云南省大理州民族中學(xué) 田 甜

荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾及其數(shù)學(xué)教育思想，一直深深地影響著世界各國的數(shù)學(xué)教育，尤其是其“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)論”“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的思想，為此弗賴登塔爾及其數(shù)學(xué)教育思想一直倍受各國研究者的關(guān)注。進(jìn)入新世紀(jì)，我國新一輪數(shù)學(xué)課程改革更是處處滲透了弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想，這使得它再次成為我國數(shù)學(xué)教育研究者注目的焦點(diǎn)之一，本文將在前人研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步展開對其更深入、更細(xì)致的思考與研究。

一、 弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想

（一）現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，也必須寓于現(xiàn)實(shí)，并且用于現(xiàn)實(shí)。這是弗賴登塔爾“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”的基本出發(fā)點(diǎn)。

根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，無論是數(shù)學(xué)的概念，還是數(shù)學(xué)的運(yùn)算與規(guī)則，都是由于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需要而形成，數(shù)學(xué)不是符號的游戲，而是現(xiàn)實(shí)世界中人類經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，因而也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)如果脫離了那些豐富多彩而又錯綜復(fù)雜的背景材料，就將成為“無源之水，無本之木”。

另一方面，數(shù)學(xué)是充滿了各種關(guān)系的科學(xué)，通過與不同領(lǐng)域的多種形式的外部聯(lián)系，不斷地充實(shí)和豐富著數(shù)學(xué)的內(nèi)容；與此同時，由于數(shù)學(xué)本身內(nèi)在的聯(lián)系，形成了自身獨(dú)特的規(guī)律，進(jìn)而發(fā)展成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问竭壿嬔堇[體系。

（二）數(shù)學(xué)化

所謂數(shù)學(xué)化，是用數(shù)學(xué)的方法觀察世界，分析研究具體現(xiàn)象并加以組織整理，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，簡言之，“數(shù)學(xué)化即是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程”。

弗賴登塔爾運(yùn)用了埃德里安，特雷弗斯關(guān)于數(shù)學(xué)化的理論，將數(shù)學(xué)化分為水平和垂直的兩種成分。比如，從現(xiàn)實(shí)中找出數(shù)學(xué)的特性，用不同的方式將同一個問題形式化或直觀化，在不同問題中識別其同構(gòu)的方面以及將一個現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題或已知的數(shù)學(xué)模型等，都是將同一個問題在水平方向擴(kuò)展。

而用公式表示出某個關(guān)系，證明了一個定律，采用不同的模型或?qū)δＰ瓦M(jìn)行加強(qiáng)或調(diào)整，以及形成一個新的數(shù)學(xué)概念或建立起由特殊到一般化的理論等，則是將某一問題垂直地加以深入。那么我們可以把數(shù)學(xué)化歸納為：水平數(shù)學(xué)化：從“生活”到“符號”的轉(zhuǎn)化過程。

垂直數(shù)學(xué)化：“水平數(shù)學(xué)化后的數(shù)學(xué)化”，從低層數(shù)學(xué)到高層數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)化過程。

在數(shù)學(xué)化的過程中，兩方面的作用錯綜復(fù)雜地糾纏在一起，不能截然分開。

（三）反思

弗賴登塔爾曾為他的數(shù)學(xué)教育思想體系繪制出一個總體框圖。弗賴登塔爾指出：反思是一種重要的數(shù)學(xué)活動，它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力。數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)來自直覺，而分析直覺理解的原因是通向證明的道路。必須教育學(xué)生對自己的判斷與活動甚至語言表達(dá)進(jìn)行思考并加以證實(shí)，以便使他們學(xué)會反思，能有意識地了解自身行為后面潛藏的實(shí)質(zhì)，只有這樣教育才能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

由現(xiàn)實(shí)世界直接抽象形成數(shù)學(xué)概念的過程，稱為“概念的數(shù)學(xué)化”。學(xué)生經(jīng)過對這種概念的反思，隨之進(jìn)行抽象化和形式化的加工，再用之于解決現(xiàn)實(shí)世界的問題。經(jīng)過數(shù)學(xué)化的深化，可轉(zhuǎn)而形成新的理論工具，以此又可組織更高層次的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并進(jìn)而創(chuàng)造出更新的數(shù)學(xué)概念。經(jīng)反思可以使數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)化相互反饋，協(xié)調(diào)發(fā)展，這就是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的動力，這也是數(shù)學(xué)教育所追求的目標(biāo)。

（四）再創(chuàng)造

弗賴登塔爾指出，一個學(xué)科領(lǐng)域的教學(xué)論就是指與這個領(lǐng)域相關(guān)的教與學(xué)的組織過程。而通過數(shù)學(xué)化過程產(chǎn)生的數(shù)學(xué)必須由通過教學(xué)過程產(chǎn)生的數(shù)學(xué)教學(xué)反映出來，因此，弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”。這里理解的創(chuàng)造，是學(xué)習(xí)過程中的若干步驟，這些步驟的重要性在于再創(chuàng)造的“再”，而“創(chuàng)造”則既包括了內(nèi)容又包含了形式，既包含了新的發(fā)現(xiàn)又包含了組織。

弗賴登塔爾認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”活動，也就是說，由學(xué)生把學(xué)習(xí)的東西自己實(shí)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)就是為學(xué)生的發(fā)展、創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，就在于引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識、技能的途徑和方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。

二、弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想對中國數(shù)學(xué)教育改革的指導(dǎo)意義

（一）加強(qiáng)對教師變量的研究

在教師培養(yǎng)方面，弗賴登塔爾給出了中小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)的最低要求。

1.教師能自信地使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本方法

現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革更多地強(qiáng)調(diào)滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，如集合與對應(yīng)思想，概率與統(tǒng)計(jì)思想等。這就要求在進(jìn)行教師培訓(xùn)時，必須結(jié)合高等數(shù)學(xué)具體知識介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本方法，并結(jié)合初等數(shù)學(xué)內(nèi)容解釋這些方法，以使他們能在將來的數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活運(yùn)用。

2.提供為理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)所必需的基礎(chǔ)知識

由于各任課教師在授課過程中沒有特別強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)，尤其是各學(xué)科在數(shù)學(xué)大結(jié)構(gòu)中的地位，以至于學(xué)生學(xué)到的知識不可避免地表現(xiàn)為雜塊分割的狀態(tài)。因此，高師院校可以考慮設(shè)置綜合課程，概覽現(xiàn)代數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)，使學(xué)生不僅能理解數(shù)學(xué)的知識，又能理解關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。

3.發(fā)展有關(guān)如何應(yīng)用數(shù)學(xué)的某些性質(zhì)

許多數(shù)學(xué)知識來源與物理、化學(xué)有著密切的關(guān)系，因此弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)教師應(yīng)主動在數(shù)學(xué)知識教學(xué)中介紹有關(guān)定理、公式在物理、化學(xué)中的應(yīng)用。這就要求數(shù)學(xué)老師去應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決有關(guān)的問題。

4.對如何進(jìn)行數(shù)學(xué)研究作初步介紹

現(xiàn)代教育理論認(rèn)為教師不再是單純的“傳道，授業(yè)，解惑”的角色，教師還應(yīng)該是研究者，這里的研究一方面是數(shù)學(xué)研究，一方面是教學(xué)研究。其中數(shù)學(xué)研究并不單指發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論，建立新的數(shù)學(xué)理論，還包括研究在當(dāng)時的歷史條件下如何得出這些數(shù)學(xué)知識，如何讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)這些知識。

（二）加快新課程標(biāo)準(zhǔn)和新教材體系建設(shè)

傳統(tǒng)教材注重知識體系的嚴(yán)密，推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)，而缺少知識產(chǎn)生的背景知識，弗賴登塔爾稱之為“教學(xué)法的顛倒”，加以批判。在新課程要求下，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材發(fā)生重大的變化，一方面給學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情境，增加教材的可讀性；一方面，不直接給學(xué)生展示數(shù)學(xué)結(jié)果，而是產(chǎn)生結(jié)論的部分過程（或思路），盡可能讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論。