徐 巍, 孔建益, 陳東方

(1.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081；2. 武漢科技大學計算機科學與技術(shù)學院，湖北 武漢，430065)

基于平穩(wěn)脊波變換的圖像降噪

徐 巍1, 孔建益1, 陳東方2

(1.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081；2. 武漢科技大學計算機科學與技術(shù)學院，湖北 武漢，430065)

有限脊波變換在Radon變換域中用正交小波處理點奇異，而正交小波變換不存在冗余性，因此在應用有限脊波變換進行圖像降噪時會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象。為了解決Gibbs條紋干擾問題，本文在有限脊波變換的基礎(chǔ)上提出一種新的基于平穩(wěn)脊波變換的圖像降噪方法，其關(guān)鍵是引入一維平穩(wěn)小波變換來代替正交小波變換對Radon系數(shù)矩陣進行處理。實驗結(jié)果表明，與基于有限脊波變換的圖像降噪方法相比，本文提出的算法具有更優(yōu)的降噪性能，可使圖像降噪后保持更好的邊緣特征和視覺效果，振鈴效應得到改善。

圖像降噪；脊波變換；平穩(wěn)小波變換；Radon變換；Gibbs現(xiàn)象；圖像處理

由于脊波變換可以很好地表征圖像中的直線，所以對于那些分段光滑、沿直線邊緣奇異的圖像來說，在脊波變換域降噪可以達到既去除噪聲又較好地保留圖像特征的目的。根據(jù)脊波變換與Radon變換的關(guān)系可知，有限脊波變換是在Radon變換域中用正交小波處理點奇異，而正交小波變換不存在冗余性，即變換出來的系數(shù)是固定的，跟其余部分沒有任何關(guān)聯(lián)，所以也無法從中找出信號隨時間推移的信息。因此，在應用有限脊波變換進行圖像降噪時會產(chǎn)生Gibbs條紋干擾現(xiàn)象(也稱振鈴效應)[1]，影響了圖像質(zhì)量。

Pesquet等[2]提出的平穩(wěn)小波變換是在正交小波變換的基礎(chǔ)上，通過選取采樣點來體現(xiàn)時移信息。信號在平穩(wěn)小波變換后的重構(gòu)過程中首先采用變換系數(shù)的偶抽樣和奇抽樣分別進行重建，然后求其平均值。這種方法應用于圖像信號的閾值降噪時可以很好地抑制正交小波變換導致的振鈴效應，使圖像降噪后保持較好的邊緣特征和視覺效果。因此，本文在有限脊波變換的基礎(chǔ)上引入一維平穩(wěn)小波變換來代替正交小波變換，提出一種基于平穩(wěn)脊波變換(stationary ridgelet transform, SRT)的圖像降噪方法，以期消除Gibbs 條紋干擾對圖像質(zhì)量的影響，改善圖像降噪效果。

1 平穩(wěn)小波變換

平穩(wěn)小波變換是一種非正交的小波變換，其不再對低通和高通濾波器的輸出系數(shù)進行下采樣，故小波系數(shù)和尺度系數(shù)就與原始信號的長度相等，保證了平穩(wěn)小波變換具備平移不變性[3]。此外，與正交小波變換不同的是，平穩(wěn)小波變換中每一尺度的低通、高通濾波器通過對上一尺度相應濾波器的補零插值獲得。

(1)

(2)

2 平穩(wěn)脊波變換的實現(xiàn)

Pi,j={(k,l):l=

j-(ki)modp,k∈Zp}+{(p,i)}

(3)

因此，有限Radon變換的結(jié)果是產(chǎn)生一個p×(p+1)的Radon系數(shù)矩陣[4]。對Radon系數(shù)矩陣的每列分別進行一維平穩(wěn)小波變換sw，最終得到脊波系數(shù)矩陣{Sf[k,n],0≤k≤p,0≤n

(4)

平穩(wěn)脊波逆變換通過重構(gòu)小波和有限Radon變換的反變換實現(xiàn)。先對FRAT系數(shù)的每一列做一維離散多尺度小波變換的逆變換，產(chǎn)生有限Radon變換系數(shù)矩陣，然后對這個矩陣進行有限反射投影(finite back-projection, FBP)就得到原圖像。該逆變換是完全重構(gòu)的。

3 基于SRT的圖像降噪算法

本文圖像降噪算法是在MATLAB軟件平臺上實現(xiàn)的，具體算法描述如下：

(1)對含噪圖像f(i,j)進行平穩(wěn)脊波變換，得到脊波變換系數(shù)Sf。

首先對圖像f(i,j)進行有限Radon變換，得到Radon域系數(shù)矩陣Rf[k,l]，然后利用式(4)對Rf[k,l]矩陣的每一個列向量(也可稱為投影)做一維平穩(wěn)小波變換,得到平穩(wěn)脊波變換域系數(shù)矩陣Sf[k,n]。若為單尺度小波變換，則Sf[k,n]的左半部分{Sf[k,1],Sf[k,2],…,Sf[k,(p-1)/2]為圖像細節(jié)，即高頻部分；Sf[k,n]的右半部分{Sf[k,(p-1)/2+1],Sf[k,(p-1)/2+2],…,Sf[k,p-1]}為圖像逼近，即低頻部分。若為多尺度小波變換，則需要對圖像逼近繼續(xù)進行小波變換。當按最大的變換尺度log2(p-1)進行變換時，Sf[k,0]為圖像逼近，其余均為各尺度圖像細節(jié)。

本文所采用的MATLAB平穩(wěn)小波函數(shù)的調(diào)用語句為[swa,swd]=swtc(X,Lo_D,Hi_D)，其中：X為輸入信號；Lo_D為低通濾波器；Hi_D為高通濾波器。

(4)針對不同的噪聲類型，選擇不同的濾波器來增強降噪效果。

4 圖像降噪實驗與結(jié)果分析

為驗證本文提出的圖像降噪算法的有效性，特選取了文獻[5]中的高斯圖像以及常用的國際標準測試圖像Cameraman、House和Lena進行實驗。這些圖像的大小均為257×257，其中高斯圖像具有明顯的直線特征和256級灰度。

噪聲度量標準采用信噪比SNR。對于一幅N×N大小的零均值圖像，其SNR定義為：

(5)

其中：

(6)

圖像相似性度量采用結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)算法。SSIM算法是從光照、對比度以及結(jié)構(gòu)相似性三個方面利用失真圖與原圖的相關(guān)程度建立模型，根據(jù)失真圖在結(jié)構(gòu)上的保真度來給出質(zhì)量評價。SSIM值越大越好，最大為100%。

分別采用基于有限脊波變換(FRIT)的降噪算法和本文提出的基于平穩(wěn)脊波變換(SRT)的降噪算法對含有高斯噪聲和椒鹽噪聲這兩種最典型噪聲的上述多個圖像進行降噪實驗，并根據(jù)SNR和SSIM這兩個指標進行綜合比較。

首先對加入不同級別高斯噪聲的高斯圖像進行降噪處理，再使用維納(Wiener)濾波減少“環(huán)繞效應”，其效果如圖1所示，圖像降噪后的SNR和SSIM值如表1所示。然后對加入不同密度椒鹽噪聲的House圖像進行降噪處理，再使用中值濾波增強降噪效果,圖像降噪后的SNR和SSIM值如表2所示。最后對加入相同密度(d=0.04)椒鹽噪聲的Cameraman、House和Lena三幅圖像進行降噪，其效果如圖2所示，圖像降噪后的SNR和SSIM值如表3所示。

(a)原始圖像 (b)含噪圖像 (c)FRIT降噪圖像 (d)SRT降噪圖像

(SNR=9.52 dB) (SNR=16.91 dB) (SNR=17.03 dB)

圖1 高斯圖像降噪效果

Fig.1 Denoising effect of Gaussian image

表3 含相同密度椒鹽噪聲的三幅圖像降噪后的SNR和SSIM值(d=0.04)

Table 3 SNR and SSIM values of three denoised images with salt and pepper noise at the same density(d=0.04)

由表1～表3可見，對于含有不同類型、不同程度噪聲的這幾幅圖像，無論是從降噪圖像的信噪比，還是從降噪圖像與原圖的相似度來看，本文提出的算法都要優(yōu)于采用有限脊波變換的降噪算法。實驗結(jié)果表明，由于平穩(wěn)小波變換可以很好地抑制正交小波變換帶來的圖像Gibbs 條紋干擾現(xiàn)象，因此通過本文算法所得降噪圖像能保持更好的邊緣特征和視覺效果，振鈴效應得到改善。另外，對比表中數(shù)據(jù)還可以看出，由于脊波變換可以更好地表征圖像中的直線，這兩種算法對含有明顯線奇異的高斯圖像和House圖像的降噪效果都要顯著優(yōu)于對其他兩幅圖像的降噪效果。

5 結(jié)語

針對有限脊波變換在圖像降噪應用中的不足之處，本文提出了基于平穩(wěn)脊波變換的圖像降噪算法，其關(guān)鍵點是在實現(xiàn)脊波變換時引入平穩(wěn)小波變換來代替正交小波變換。由于引入了系數(shù)冗余，使得平穩(wěn)脊波變換具有平移不變性，而這種冗余恰好能應用于圖像降噪，有助于減少計算誤差，使降噪后的圖像重構(gòu)效果較好。實驗結(jié)果也表明本文算法要優(yōu)于采用有限脊波變換的圖像降噪算法，而該算法的不足之處是運算較為復雜，因此如何進一步提高其計算效率是今后研究的方向。

[1] Donoho D L, Flesia A G. Digital ridgelet transform based on true ridge functions[M]// Stoeckler J, Welland G V. Beyond Wavelets. New York: Academic Press,2003:1-33.

[2] Pesquet J-C,Krim H,Carfantan H.Time invariant orthonormal wavelet representations[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1996,44(8):1964-1970.

[3] Nason G P, Silverman B W. The stationary wavelet transform and some statistical applications[M]//Antoniadis A. Wavelet and Statistics. New York: Spinger-Verlag, 1995:281-299.

[4] Starck J-L, Candès E J, Donoho D L. The curvelet transform for image denoising[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2002, 11(6): 670-684.

[5] Do M N, Vetterli M. Image denoising using orthonormal finite ridgelet transform[C]//Proceedings of SPIE Conference on Wavelet Application in Signal and Image Processing VIII, San Diego, USA, 2000,Vol.4119:831-842.

[責任編輯 尚 晶]

Image denoising based on stationary ridgelet transform

XuWei1,KongJianyi1,ChenDongfang2

(1. Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Control of Ministry of Education, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China;2. College of Computer Science and Technology, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430065, China)

Orthogonal wavelet transform is commonly used in finite ridgelet transform (FRIT) to handle the point singularity in Radon transform domain. However, due to the non-redundancy of orthogonal wavelet transform, image denoising using FRIT causes Gibbs phenomenon. In order to overcome these Gibbs interference fringes, this paper introduces a new concept of stationary ridgelet transform (SRT) based on FRIT and proposes a SRT-based image denoising algorithm. The key of this algorithm is to deal with the Radon transform coefficient matrixes by using stationary wavelet transform instead of orthogonal wavelet transform. Experimental results show that the proposed algorithm has better noise reduction performance than the FRIT-based image denoising method. Denoised images boast detailed edge feature information and great visual effect,and the ringing effect is restrained.

image denoising; ridge transform; stationary wavelet transform; Radon transform; Gibbs phenomenon; image processing

2015-03-23

國家自然科學基金資助項目(51174151); 湖北省重大科技創(chuàng)新計劃項目(關(guān)鍵技術(shù)研發(fā)類)(2013AAA011).

徐 巍(1983-)，男，武漢科技大學博士生，工程師.E-mail:18793815@qq.com

孔建益(1961-)，男，武漢科技大學教授，博士生導師.E-mail:13607158659@139.com

TP301

A

1674-3644(2015)05-0381-04