☉江蘇省宿遷市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李軍

分圖分類分析
——一道中考操作題的解法探究及分析思考

☉江蘇省宿遷市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李軍

一、原題呈現(xiàn)

題目（2015年南京市第25題）如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，請(qǐng)畫出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）

圖1

二、解法探索

1.“圓規(guī)”探究法

（1）以3為等腰三角形的“腰”.

①兩腰都在正方形邊上，如圖2；②一腰在正方形邊上，如圖3、圖4.

圖2

圖3

圖4

以A為圓心，3的長為半徑畫弧，與邊AB、AD相交即可.先畫OA=3，再以O(shè)為圓心，3的長為半徑畫弧，與邊CD相交即可.同圖3，大小也相同，兩圖畫出一個(gè)即可.

（2）以3為等腰三角形的“底”.

①“底”在正方形邊上，如圖5、圖6；

圖5

?

圖6

②“底”不在正方形邊上（先是兩腰在正方形邊上，然后是兩腰不在正方形邊上），如圖7、圖8.

圖7

圖8

同圖7，也可作出圖7中的已作線段關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱線段即可.以A為圓心，1.5的長為半徑畫弧，與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)E，過E作AC垂線與正方形兩邊相交即可.

2.“網(wǎng)格”探究法

根據(jù)題目條件，將邊長為4的正方形放置到對(duì)應(yīng)邊長為1的正方形網(wǎng)格中加以探究，有了網(wǎng)格便可以通過觀察，借助刻度尺或圓規(guī)等工具將問題解決（如圖9～15便一目了然，畫法略）.

（1）以點(diǎn)A為兩腰交點(diǎn)思考（先是兩腰在正方形邊上，然后是兩腰不在正方形邊上，如圖9～11）.

圖9

圖10

圖11

（2）以點(diǎn)A為底與腰交點(diǎn)思考（先是底在正方形邊上，再是腰在正方形邊上，如圖12～15）.

圖12

圖13

圖14

圖15

3.“折紙”探究法

因給定的圖形及組合后的部分圖形為軸對(duì)稱圖形，故筆者想到用“折紙法”進(jìn)行探究，并進(jìn)行了“折紙”試驗(yàn)，以上圖形均可由“折疊”得出.

將給定的正方形做成正方形紙片，沿橫向與縱向各折疊兩次，便在正方形各邊上得到“數(shù)值點(diǎn)（線）”（如圖16），然后再分別以3為等腰三角形的“底”及以3為等腰三角形的“腰”兩類分別折疊便可得出圖形，如圖17～23.

圖16

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

先折出對(duì)角線AC，再沿∠BAC的平分線折疊，在AC上使AE′= 3，再沿AE′的中垂線折疊即可.

圖22

圖23

三、特色分析

1.設(shè)計(jì)簡明 立意操作

從選材看，選取學(xué)生特別熟悉的正方形和等腰三角形作為背景圖，以生為本，簡單美觀；從語言表述看，簡潔明確，要求具體，操作指向明了；從構(gòu)思看，在操作中提煉“模型”，重視基礎(chǔ)（基礎(chǔ)圖形、基礎(chǔ)知識(shí)、基本操作），呈現(xiàn)層次性（學(xué)生會(huì)由簡單入手，分層思考）和多樣性（會(huì)呈現(xiàn)出不同的豐富多彩的情況）.

2.易于動(dòng)手 引領(lǐng)探究

此題操作起點(diǎn)低、入口寬，不同層次的學(xué)生均可以動(dòng)手嘗試，會(huì)盡自己所能畫出能想到的圖形，當(dāng)然也能得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).由于學(xué)生易于動(dòng)手，所以問題情境能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，不斷激勵(lì)學(xué)生去向更多、更深的方向思索與邁進(jìn)，簡單的問題鋪設(shè)著“過程性”道路，突出延展了問題思考過程與操作過程.

3.關(guān)注經(jīng)驗(yàn) 突出分類

“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的課程目標(biāo)，將原有的“雙基”教學(xué)發(fā)展為“四基”教學(xué).本題的考查，就是立足于學(xué)生的基本經(jīng)驗(yàn)，有的通過觀察比劃即可畫出圖形；有的需借助圓規(guī)操作，圖形就會(huì)顯現(xiàn)出來；有的需要分析思考，多次嘗試才能得出答案.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會(huì)遇到分類問題，如數(shù)的分類、圖形的分類、代數(shù)式的分類、函數(shù)的分類等.……分類的過程就是對(duì)事物共性抽象的過程.……學(xué)會(huì)分類，可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題.”

本例屬于典型的圖形分類問題，突出考查學(xué)生在操作的同時(shí)要學(xué)會(huì)分類，同時(shí)指引學(xué)生可以從“形”和“數(shù)”兩個(gè)角度加以分類（上述方法從不同側(cè)面進(jìn)行了探討），即以固定不動(dòng)的點(diǎn)A為分類點(diǎn)，分點(diǎn)A為兩腰的交點(diǎn)及腰與底邊的交點(diǎn)兩大類，或以數(shù)量“3”為出發(fā)點(diǎn)，分以3為等腰三角形的“腰”與以3為等腰三角形的“底”兩大類.這樣就會(huì)做到“不重不漏”，完整解答.

四、命題建議

若能在原有問題基礎(chǔ)上增加“求出相應(yīng)的等腰三角形面積”，則問題將變得更豐富、更有內(nèi)涵，更能引發(fā)學(xué)生去思考、去計(jì)算，進(jìn)而去聯(lián)系更多的知識(shí)，構(gòu)建“點(diǎn)線式”知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，或許對(duì)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)及思維的發(fā)展會(huì)大有裨益.

五、教學(xué)思考

1.多維探究，解題策略優(yōu)化互補(bǔ)

日常教學(xué)中，應(yīng)在學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備上，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，發(fā)散學(xué)生的思維，以提升學(xué)生解決問題的實(shí)際能力和思維水平，如果學(xué)生平時(shí)解題僅僅停留在為解題而解題、就題論題的層面上，靠題海戰(zhàn)術(shù)和老師的灌輸獲得解題技巧，而很少經(jīng)歷探索、思考的過程，就不能養(yǎng)成思考的習(xí)慣，只能模仿和套用已有的知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)生則不能形成真正的數(shù)學(xué)能力.

對(duì)于本題提供的三種操作思路，學(xué)生并不陌生，它是操作類題中經(jīng)常涉及的（使用作圖工具、正方形網(wǎng)格、折紙操作），不同的操作策略有不同的特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生多方位思考，既培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性，也訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維，還可以啟發(fā)學(xué)生比較優(yōu)劣，從而優(yōu)選方案，更優(yōu)更快地分析問題和解決問題.

2.重視操作，培養(yǎng)動(dòng)手畫圖能力

操作類試題一般在中考中較難考查，此題為此搭建了很好的平臺(tái)，對(duì)教學(xué)起到了較好的引領(lǐng)作用.平時(shí)教學(xué)中，教師不能一味地讓學(xué)生埋頭做計(jì)算題和推理題，更要在操作中培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新精神，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中激發(fā)興趣，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，總結(jié)規(guī)律，掌握其操作方法，學(xué)會(huì)思考.本題可借助圓規(guī)，找到關(guān)鍵點(diǎn)就可把所有情況一一畫出來，讓學(xué)生知其然，更要知其所以然.如若本題僅僅是結(jié)果的展示，則失去了“數(shù)學(xué)本真”，也不符合學(xué)段特征（初中學(xué)段——尺規(guī)作圖、合情推理、邏輯推理等）.

3.規(guī)范指導(dǎo)，反思過程

畫圖的過程是學(xué)生動(dòng)手操作的過程，也是幾何直觀的具體體現(xiàn)，通過捕獲作圖過程中的信息尋找解決問題的切入口，在教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生的畫圖習(xí)慣，教師首先要做出示范.畫圖類問題在操作時(shí)，若教師平時(shí)重視不夠或操作示范性不夠嚴(yán)謹(jǐn)，自然就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生畫圖不認(rèn)真、不仔細(xì)，任意涂改，造成所畫圖形雜亂，以致引發(fā)思考淺浮，思維混亂.本題學(xué)生或許能畫出部分圖形，但如不規(guī)范操作，耐心思考，想完整全面答出此題也是望塵莫及的.這就要求在日常的教學(xué)中，一方面教師要做好表率作用，另一方面也要求學(xué)生認(rèn)真對(duì)待，規(guī)范操作，條理思考，將圖形畫得準(zhǔn)確、美觀、完全.

美國教育心理家布魯納指出：掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和更利于記憶，領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”.在人的一生中，最有用的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)的意識(shí)，因此數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓.操作類問題其實(shí)也蘊(yùn)含著一定的知識(shí)和思想方法，需要師生共同總結(jié)思考，雖然本題考查的知識(shí)點(diǎn)不是很豐富，其關(guān)鍵是要能學(xué)以致用，其中有分類討論、類比轉(zhuǎn)化、特殊與一般、圖形變換等重要數(shù)學(xué)思想，值得我們深思.

1.湯妙娟.對(duì)一道中考題的賞析、探究及反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.

2.由學(xué)芹.再說“數(shù)學(xué)好玩”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2012（9）.

3.張俊.一道試題的多解思考及其教學(xué)展望［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（8）.

4.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.H