逄崇雁，孫書利

(黑龍江大學 電子工程學院，哈爾濱 150080)

帶未知觀測輸入和觀測丟失多傳感器隨機不確定系統(tǒng)的集中式融合濾波

逄崇雁，孫書利*

(黑龍江大學 電子工程學院，哈爾濱 150080)

對帶未知觀測輸入和觀測丟失的多傳感器隨機不確定系統(tǒng)設(shè)計了集中式融合濾波器。通過乘性噪聲描述的隨機不確定性存在于系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測矩陣中。在沒有觀測干擾任何先驗信息的情況下，應(yīng)用線性無偏最小方差準則，設(shè)計了不依賴于未知觀測輸入的具有Kalman形式的集中式融合濾波器。仿真驗證了算法的有效性。

未知輸入；觀測丟失；乘性噪聲；集中式融合濾波；線性無偏最小方差

0 引 言

由于未知輸入在系統(tǒng)故障檢測與分離等方面有重要應(yīng)用，帶未知輸入系統(tǒng)的狀態(tài)評估問題得到了眾多學者的關(guān)注。以往文獻對帶未知輸入系統(tǒng)的濾波問題的研究已有較多報道。在沒有未知輸入先驗信息的情況下，文獻[1]在線性最小方差意義下給出了一種三步遞推Kalman濾波器。文獻[2]利用奇異值分解設(shè)計了一種狀態(tài)濾波器。文獻[3]針對非線性系統(tǒng)，通過設(shè)計降維觀測器和高階滑膜觀測器給出狀態(tài)和未知輸入同時估計方法。除了未知輸入的影響，在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，由于網(wǎng)絡(luò)寬帶限制及外界干擾影響，觀測數(shù)據(jù)不可避免會出現(xiàn)觀測丟失及乘性噪聲干擾現(xiàn)象。對于帶觀測丟失的系統(tǒng)，文獻[4]利用滿足Bernoulli分布的隨機變量表示觀測丟失，給出了線性最小方差濾波器。文獻[5、6]對具有不同丟失觀測率的多傳感器系統(tǒng)，在線性最小方差意義下，分別給出了集中式和分布式融合算法。但文獻[4-6]沒有考慮系統(tǒng)的不確定性。對帶乘性噪聲的系統(tǒng)，文獻[7]利用線性矩陣不等式方法研究了線性離散系統(tǒng)的估計和控制問題。文獻[8、9]分別對單傳感器和多傳感器系統(tǒng)，在線性最小方差意義下設(shè)計了最優(yōu)估值器和集中式融合估值器。文獻[10]研究了帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒濾波問題。然而，文獻[8-10]沒有考慮外界未知干擾的影響。

以上文獻均分別對帶有未知輸入、觀測丟失或乘性噪聲系統(tǒng)開展的研究工作。但同時考慮以上諸多不確定性的文章鮮見。同時，由于多傳感器信息融合可以克服單一傳感器在時間和空間的限制，而在目標跟蹤、導航和工業(yè)監(jiān)測等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。集中式融合將每個時刻得到的原始觀測數(shù)據(jù)，直接送到融合中心進行融合，具有全局最優(yōu)性。因此，本文應(yīng)用線性無偏最小方差準則，對同時帶未知觀測輸入、觀測丟失和乘性噪聲的多傳感器隨機不確定系統(tǒng)，其中沒有未知觀測輸入的任何先驗信息，觀測丟失用一組滿足Bernoulli分布的隨機變量描述，隨機不確定性由不相關(guān)的乘性噪聲表示，提出了集中式融合濾波算法。

1 問題闡述

考慮帶未知觀測輸入、乘性噪聲和觀測丟失的多傳感器隨機不確定系統(tǒng)：

(1)

(2)

其中，系統(tǒng)狀態(tài)為x(t)∈Rn;觀測輸出為yi(t)∈Rmi，i=1,2,…,L;系統(tǒng)噪聲w(t)∈Rr與觀測噪聲vi(t)∈Rmi，i=1,2,…,L,是相關(guān)白噪聲;狀態(tài)乘性噪聲ξ(t)∈R與觀測乘性噪聲λi(t)∈R，i=1,2,…,L,是與其他隨機變量不相關(guān)的標量白噪聲，均值為零，方差分別為Qξ(t)和Qλi(t);{γi(t)}，i=1,2,…,L,是表示觀測丟失的滿足Bernoulli分布的隨機噪聲序列，概率分布為Prob{γi(t)=1}=αi，Prob{γi(t)=0}=1-αi，0≤αi≤1，γi(t)=1表示觀測數(shù)據(jù)沒有丟失，γi(t)=0表示觀測數(shù)據(jù)丟失，該序列不相關(guān)于其他隨機變量；θi(t)∈Rpi為未知觀測輸入干擾；Φ0(t)，Φ1(t)，Γ(t)，H0i(t)，H1i(t)和Di(t)是適當維數(shù)的時變矩陣，下標i表示第i個傳感器，L為傳感器的個數(shù)。

假設(shè)1 w(t)和vi(t)是零均值相關(guān)白噪聲，方差陣和協(xié)方差陣為:

(3)

其中，Qvii(t)=Qvi(t)>0，δtk是Kroneckerdelta函數(shù)，即δtt=1，δik=0{δtt=0(t≠k)}，E表示均值，T表示轉(zhuǎn)置。

假設(shè)2 初始狀態(tài)x(0)與ξ(t)，λi(t)，γi(t)，w(t)和vi(t)不相關(guān)，且滿足

(4)

假設(shè)3rank[Di(t)]=pi,mi>pi,i=1,2,…,L。rank[*]表示矩陣*的秩。

2 集中式融合濾波器

首先，對系統(tǒng)狀態(tài)方程進行如下轉(zhuǎn)換：

(5)

其中

(6)

易得W(t)的期望和方差分別為

(7)

則由(5)和(6)易知狀態(tài)二階矩矩陣X(t)=E[x(t)xT(t)]可如下計算：

(8)

系統(tǒng)(2)在假設(shè)1-假設(shè)3下，具有多傳感器增廣觀測方程：

(9)

其中

(10)

其中，Imi表示mi×mi維的單位矩陣。

由于不知道觀測干擾θc(t)的任何先驗信息，對系統(tǒng)(1)和(9)，筆者設(shè)計如下不依賴于未知干擾θc(t)的Kalman形式的集中式融合濾波器：

(11)

下面的定理給出了計算增益矩陣Fc(t)和Lc(t+1)的公式。

定理1 在假設(shè)1-假設(shè)3下，系統(tǒng)(1)和(9)的集中式融合濾波器(11)的系數(shù)矩陣Fc(t)和Lc(t+1)由下列公式計算：

(12)

(13)

其中

(14)

(15)

(16)

(17)

濾波誤差方差陣Pc(t+1)計算為：

(18)

證明：由(1)和(11)有集中式融合濾波器的濾波誤差方程：

(19)

(20)

(21)

將(20)與(21)代入(19)，濾波誤差方程可整理為:

(22)

進一步，由(22)可求出集中式濾波器的濾波誤差方差陣Pc(t+1)為:

(23)

(24)

(25)

又Lc(t+1)Dc(t+1)=0，則有：

(26)

由Cc(t+1)可逆和Dc(t+1)列滿秩，可知式(26)左邊的矩陣可逆，利用假設(shè)3和矩陣求逆引理，可求出式(13)和式(15)。證畢。

3 仿真研究

考慮帶未知觀測輸入、觀測丟失和乘性噪聲的3傳感器隨機不確定系統(tǒng)(1)-(2)，系統(tǒng)噪聲w(t)與觀測噪聲vi(t)相關(guān)，滿足如下關(guān)系式vi(t)=ciw(t)+δi(t),i=1,2,3。w(t)和δi(t)為零均值、方差分別為Qw和Qδi的不相關(guān)高斯白噪聲，ci為相關(guān)系數(shù)。仿真中取與文獻[10]相同的狀態(tài)參數(shù)：

其他參數(shù)取：

目的是求集中式融合濾波器，并與各局部濾波進行比較。為了驗證算法的正確性給出200次Monte-Carlo實驗的結(jié)果。

仿真結(jié)果如下：集中式融合濾波器跟蹤曲線圖見圖1，其中，實線代表真實值，虛線代表濾波值，由圖1可見，所提出的濾波器具有較好的跟蹤性能。集中式融合濾波器和3個局部傳感器的MSE比較圖見圖2，由仿真圖可見，集中式融合濾波器的精度高于各局部濾波器的精度，符合理論結(jié)果。同樣的參數(shù)條件下，由200次Monte-Carlo仿真實驗得到的本文集中式融合濾波器(考慮未知觀測輸入)和文獻[10]集中式融合濾波器(未考慮未知觀測輸入)的均方誤差(MSEs)比較結(jié)果見圖3，由圖3可見，考慮了未知觀測輸入的影響，因而具有更高的精度。

4 結(jié) 論

本文對含有未知觀測輸入、觀測丟失和乘性噪聲的多傳感器隨機不確定系統(tǒng)，在不知道未知輸入的任何先驗信息的情況下，應(yīng)用線性無偏最小方差準則推導了不依賴于未知觀測輸入的具有Kalman濾波器形式的集中式融合濾波器。

圖1 集中式融合濾波器跟蹤圖Fig.1 Tracking performance of the centralized fusion filter

圖2 局部和集中式融合濾波器的均方誤差比較Fig.2 Comparison of the MSEs for the local and centralized fusion filters

圖3 本文和文獻[10]集中式融合濾波器MSE比較Fig.3 Comparison of the MSE of centralized fusion filters in this paper and Ref.[10]

[1]GillijnsS，MoorBD.Unbiasedminimum-varianceinputandstateestimationforlineardiscrete-timesystemswithdirectfeedthrough[J].Automatica，2007，43(5)：934-937.

[2]屈冬梅,馬 靜,孫書利.帶未知輸入隨機奇異系統(tǒng)多傳感器分布式融合濾波[C]//第二十九屆中國控制會議.北京:北京航空航天大學出版社,2010:1 431-1 435.

[3]楊俊起,朱來芳.狀態(tài)估計與未知輸入和可測噪聲同時重構(gòu)方法[J].控制與決策，2013，28(8)：1 145-1 151.

[4]NahiNE.Optimalrecursiveestimationwithuncertainobservation[J].IEEETransactionsonInformationTheory，1969，15(4)：457-462.

[5]SunSL，LiXY，YanSW.Estimatorsforautoregressivemovingaveragesignalswithmultiplesensorsofdifferentmissingmeasurementrates[J].IETSignalProcessing，2012，6(3)：178-185.

[6]ZhangT，MaJ，SunSL.Distributedfusionfilterfordiscrete-timestochasticsystemswithuncertainobservationandcorrelatednoises[C]//Proceedingsofthe8thIEEEInternationalConferenceonControlandAutomation，2010：704-708.

[7]LiWW，TodorovE，SkeltonRE.Estimationandcontrolofsystemswithmultiplicativenoisevialinearmatrixinequalities[C]//ProceedingsoftheAmericanControlConference，2005，3：1 811-1 816.

[8]MaJ，SunSL.Optimallinearestimationforsystemswithmultiplicativenoiseuncertaintiesandmultiplepacketdropouts[J].IETSignalProcessing，2012：839-848.

[9]MaJ，SunSL.Centralizedfusionestimatorsformulti-sensorsystemswithmultiplicativenoisesandmissingmeasurements[J].JournalofNetworks，2012，7(10)：1 538-1 545.

[10]MohamedSMK，NahavandiS.Robustfinite-horizonKalmanfilteringforuncertaindiscrete-timesystems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl，2012，57(6)：1 548-1 552.

[11]方保镕,周繼東,李醫(yī)民.矩陣論[M].北京:清華大學出版社，2004:358-364.

Centralized fusion filtering for stochastic uncertain systems with unknown measurement inputs and missing measurements

PANG Chong-Yan，SUN Shu-Li*

(School of Electronic Engineering，Heilongjiang University，Harbin 150080, China)

A centralized fusion filter is designed for a multi-sensor stochastic uncertain system with unknown measurement inputs and missing measurements.The stochastic uncertainties are described by multiplicative noises existing in the state and measurement matrices of systems.A Kalman-like centralized fusion filter independent of unknown inputs is given by using the linear unbiased minimum variance criterion in the case that no prior information about unknown inputs is available.A simulation example shows the effectiveness of the algorithms.

unknown input；missing measurements；multiplicative noise；centralized fusion filter；linear unbiased minimum variance

10.13524/j.2095-008x.2015.02.033

2015-03-30

國家自然科學基金資助項目(61174139)；黑龍江省杰出青年基金資助項目(JC201412)

逄崇雁(1989-),女，黑龍江佳木斯人，碩士研究生，研究方向：狀態(tài)估計，E-mail:pangchongyan@126.com;*通訊作者：孫書利(1971-)，男，黑龍江伊春人，教授，研究方向：狀態(tài)估計、信號處理、信息融合、傳感器網(wǎng)絡(luò)等，E-mail:sunsl@hlju.edu.cn。

TP274.2

A

2095-008X(2015)02-0074-06