楊洪英　宋占帥　尚娜娜　張健斌　盧曉星

摘要：文章綜合考慮穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少三方面的因素，運(yùn)用線性規(guī)劃建立了使折疊桌加工費(fèi)用最少的數(shù)學(xué)模型。該模型可以根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度和桌面直徑，給出所需平板材料的尺寸和最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

關(guān)鍵詞：可折疊桌；線性規(guī)劃；空槽長(zhǎng)度；最優(yōu)參數(shù)；數(shù)學(xué)模型 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：TH122 文章編號(hào)：1009-2374（2015）10-0031-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.0868

1 研究背景及意義

在“聞房色變”的今天，暴漲的房?jī)r(jià)、狹隘的空間，使人們?cè)谥棉k家具時(shí)不得不考慮家具占用的空間，而折疊桌的出現(xiàn)滿足了這部分人的需求。折疊桌以其美觀性、藝術(shù)性、實(shí)用性深深地吸引了人們的眼球，在日常生活中發(fā)揮了重要的作用。

折疊桌設(shè)計(jì)時(shí)，不僅要考慮到桌子占用空間少、美觀、耐用，還要考慮到桌子的穩(wěn)固性、加工難易以及材料的利用程度等問(wèn)題。因此，一種新型折疊桌應(yīng)運(yùn)而生。該折疊桌桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。

2 設(shè)計(jì)方案

2.1 穩(wěn)固性設(shè)計(jì)

經(jīng)查閱資料可知穩(wěn)固性包括兩個(gè)方面：穩(wěn)定性和堅(jiān)固性。設(shè)計(jì)桌子時(shí)首先考慮的是桌子的堅(jiān)固性，其次是穩(wěn)定性，所以對(duì)折疊桌的堅(jiān)固性賦權(quán)重0.7，穩(wěn)定性賦權(quán)重0.3。最外邊那一條桌腿與地平面的夾角66.77°。

2.2 用材最少設(shè)計(jì)

折疊桌用材最少，即在加工形狀相同、高度相同的情況下，使長(zhǎng)方形板塊的面積最小。折疊桌的直徑即為長(zhǎng)方形板塊的寬度，所以要使長(zhǎng)方形板塊的面積最小，應(yīng)該縮短其長(zhǎng)度。長(zhǎng)方形板塊的長(zhǎng)度由三部分組成：兩條最外面桌腿的長(zhǎng)度加上中間凸出部分的長(zhǎng)度，如圖1所示。經(jīng)分析可知，桌腿越寬中間凸出部分的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，長(zhǎng)方形板塊的長(zhǎng)度越長(zhǎng)。

圖1 折疊桌實(shí)物圖

中間凸出部分的長(zhǎng)度，其中R為桌面圓的半徑；b為桌腿寬度。

長(zhǎng)方形板塊的長(zhǎng)度，其中為最外面桌腿的長(zhǎng)度；H為折疊桌的高度。

2.3 加工方便設(shè)計(jì)

加工方便應(yīng)該是使所有加工的空槽的總長(zhǎng)度最短。通過(guò)分析可知，空槽的總長(zhǎng)度與鋼筋的位置和桌腿寬度有關(guān)。通過(guò)改變鋼筋的位置及桌腿的寬度來(lái)尋求空槽的最短總長(zhǎng)度，可以用線性規(guī)劃的模型來(lái)求解此問(wèn)題。目標(biāo)函數(shù)是空槽的總長(zhǎng)度最短。

第條桌腿中空槽長(zhǎng)度：

-

H表示折疊桌的高度；c表示鋼筋離地面的高度；R表示圓桌面的半徑；i表示桌腿的序號(hào)。

則每組桌腿（兩組桌腿對(duì)稱分布，只算其中一組即可）空槽的總長(zhǎng)度為：

2.4 總成本費(fèi)用設(shè)計(jì)

為綜合考慮以上三個(gè)方面的因素，用總費(fèi)用來(lái)尋求最優(yōu)結(jié)果，總費(fèi)用包括原材料費(fèi)用和開(kāi)槽費(fèi)用。對(duì)厚度厘米長(zhǎng)方形板塊每平方厘米的價(jià)格和每厘米的開(kāi)槽價(jià)格分別為v1，v2。目標(biāo)函數(shù)為總的費(fèi)用最小，利用約束條件，用線性規(guī)劃的模型進(jìn)行求解。

其中，為圓桌面的直徑。

由木材市場(chǎng)及木材加工市場(chǎng)的通用價(jià)格可以確定（元/平方厘米），（元/平方

厘米）。

假設(shè)有兩個(gè)客戶需要這種折疊桌，其中一個(gè)客戶需要高度為70厘米，直徑為80厘米的餐桌，把以上數(shù)據(jù)代入所建立的模型，用Matlab R2014a編程，得到此折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)為：平板的尺寸為：立方厘米；鋼筋位置：離地面的高度30厘米；最少費(fèi)用：35.69元；桌腿寬度：4厘米；每側(cè)20條桌腿，每條桌腿空槽開(kāi)槽位置以及開(kāi)槽長(zhǎng)度的具體數(shù)值分別見(jiàn)表1和表2：

用Matlab R2014a編程，得到此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的部分示意圖，如圖2所示：

圖2 折疊桌的動(dòng)態(tài)變化的部分過(guò)程示意圖

另一個(gè)客戶需要一個(gè)桌面面積較小的咖啡桌，要求高度75厘米，桌面直徑60厘米。把以上數(shù)據(jù)代入所建立的模型，得到此折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)為：平板的尺寸為：60×183.4×3立方厘米；鋼筋位置：離地面的高度35厘米；最少費(fèi)用：27.31元；桌腿寬度：3.53厘米；每側(cè)17條桌腿，每條桌腿中空槽開(kāi)槽位置以及開(kāi)槽長(zhǎng)度的具體數(shù)值分別見(jiàn)表3和表4。

由以上可知，該模型可以根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度和桌面直徑，給出所需平板材料的尺寸和最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，證明了該模型具有很強(qiáng)的通用性。

3 創(chuàng)新點(diǎn)

（1）利用簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，完成折疊收縮功能；（2）巧妙利用鋼筋與空槽長(zhǎng)度的配合，將“固定”與“連接”功能融合在一起。

4 結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用線性規(guī)劃模型，結(jié)合Matlab軟件，綜合考慮穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少三方面的因素，建立數(shù)學(xué)模型，該模型可以根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面直徑給出所需平板材料的尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，并使折疊桌的費(fèi)用最少。

根據(jù)客戶的不同需求，利用建立的模型，設(shè)計(jì)了兩張穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少的桌子，因此在折疊桌的生產(chǎn)過(guò)程中可以大范圍推廣該模型。

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作者簡(jiǎn)介：楊洪英（1993-），男，山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院車輛工程1201班本科在讀學(xué)生。

（責(zé)任編輯：周 瓊）