李秀英，張曦木

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

具有隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯及數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞狀態(tài)估計(jì)

李秀英，張曦木

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

研究了一類(lèi)具有隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯和數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題。由于系統(tǒng)的測(cè)量數(shù)據(jù)打包后經(jīng)過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)竭h(yuǎn)端的濾波器，數(shù)據(jù)包在傳輸過(guò)程中會(huì)發(fā)生時(shí)滯甚至丟失等現(xiàn)象，并且時(shí)滯的發(fā)生是隨機(jī)的且有界，而數(shù)據(jù)丟包可能是連續(xù)的。提出一個(gè)新的模型來(lái)同時(shí)描述隨機(jī)時(shí)滯和多丟包的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象，并基于此模型設(shè)計(jì)使濾波誤差系統(tǒng)均方意義下漸近穩(wěn)定并具有指定H∞性能的濾波器。濾波器參數(shù)通過(guò)求解一個(gè)線(xiàn)性矩陣不等式得到。仿真算例表明了所提算法的有效性。

H∞狀態(tài)估計(jì); 數(shù)據(jù)包丟失；時(shí)變時(shí)滯；線(xiàn)性矩陣不等式

0 引 言

隨著網(wǎng)絡(luò)和通訊技術(shù)的發(fā)展，將網(wǎng)絡(luò)引入到傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)中而構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NetworkedControlSystem，NCS)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一[1-4]。在NCS中，被控對(duì)象與控制器、濾波器等部件通過(guò)網(wǎng)絡(luò)連接，系統(tǒng)的測(cè)量數(shù)據(jù)打包后以數(shù)據(jù)包的形式通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)竭h(yuǎn)端的控制器或?yàn)V波器。由于受網(wǎng)絡(luò)帶寬等因素的限制，數(shù)據(jù)包在傳輸過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯甚至丟失等現(xiàn)象，而且這種現(xiàn)象的發(fā)生是隨機(jī)的，使得整個(gè)NCS不再是確定系統(tǒng)，而是一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)。隨機(jī)時(shí)滯和丟包現(xiàn)象的發(fā)生給NCS的分析與設(shè)計(jì)帶來(lái)很大困難，也是NCS分析與設(shè)計(jì)時(shí)所需要考慮的兩個(gè)最基本的問(wèn)題。

采用Bernoulli分布的隨機(jī)變量是刻畫(huà)NCS中隨機(jī)時(shí)滯和丟包的主要方法之一。文獻(xiàn)[5，6]分別采用一組Bernoulli分布的隨機(jī)變量來(lái)刻畫(huà)NCS中的一步隨機(jī)時(shí)滯和多丟包以及有界多步隨機(jī)時(shí)滯和多丟包現(xiàn)象，并利用射影定理設(shè)計(jì)了最小方差意義下的最優(yōu)濾波器，其中文獻(xiàn)[5]對(duì)于多丟包現(xiàn)象采用上一時(shí)刻濾波器接收到的觀測(cè)作為濾波器輸入，而文獻(xiàn)[6]則采用零輸入策略，即當(dāng)丟包現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，濾波器端接收的觀測(cè)信息為零。文獻(xiàn)[7，8]分別用Bernoulli隨機(jī)變量來(lái)建模網(wǎng)絡(luò)傳輸中的隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯以及丟包現(xiàn)象，并基于Lyapunov穩(wěn)定理論以及線(xiàn)性矩陣不等式(LinearMatrixInequality，LMI)技術(shù)設(shè)計(jì)了H∞濾波器。其中文獻(xiàn)[7]對(duì)濾波器端接收到的觀測(cè)數(shù)據(jù)建模時(shí)將正常接收和延遲接收分開(kāi)描述，而對(duì)于丟包現(xiàn)象的處理依舊采用的是零輸入策略；文獻(xiàn)[8]只考慮了觀測(cè)數(shù)據(jù)延遲接收的現(xiàn)象，并且對(duì)丟包現(xiàn)象也是采用上一時(shí)刻濾波器端接收的觀測(cè)數(shù)據(jù)包作為當(dāng)前時(shí)刻的輸入來(lái)處理。

本文提出一個(gè)新的模型來(lái)同時(shí)描述NCS中的隨機(jī)時(shí)滯和丟包現(xiàn)象，其中將觀測(cè)數(shù)據(jù)正常接收和延遲接收現(xiàn)象統(tǒng)一描述，而對(duì)于丟包現(xiàn)象則采用補(bǔ)償策略，即用估計(jì)值作為濾波器的輸入?；贚yapunov穩(wěn)定性理論以及隨機(jī)分析方法設(shè)計(jì)了H∞濾波器，給出了使濾波誤差系統(tǒng)均方意義下漸近穩(wěn)定并滿(mǎn)足給定的H∞性能的充分條件，濾波器參數(shù)通過(guò)求解一組LMI而得到。

1 問(wèn)題描述

考慮如下基于網(wǎng)絡(luò)的離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng):

(1)

由于傳感器和濾波器之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)連接，使得觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)竭h(yuǎn)端的濾波器時(shí)，濾波器端接收到的數(shù)據(jù)可能具有隨機(jī)時(shí)變的時(shí)滯和丟包現(xiàn)象，這種不確定現(xiàn)象可以用如下模型來(lái)描述：

(2)

其中，符號(hào)E表示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

本文設(shè)計(jì)如下形式的滿(mǎn)階濾波器:

(3)

(4)

其中,

定義1：給定γ>0，稱(chēng)濾波誤差系統(tǒng)式(4)是均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的并且具有H∞性能γ，如果式(4)同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

1)(均方漸近穩(wěn)定性)在外部擾動(dòng)wk=0時(shí)，對(duì)于所有的η0∈R2n，下式成立：

(5)

(6)

本文的目標(biāo)是針對(duì)基于網(wǎng)絡(luò)的離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)式(1)，在同時(shí)考慮隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯和丟包的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，設(shè)計(jì)濾波器參數(shù)Af、Bf、Cf，使得濾波誤差系統(tǒng)式(4)均方指數(shù)穩(wěn)定且滿(mǎn)足給定的H∞性能γ。

2 濾波性能分析

定理1：考慮濾波誤差系統(tǒng)式(4)，假設(shè)濾波器參數(shù)Af、Bf、Cf已知。對(duì)于給定標(biāo)量γ>0，當(dāng)wk=0時(shí)，系統(tǒng)式(4)是均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P=PT>0及Q=QT>0，使得如下矩陣不等式成立：

(7)

其中，

證明：構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

(8)

其中，

(9)

(10)

(11)

當(dāng)wk=0時(shí)，沿著系統(tǒng)式(4)的解的軌跡計(jì)算Vk(ηk)的前向差分，并取數(shù)學(xué)期望，得:

(12)

而:

(13)

(14)

(15)

可得到:

(16)

分析當(dāng)wk≠0時(shí)，濾波誤差系統(tǒng)式(4)滿(mǎn)足給定的H∞性能γ>0。

定理2：考慮濾波誤差系統(tǒng)式(4)，假設(shè)濾波器參數(shù)Af、Bf、Cf已知。對(duì)于給定標(biāo)量γ>0，當(dāng)wk≠0時(shí)，如果存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P=PT>0及Q=QT>0,使得：

(17)

成立，那么濾波誤差系統(tǒng)是均方意義下漸近穩(wěn)定的，且具有給定的H∞性能γ。其中Π11、Π21和Π22的定義見(jiàn)定理1。

證明：顯然，Ω<0意味著Π<0。根據(jù)定理1可知，濾波誤差系統(tǒng)式(4)是均方意義下漸近穩(wěn)定的。

分析系統(tǒng)式(4) 的H∞性能。為此仍選取定理1中的Lyapunov函數(shù)式(8)，類(lèi)似于定理1的證明過(guò)程，當(dāng)wk≠0，有：

(18)

其中，

為了分析濾波誤差系統(tǒng)式(4)的H∞性能，引入如下的性能指標(biāo)：

(19)

其中n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。顯然，我們的目標(biāo)是要證明在零初始條件下J(n)<0。由式(18)和式(19)可得：

(20)

由定理2，我們有J(n)≤0。令n→∞，即可以得到：

這表明性能指標(biāo)式(6)滿(mǎn)足，即系統(tǒng)具有給定的H∞性能。證畢。

3 H∞濾波器設(shè)計(jì)

定理2在濾波系數(shù)矩陣Af、Bf、Cf已知的前提下，給出了濾波誤差系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定且具有給定H∞性能的一個(gè)充分條件。不難看出，當(dāng)濾波參數(shù)矩陣已知時(shí)，定理2中的矩陣不等式是線(xiàn)性的。而我們的目的是求解濾波參數(shù)矩陣，此時(shí)Lyapunov矩陣及濾波參數(shù)矩陣之間相互耦合，為了能用MATLAB的LMI工具箱方便地求出Af、Bf、Cf，需要將不等式(17)轉(zhuǎn)化成LMI，為此引入一個(gè)松弛變量R來(lái)減小設(shè)計(jì)的保守性，相應(yīng)結(jié)果由定理3和定理4中給出。

定理3：給定標(biāo)量γ>0。如果存在正定矩陣P=PT>0，Q=QT>0和矩陣R、Af、Bf、Cf，使得如下矩陣不等式：

(21)

成立，那么濾波誤差系統(tǒng)是均方意義下漸近穩(wěn)定的，且具有給定的H∞性能γ。其中:

證明:由Schur補(bǔ)引理可知，不等式(17)成立意味著如下矩陣不等式

(22)

令P=R=RT，則由式(22)可得到式(21)。另外，如果式(21)成立，則P-R-RT>0。由于P是正定的，于是可知R非奇異。進(jìn)而由(R-P)P-1(R-P)T≥0有P-R-RT≥-RP-1RT=RP, 于是可得式(23)：

(23)

對(duì)不等式(23)進(jìn)行全等變換J=diag{I,I,I,PR-1,PR-1,I}。

則可得到不等式(22)。證畢。

(24)

成立，那么濾波誤差系統(tǒng)是均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的，且具有給定的H∞性能γ。其中:

則濾波器參數(shù)可以設(shè)計(jì)為:

(25)

其中符號(hào)*表示矩陣的偽逆。

證明：由于R是非奇異矩陣，設(shè)R為如下形式:

(26)

引入新的矩陣:

(27)

(28)

定義:

(29)

于是有:

(30)

推論1：當(dāng)把/gama作為優(yōu)化變量時(shí)，最小的H∞干擾抑制水平γ可以通過(guò)求解下面的優(yōu)化問(wèn)題而得到:

s.t.(24)

4 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文所提算法的有效性，考慮文獻(xiàn)[9]中的系統(tǒng)，其系統(tǒng)矩陣為：

其他參數(shù)如下：

當(dāng)wk為零均值，方差為Qw=0.1的白噪聲時(shí)，仿真結(jié)果見(jiàn)圖1。

圖1 zk真實(shí)值和H∞濾波值Fig.1 True value of zk and its filter

在相同情況下當(dāng)wk=e-0.1ksin(0.1πk)時(shí)的估計(jì)曲線(xiàn)見(jiàn)圖2。由仿真結(jié)果可見(jiàn)，在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，當(dāng)系統(tǒng)存在隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯和數(shù)據(jù)包丟失的情況下，本文所提出的估計(jì)算法是有效的。

圖2 zk真實(shí)值和H∞濾波值Fig.2 True value of zk and its filter

此外，H∞狀態(tài)估計(jì)方法與傳統(tǒng)的Kalman濾波方法相比，當(dāng)噪聲為高斯的且統(tǒng)計(jì)特性已知時(shí)，兩種濾波方法都適用，然而這一條件比較苛刻，在實(shí)際中精確已知噪聲的統(tǒng)計(jì)特性往往是比較困難的，當(dāng)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性未知時(shí)，Kalman濾波已不再適用，此時(shí)，H∞濾波作為Kalman濾波的替代方法充分體現(xiàn)了它的優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)具有隨機(jī)時(shí)變時(shí)延和多丟包的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，采用一個(gè)Bernoulli分布的隨機(jī)變量來(lái)對(duì)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中存在的不確定現(xiàn)象進(jìn)行建模。利用線(xiàn)性矩陣不等式方法設(shè)計(jì)了H∞濾波器，并且使得濾波誤差系統(tǒng)在均方意義下漸近穩(wěn)定。通過(guò)仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的狀態(tài)估計(jì)方法的有效性。

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H∞state estimation for network systems with random varying time delays and data packet dropouts

LI Xiu-Ying, ZHANG Xi-Mu

(School of Electronic Engineering, Heilongjiang University, Harbin 150080, China)

This paper investigates theH∞filterdesignproblemforaclassofnetworksystemswithrandomvaryingtimedelaysanddatapacketdropouts.Becausethemeasuredoutputofthesystemistransmittedthroughnetworkstotheremotefilterafterdatapacking,thedatapacketwillunavoidablybereceivedwithdelaysevenbelostduringthetransmission.Moreover,thetimedelayoccursrandomlyanditisboundedandthedatapacketmaybelostconsecutively.Anewmodelispresentedtodescribethenetworkinducedphenomenaofrandomdelaysandmultiplepacketdropoutssimultaneouslyinthispaper.Basedonthenewmodel,anH∞filterisdesignedtomakethefilteringerrorsystemasymptoticallystableinthemean-squaresenseandguaranteeaprescribedH∞performance.Theparametersofthefilterareobtainedbysolvingthelinearmatrixinequality(LMI).Thenumericalexampleisgiventoillustratetheeffectivenessoftheproposedmethod.

H∞stateestimation;datapacketdropouts;varyingtimedelays;linearmatrixinequality(LMI)

10.13524/j.2095-008x.2015.02.034

2015-03-13

黑龍江大學(xué)培育省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題(P201401)

李秀英(1978-)，女，黑龍江伊春人，講師，博士，研究方向：網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞濾波和控制，無(wú)模型控制理論與應(yīng)用等,E-mail:xiuxiu4480@sina.com。

TP

A

2095-008X(2015)02-0080-06