鄧 臻,陳紅燕，高存臣

(1.青島工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院,山東 青島 266300;2.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

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含有控制時(shí)滯的多輸入離散系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制*

鄧 臻1,陳紅燕1，高存臣2

(1.青島工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院,山東 青島 266300;2.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

給出了多輸入離散系統(tǒng)的基于時(shí)變衰減冪次趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，并通過時(shí)滯變換將結(jié)果推廣到含有控制時(shí)滯的情形。首先選取具有適當(dāng)增益矩陣的線性切換函數(shù)以保證系統(tǒng)在切換面上的理想準(zhǔn)滑模運(yùn)動(dòng)方程的極點(diǎn)可任意配置。其次基于時(shí)變衰減冪次趨近律設(shè)計(jì)了準(zhǔn)滑?？刂破?，該控制器能夠保證兩類離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)準(zhǔn)滑模帶，然后要么直接轉(zhuǎn)入理想準(zhǔn)滑模，要么在準(zhǔn)滑模帶中以指數(shù)冪速率快速趨于理想準(zhǔn)滑模，并使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡能夠漸近趨于狀態(tài)空間的原點(diǎn)，而不再是原點(diǎn)附近某鄰域中出現(xiàn)穩(wěn)定抖振。最后的仿真結(jié)果進(jìn)一步表明了這種方法的有效性。

離散系統(tǒng)；變結(jié)構(gòu)控制；多輸入；時(shí)滯；抖振

時(shí)滯的存在使離散系統(tǒng)的分析與綜合問題變得更加復(fù)雜和困難，時(shí)滯往往是系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能變差的根源[10-11]。相應(yīng)地，時(shí)滯離散系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制也是現(xiàn)實(shí)需要解決的難題。雖然可以通過擴(kuò)維技術(shù)將時(shí)滯離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無時(shí)滯系統(tǒng)，但對(duì)時(shí)滯較大和/或維數(shù)較高的系統(tǒng)，擴(kuò)維后其系統(tǒng)維數(shù)將按幾何規(guī)律增加，而且對(duì)測(cè)量和/或控制時(shí)滯的離散系統(tǒng)，擴(kuò)維后狀態(tài)反饋控制律一般是物理不可實(shí)現(xiàn)的[12-14]。

本文首先將時(shí)變衰減冪次趨近律推廣到了多輸入離散系統(tǒng)，然后進(jìn)一步研究了含有控制時(shí)滯的多輸入離散系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制問題。首先，可適當(dāng)選取增益矩陣使系統(tǒng)在線性切換面上的理想準(zhǔn)滑模運(yùn)動(dòng)方程可任意配置極點(diǎn)，其次，設(shè)計(jì)的時(shí)變衰減冪次趨近律能夠保證兩類離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的準(zhǔn)滑模帶，并以指數(shù)冪次趨于切換面，從而最終趨于原點(diǎn)，而不再是原點(diǎn)附近的小的抖振。仿真結(jié)果表明了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

1 多輸入離散系統(tǒng)

考慮多輸入離散系統(tǒng)

(1)

其中:x(k)∈Rn；u(k)∈Rm分別是狀態(tài)向量和控制輸入向量，常數(shù)矩陣A∈Rn×n，B∈Rn×m。假設(shè)矩陣B列滿秩，且(AB)完全可控。

不失一般性，假設(shè)

(2)

其中:B1∈R(n-m)×m;B2∈Rm×m，則可選取可逆線性變換將系統(tǒng)(1)化為簡約形式[3]，故不妨假設(shè)系統(tǒng)(1)已經(jīng)是如下簡約型

(3)

其中:x1(k)∈Rn-m；x2(k)∈Rm。

取線性切換函數(shù)

s(k)=Cx(k)=C1x1(k)+C2x2(k)

(4)

其中：C1∈Rm×(n-m)；C2∈Rm×m為待定增益矩陣，且det(C2)≠0。

從s(k)=0中解出x2(k)代入式(3)即得理想準(zhǔn)滑模的運(yùn)動(dòng)方程

(5)

由于(AB)完全可控，故(A11A12)完全可控[3]，可以選擇適當(dāng)?shù)脑鲆婢仃嘋=[C1C2]使理想準(zhǔn)滑模具有任意配置的極點(diǎn)集。下面還需要設(shè)計(jì)滑?？刂破?，一方面保證系統(tǒng)(1)對(duì)任意的初始狀態(tài)其解序列能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)準(zhǔn)滑模帶，另一方面保證準(zhǔn)滑模帶(或切換帶)的寬度足夠小，且使非理想準(zhǔn)滑模穩(wěn)定。為下文需要，在此引入2個(gè)引理。

引理1[9]對(duì)于文獻(xiàn)[8]提出的衰減冪次趨近律

(6)

其中：00；0

(2)任意給定初始值s(0)≠0，有

(3)sgn(s(k+1))=sgn(s(k))當(dāng)且僅當(dāng)

引理2[9]對(duì)于單輸入離散系統(tǒng)，文獻(xiàn)[9]提出了時(shí)變衰減冪次趨近律

(7)

其中：0

由引理1和2知，衰減冪次趨近律(6)并不能保證切換函數(shù)s(k)趨于切換面，其極限狀態(tài)是出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)抖振，穩(wěn)態(tài)抖振的范圍是[-Δ,Δ]，其中Δ=[εT/(2-qT)]1/1-a，而時(shí)變衰減冪次趨近律(7)則保證了抖振的振幅Δ以指數(shù)冪次趨于零。

針對(duì)多輸入離散系統(tǒng)(1)與(4)，提出如下的時(shí)變衰減冪次趨近律

(8)

或如下分量形式

(9)

其中常數(shù)T是采樣周期，0

q=diag(q1,q1,…,qm),

ε=diag(ε1,ε1,…,εm),

將時(shí)變衰減冪次趨近律(8)代入系統(tǒng)(1)或(3)，可得如下2種形式的滑模變結(jié)構(gòu)控制器(兩者等價(jià))

(10)

或

(11)

將控制律(11)代回系統(tǒng)(3)即得滑模趨近過程的運(yùn)動(dòng)差分方程

(12)

注意該方程在切換面S0:s(k)=0是沒有定義的。實(shí)際上，切換帶內(nèi)的非理想準(zhǔn)滑模運(yùn)動(dòng)控制方程也是(12)，但必須要求方程的定義范圍是切換帶

(13)

或彼此的交集區(qū)域。

由于方程(12)并不直觀，取可逆線性變換

(14)

則運(yùn)動(dòng)方程(12)可化成如下形式[3]

(15)

這正是所期待的結(jié)果形式。

對(duì)于運(yùn)動(dòng)差分方程(15)，由引理2知，狀態(tài)s(k)將于有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換帶，并以指數(shù)冪次趨于切換面S0。而若取s(k)=0，則式(15)中的第一式即為理想準(zhǔn)滑模的運(yùn)動(dòng)方程，它具有任意配置的極點(diǎn)集。因此，易得如下結(jié)論。

引理3 多輸入離散系統(tǒng)(1)在線性切換函數(shù)(4)和時(shí)變衰減冪次趨近律(8)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)將于有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)準(zhǔn)滑模帶，并在其內(nèi)以指數(shù)冪次趨于切換面(也即理想準(zhǔn)滑模)。如果理想準(zhǔn)滑模具有任意配置的極點(diǎn)集，那么系統(tǒng)狀態(tài)將最終收斂于原點(diǎn)，從而消除了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)抖振。

注1 由于文獻(xiàn)[1-3]中的離散指數(shù)趨近律和文獻(xiàn)[8]的衰減冪次趨近律，s(k)都存在穩(wěn)態(tài)抖振，因此其設(shè)計(jì)的滑模控制器只能保證系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定到原點(diǎn)附近某鄰域Ω0內(nèi)的小穩(wěn)態(tài)抖振而非原點(diǎn)本身，其中鄰域大小是

(16)

注2 可取a(k)=1-e-pk(p>0)或a(k)=1-1/k，顯然前者要優(yōu)于后者，當(dāng)然也可以選取其他形式。

2 含控制時(shí)滯的多輸入離散系統(tǒng)

考慮多輸入多控制時(shí)滯離散系統(tǒng)

(17)

(18)

下面設(shè)計(jì)系統(tǒng)(17)的準(zhǔn)滑模變結(jié)構(gòu)控制器。

首先作如下時(shí)滯變換

(19)

則系統(tǒng)(17)的第一式變?yōu)?/p>

y1(k+1)=

(20)

然后分別引入第q步時(shí)滯變換

yq(k)=

(21)

一系列變換推導(dǎo)后得

(22)

仍取線性滑動(dòng)模切換函數(shù)

s(k)=Cym(k)

(23)

(24)

類似的方法可以得到如下定理。

定理 多輸入離散系統(tǒng)(17)在線性切換函數(shù)(23)和時(shí)變衰減冪次趨近律(8)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)將于有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)帶，并在其內(nèi)以指數(shù)冪次趨于切換面(也即理想準(zhǔn)滑模)。如果理想準(zhǔn)滑模具有任意配置的極點(diǎn)集，那么系統(tǒng)狀態(tài)將最終收斂于原點(diǎn)，從而消除了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)抖振。

3 仿真實(shí)例

考慮如下多輸入離散系統(tǒng)狀態(tài)方程

x(k+1)=Ax(k)+B1u(k-2)

(25)

引入時(shí)滯變換(19)式，則方程(25)變成

(26)

圖1(a) 本文方法的狀態(tài)軌線

圖1(b) 文獻(xiàn)[8]方法的狀態(tài)軌線

圖1(c) 文獻(xiàn)[2]方法的狀態(tài)軌線

圖2(a) 本文方法的切換函數(shù)

圖2(b) 文獻(xiàn)[8]方法的切換函數(shù)

圖2(c) 文獻(xiàn)[2]方法的切換函數(shù)

由圖1～2可以看出，文獻(xiàn)[2]和[8]兩種方法都存在穩(wěn)態(tài)抖振。根據(jù)給定的算例參數(shù)可知，文獻(xiàn)[2]方法下切換帶s(k)的穩(wěn)態(tài)抖振的范圍是[-0.5 0.5]，文獻(xiàn)[8]方法下切換帶s(k)的穩(wěn)態(tài)抖振的范圍是[-0.25 0.25]，文獻(xiàn)[8]改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的趨近律，使穩(wěn)態(tài)抖振有所減小，但并沒有消除穩(wěn)態(tài)抖振。而本文方法下并不存在穩(wěn)態(tài)抖振，抖振快速衰減并最終趨于零。因此，仿真結(jié)果表明本文方法是優(yōu)越的。

4 結(jié)語

本文基于時(shí)變衰減冪次趨近律，研究了多輸入離散系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制策略，通過時(shí)滯變換，將結(jié)果進(jìn)一步推廣到了含有控制時(shí)滯的情形。時(shí)變衰減冪次趨近律導(dǎo)出的滑?？刂破髂軌虮ＷC系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂到原點(diǎn)，而不再是原點(diǎn)鄰域中的某個(gè)穩(wěn)態(tài)抖振。仿真結(jié)果表明了本文方法是有效的。本文方法還可以進(jìn)一步推廣到其他形式的離散系統(tǒng)，如離散廣義系統(tǒng)等，具體結(jié)果尚待進(jìn)一步研究。

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責(zé)任編輯 陳呈超

Variable Structure Control for Multi-Input Discrete Systems with Time-Delay in Control

DENG Zhen1, CHEN Hong-Yan1, GAO Cun-Chen2

(1. School of General Education, Qingdao University of Technology, Qingdao 266300, China; 2. College of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

The design method of variable structure control for multi-input discrete systems based on the time-varying attenuating power reaching law is proposed. This method is also extended to discrete systems with time-delay in control by a time-delay sate transform. Firstly, the gain matrix of linear switching function is chosen properly in order to assure that the poles of ideal quasi-sliding mode equation in quasi-switching manifold can be designed arbitrarily. Secondly, the quasi-sliding mode controller based on the time-varying attenuating power reaching law can ensure that the state trajectory of multi-input discrete systems with/without time-delay in control reaches a small neighborhood of quasi-switching manifold, and then the trajectory either arrives at the quasi-switching manifold in a next step or converges to the quasi-switching manifold quickly in a power exponential rate, the system state trajectory is guaranteed to converge into the origin of state space, not a stable chatting any more. Fainally a numerical simulation results demonstrate the proposed method is feasible and effective.

discrete system; variable structure control; multi-input; time-delay; chattering

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60974025)；青島工學(xué)院2014年董事長基金項(xiàng)目(2014JY002)資助

2013-06-20；

2014-10-10

鄧 臻(1977-)，女，講師。E-mail: dzh_52@163.com

TP273

A

1672-5174(2015)04-130-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130269