設(shè)計(jì)方案，但在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂調(diào)研中，一些受訪的數(shù)學(xué)家很看重中學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，對(duì)高中數(shù)學(xué)教材模塊化設(shè)計(jì)提出質(zhì)疑，認(rèn)為模塊化設(shè)計(jì)不適合數(shù)學(xué)的邏輯體系，有些聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)內(nèi)容分散在不同系列或模塊中，造成割裂和遺忘.一般地，如果課程內(nèi)容之間沒(méi)有明顯的邏輯關(guān)系，一部分內(nèi)容對(duì)另一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)度不大，適宜采用模塊化方案.比如全等三角形與統(tǒng)計(jì)、概率沒(méi)有必然的關(guān)聯(lián)，教材安排的先后順序就顯得不那么重要；但“全等三角形”是“相似三角形”的基礎(chǔ)，“相似三角形”是“全等三角形”的發(fā)展，因此“相似三角形”教學(xué)必須安排在“全等三角形”之后，順序不能隨意改變.

2.“無(wú)理數(shù)”到底應(yīng)該安排在哪里學(xué)習(xí)

從教學(xué)實(shí)踐看，“有理數(shù)”后宜直接引入“數(shù)軸”，而“無(wú)理數(shù)”概念則應(yīng)在學(xué)習(xí)了勾股定理、開(kāi)方運(yùn)算后引入，并與“有理數(shù)”一起建構(gòu)“實(shí)數(shù)”概念，逐步建立起“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，同時(shí)將“有理數(shù)”的運(yùn)算法則擴(kuò)充到“實(shí)數(shù)”范圍.這種安排，無(wú)論知識(shí)的生成還是學(xué)生的理解都比較順暢、自然.盡管在“有理數(shù)”后直接引入“數(shù)軸”從知識(shí)體系上說(shuō)有不嚴(yán)格之處，但教學(xué)中可以只研究“有理數(shù)在數(shù)軸上的表示”，而“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”問(wèn)題，待后繼學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)后再逐步完善.

（二）知識(shí)的三種形態(tài)［8］與“無(wú)理數(shù)”學(xué)習(xí)

上述問(wèn)題讓筆者想到了數(shù)學(xué)知識(shí)的三種形態(tài)，以及如何看待“無(wú)理數(shù)”三種形態(tài)之間的關(guān)系.

1.數(shù)學(xué)知識(shí)的三種形態(tài)

數(shù)學(xué)專家、課程專家和教育工作者，不同角色的關(guān)注可能有所側(cè)重：你可能更多關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)、知識(shí)體系、課程目標(biāo)，你或是關(guān)注課堂的生成、學(xué)生的接受與理解、學(xué)生的個(gè)性特長(zhǎng)、差異與素養(yǎng)；你還可以關(guān)注考試、結(jié)果與評(píng)價(jià).這里就涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的三種形態(tài)：學(xué)術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)、教育形態(tài)（也有學(xué)者稱之為歷史程序、邏輯程序、教學(xué)程序）.

所謂學(xué)術(shù)形態(tài)，是指數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)明者或數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)者將數(shù)學(xué)知識(shí)、結(jié)論用簡(jiǎn)練、邏輯、系統(tǒng)的語(yǔ)言（包括文字、圖形、符號(hào)）以文本形式表述出來(lái)，屬于學(xué)術(shù)范疇，學(xué)術(shù)形態(tài)常常隱去發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，有時(shí)就“像一只狡猾的狐貍，在沙地上一面走，一面用尾巴抹掉走過(guò)的足跡”.［9］所謂課程形態(tài)，是“將論文中的數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)消化加工，編入講義或課本時(shí)，已有了很大變化：更加系統(tǒng)，更加可讀”，但教材在考慮操作性和可讀性的同時(shí)，又要兼顧邏輯性、系統(tǒng)性和簡(jiǎn)潔性，這又“離‘課堂中的數(shù)學(xué)’仍有距離，仍有較大區(qū)別.”［8］而教育形態(tài)則是教師課堂上將課程形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生能接受的現(xiàn)實(shí)情境、語(yǔ)言表達(dá)、方式方法.因此數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)與教育形態(tài)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別.顯然，為了知識(shí)體系的完備與嚴(yán)密而在“有理數(shù)”之后直接引出“無(wú)理數(shù)”，是一種學(xué)術(shù)思維.

2.“無(wú)理數(shù)”的教育形態(tài)

鄭毓信教授談數(shù)學(xué)要重視“序的思想”.［10］筆者以為，這里的“序”包含知識(shí)邏輯的“序”，也應(yīng)該包含學(xué)生認(rèn)知的“序”.教學(xué)目標(biāo)與知識(shí)產(chǎn)生順序、學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與心理預(yù)期都應(yīng)該成為教材和教學(xué)所關(guān)注，學(xué)生已有什么、能達(dá)到什么、教學(xué)目標(biāo)是什么，應(yīng)該是教學(xué)的起點(diǎn)與終點(diǎn).因此，必須將數(shù)學(xué)知識(shí)的其他形態(tài)向教育形態(tài)轉(zhuǎn)化，把對(duì)知識(shí)邏輯的關(guān)注轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)知識(shí)邏輯和認(rèn)知邏輯的雙關(guān)注.

蘇步青先生有一句名言：“中小學(xué)教材可以混而不錯(cuò)”.［11］“‘不錯(cuò)’是大前提，關(guān)注大方向、本質(zhì).混是放松嚴(yán)格性的要求，現(xiàn)階段講不清楚的問(wèn)題用寫(xiě)意的方式說(shuō)明，但仍不失其真.”［12］教材與教學(xué)應(yīng)該在尊重基本事實(shí)的前提下采用“混而不錯(cuò)”的策略，設(shè)計(jì)從“不嚴(yán)格”到“嚴(yán)格”［13］的過(guò)程：可以用“白描”的語(yǔ)言描述概念，也可以控制變量方式對(duì)問(wèn)題理想化思考，有時(shí)還可以允許暫時(shí)的“忽略不計(jì)”，在螺旋式上升中逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的完備性和嚴(yán)格性，最終達(dá)到嚴(yán)格.如“負(fù)負(fù)得正”法則在數(shù)學(xué)家眼中是一種規(guī)定，教師可以直接告訴學(xué)生“這是規(guī)定”嗎？顯然不能！教學(xué)中就要設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)情境來(lái)解釋這個(gè)法則，以利于學(xué)生的理解.

學(xué)習(xí)“有理數(shù)”時(shí)，學(xué)生當(dāng)然會(huì)關(guān)注：有理數(shù)有大小嗎？如何比較？可以像小學(xué)算術(shù)那樣進(jìn)行運(yùn)算嗎？教材與教學(xué)就要在學(xué)習(xí)目標(biāo)的統(tǒng)攝下，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知與關(guān)注，可以暫時(shí)“忽略”無(wú)理數(shù)，直接引出“數(shù)軸”概念、算術(shù)運(yùn)算律與法則在“有理數(shù)”中的推廣.而與“無(wú)理數(shù)”相關(guān)的順序鏈為：有理數(shù)→數(shù)軸→勾股定理→開(kāi)平方→無(wú)理數(shù)→實(shí)數(shù)→實(shí)數(shù)運(yùn)算，從而建構(gòu)完整的知識(shí)體系和方法體系，以逐步達(dá)到“嚴(yán)格”層次.這種變化就是將學(xué)術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，而教材設(shè)計(jì)則應(yīng)該順應(yīng)這種轉(zhuǎn)化，向教學(xué)現(xiàn)實(shí)貼近一點(diǎn)，再貼近一點(diǎn).

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