王志明，魏文晶

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065)

關(guān)于正則條件概率的幾點(diǎn)注記

王志明，魏文晶

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065)

本文證明了關(guān)于正則條件概率與正則條件期望的幾個恒等式，并將所得結(jié)果應(yīng)用到未必起始于固定點(diǎn)的Brown運(yùn)動上，同時證明：一個Brown運(yùn)動如果不起始于固定點(diǎn)而是起始于一個隨機(jī)變量，則在關(guān)于初值的正則條件概率下，對于幾乎所有的初值，該運(yùn)動仍是Brown運(yùn)動。

正則條件；正則條件概率；條件概率；條件期望；條件分布；Brown運(yùn)動

條件概率和條件期望屬于概率論中最基本的概念，是概率論區(qū)別于測度論的標(biāo)志。雖然在初等概率論中關(guān)于條件概率與條件期望有明確的計(jì)算公式，但在一般測度論基礎(chǔ)上，條件概率和條件期望是通過Radon-Nikodyn導(dǎo)數(shù)定義的，因此其非常抽象，難以進(jìn)行具體計(jì)算，而這常常會帶來許多理論及應(yīng)用上的困難。但是在另一方面，條件概率和條件期望與無條件概率和期望又有著許多內(nèi)在的聯(lián)系，而這些聯(lián)系可以提供很多有用的性質(zhì)，為相關(guān)推理和計(jì)算帶來方便。本文的研究目的就是探討條件概率與條件期望的幾點(diǎn)性質(zhì)，并說明其應(yīng)用。

1 相關(guān)概念

一般情況下，條件概率并不是真正意義上的概率，因?yàn)樗话悴粷M足可列可加性，而條件期望也不能表示為條件概率的積分。為克服這一技術(shù)性困難，人們往往需要從條件概率中選擇一個“好版本”，使其成為真正的概率——這就是正則條件概率。因此本文先引入相關(guān)概念。

給定x∈X，設(shè)ξ為非負(fù)隨機(jī)變量，有

E[ξ|η]=f(η)

故本文定義

E[ξ|η=x]=f(x)

2 主要結(jié)果

P(x,dω)=P(dω|X=x)=Px(dω)

表示正則條件概率。再設(shè)

記

ν(dx)=P(X∈dx)

則對ν-a.e.x，有

證明：因?yàn)?/p>

但

于是

由于g是任意的，故

Ex[Y(ω)f(ω)]=Ex[Z(ω)f(ω)],ν-a.e.

(1)

對每一個n，由式(1)，可選An，使得ν(An)=0，且對任意x?A有

Ex[Z(ω)fn(ω)]=Ex[Y(ω)fn(ω)]

Ex[Z(ω)fn(ω)]=

Ex[Y(ω)fn(ω)]，?x?A，?n≥1

于是，對任意有界可測函數(shù)f，取{nk}使得

則由有界收斂定理，對x?A，有

=Ex[Y(ω)f(ω)]

因此對任意x?A，有

證畢。

對于給定σ-代數(shù)時的正則條件概率，本文得出以下結(jié)論。

但

由此得到所證結(jié)論。證畢。

3 推論及其應(yīng)用

證明：本文只證明推論1中的結(jié)論(i)，結(jié)論 (ii)的證明類似。由Brown運(yùn)動的Lévy定理[1-2]，對于s

再用一次Lévy定理即得到結(jié)論(i)。證畢。

在實(shí)際應(yīng)用中，常常會遇到初值為隨機(jī)變量的Brown運(yùn)動與隨機(jī)微分方程，這會給相關(guān)推理帶來麻煩。但應(yīng)用上述定理，則可以先固定變量初值，再根據(jù)推論1可知，在初值固定時的條件概率下，原先的Brown運(yùn)動就變成了固定初值的Brown運(yùn)動，而這會極大地簡化計(jì)算和證明。例如，對于文獻(xiàn)[3]中證明的固定初值時多值隨機(jī)微分方程的大偏差原理，應(yīng)用本文的結(jié)果就可以很方便地證明隨機(jī)初值時類似的大偏差原理。同樣，文獻(xiàn)[4]中所證明的多值隨機(jī)微分方程的存在唯一性也可推廣到隨機(jī)初值的情形。

下面進(jìn)一步說明，在獨(dú)立的條件下，正則條件概率下的分布與無條件概率下的分布相等。

證明:設(shè)F的特征函數(shù)為f，即對任意t∈R，有

由于ξ與η獨(dú)立，故

E[eitξ|η]=E[eitξ]=f(t)

因此，由定理1，對ν-a.e.s，有

Es[eitξ]=f(t)

因此由特征函數(shù)的逆轉(zhuǎn)公式知：ξ在Ps下的分布函數(shù)為F。證畢。

也可以從直觀上來理解這個推論。假設(shè)一個人拋擲一枚硬幣多次，每次之間是獨(dú)立的。以η記得到第100次正面時拋擲的總次數(shù)，ξ記此后開始得到第200次正面時所需拋擲次數(shù)，則η和ξ是獨(dú)立的。那么上述推論說明：無論假定η是多少，在給定η的條件下ξ的分布都是相同的。很顯然，這樣一個結(jié)論可應(yīng)用到所有具有某種獨(dú)立性的賭博游戲中。

[2] 黃志遠(yuǎn).隨機(jī)分析學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2001: 117-118.

[3] Ren Jiagang, Wu Jing, Zhang Hua. General large deviations and functional iterated logarithm law for multivalued stochastic differential equations[J].Journal of Theoretical Probability，2015,28(2):550-586.

[4] Ren Jiagang, Wu Jing, Zhang Hua. On existence, uniqueness and convergence of multi-valued stochastic differential equations driven by continuous semimartingales[J]. Science China: Mathematics, 2014,57(3):589-607.

[責(zé)任編輯 尚 晶]

《武漢科技大學(xué)學(xué)報》2015年總目次

第38卷第1期

高磷赤鐵礦采用CaCl2氣化脫磷的試驗(yàn)研究

王 輝，邢宏偉，田鐵磊，劉 帆(1)

高爐鑄鐵冷卻壁結(jié)構(gòu)優(yōu)化

洪 軍，左海濱，張建良，徐潤生，沈 猛，鐵金艷(5)

鈦鐵合金所含雜質(zhì)對Ti-IF鋼潔凈度的影響

閆小柏， 包燕平，王 敏,林 路，李 翔(8)

旋轉(zhuǎn)磁場對Zn-7Cu-0.25Mn合金水平連鑄坯組織性能的影響

陳 飛，曹志強(qiáng)，曹安琪，李振宇，胡長青，李廷舉(12)

熱軋軋制計(jì)劃的多目標(biāo)優(yōu)化模型及算法

賈樹晉，李維剛，杜 斌(16)

用后鎂碳磚基轉(zhuǎn)爐終渣改質(zhì)劑的配料優(yōu)化

鄭 萬，任金琴，溫正勇，許威威，馮學(xué)龍，鄭永飛，劉 磊(23)

無煙煤配煤對焦炭質(zhì)量的影響

周盡暉，丁 玲，王世杰，王海蓉(27)

基于有限元法的某型大學(xué)生方程式賽車車架優(yōu)化設(shè)計(jì)

胡 溧，施耀貴，楊啟梁(31)

發(fā)動機(jī)激勵下客車車身怠速振動仿真研究

袁 爽，楊啟梁，胡 溧，龔海清(35)

貨車車輪與重載道岔曲尖軌的接觸分析

江荷燕，張 軍，張 鐵(41)

機(jī)械手夾持機(jī)構(gòu)運(yùn)動與控制的聯(lián)合仿真

李海斌，陳奎生，羅 潔(46)

不同彈體對高壓氣瓶的撞擊性能分析

岳應(yīng)娟，劉 備，秦忠寶，陳 飛(50)

面向返工量變化的產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程分析與優(yōu)化

容芷君，榮文謙，但斌斌，陳奎生(54)

低壓配電網(wǎng)三相負(fù)荷不平衡優(yōu)化模型的研究

張 明，謝珊珊，羅云峰(59)

基于ZigBee和GPRS的大氣污染監(jiān)測系統(tǒng)設(shè)計(jì)

梅志堅(jiān)，馬婭婕,肖凡男(63)

一種三階曲率補(bǔ)償帶隙基準(zhǔn)電壓源的設(shè)計(jì)

張獻(xiàn)中，張 濤(67)

一種運(yùn)用隨機(jī)算法改進(jìn)的圖像檢索方法

盧艷君，徐望明(72)

賦權(quán)合作博弈中的可行聯(lián)盟結(jié)構(gòu)與收益分配

陳少白，張 嫚，胡朝娣(77)

第38卷第2期

添加合金元素對耐熱鑄鐵顯微組織和抗拉強(qiáng)度的影響

朱婷婷，劉 可，薛正良，鄒 峰，熊 銳(81)

熔渣中鐵離子的循環(huán)伏安分析

潘 元，高運(yùn)明，楊創(chuàng)煌，姜亞龍，陳 則(85)

萊鋼高爐合理渣系的研究

羅霞光，王習(xí)東(90)

一種新的鋁電解質(zhì)初晶溫度實(shí)時測量方法

史 冬，高炳亮，王兆文(93)

隨機(jī)分布納米顆粒增強(qiáng)陶瓷基復(fù)合材料性能數(shù)值模擬分析

浦毅杰，羅冬梅，蔡 健(96)

水熱合成單分散碳球的制備與表征

江學(xué)良，余 露，張 姣，孫 剛(101)

支持張量機(jī)在柴油機(jī)故障預(yù)測中的應(yīng)用研究

許小偉，嚴(yán)運(yùn)兵，王小輝(106)

柔性作業(yè)車間調(diào)度優(yōu)化的改進(jìn)模擬退火算法

李 俊,劉志雄,張 煜,賀晶晶(111)

水介質(zhì)爆炸容器動力響應(yīng)的數(shù)值模擬

鐘冬望，黃小武，殷秀紅，李琳娜，司劍峰(117)

露天礦微差爆破振動對多層建筑的影響

操 鵬，鐘冬望，何 理，司劍峰，黃小武(122)

埋藏裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的有限元分析

岳應(yīng)娟，李 寧，陳 飛，孫 鋼(125)

基于大渦模擬的通海閥噪聲分析

桂瞬豐，幸福堂，李群燕(129)

基于改進(jìn)分水嶺算法的球團(tuán)礦圖像分割

秦長澤，劉 瓊(134)

基于無線傳感網(wǎng)的圖像監(jiān)測系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

鄧伯韜，孫 濤(138)

基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的LDPC碼的構(gòu)造

李 謙，陳和平(143)

雙色激光激勵對空氣中太赫茲輻射增強(qiáng)的研究

戴厚梅，孫 偉，汪東亮(148)

排污權(quán)交易的網(wǎng)上雙邊拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)

王雅娟，殷志平(152)

基于PATTERN的土地整理潛力評價

唐榮彬，陳 勇，邵建平，岳 哲，張小倩，邵艷順(157)

第38卷第3期

湍流抑制器對中間包鋼液流動的影響

阮文康,包燕平,李怡宏,王 敏,田永華(161)

LF精煉過程中SAE8620鋼所含MgO復(fù)合夾雜物分析

李文博，包燕平，王 敏(165)

熱軋不銹鋼復(fù)合板沖擊性能研究

張心金,郭秀斌，孟慶領(lǐng)，何 毅,李萌蘗(169)

熱處理?xiàng)l件對VO2粉體晶體結(jié)構(gòu)和相變性能的影響

畢愛紅，董奎義，朱金華(174)

伺服閥滑閥閥口系數(shù)影響因素分析

金曉宏，艾亞輝，黃 浩，楊 科(179)

偏心轉(zhuǎn)角對飛剪剪刃位移差的影響分析

嚴(yán)國平(183)

基于Workbench的除塵管道流固耦合數(shù)值分析

黃 浩，李立民(186)

面向產(chǎn)品設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的聚類分層分析

容芷君，李 名，但斌斌，陳奎生(190)

干熄焦工藝對6 m焦?fàn)t焦炭質(zhì)量的影響

周盡暉，丁 玲，韓 軍，王世杰，王光輝(197)

小龍?zhí)逗置撼憝h(huán)芳烴的溶出與分析

閆 潔，肖 劍，丁 曼，竇有權(quán)，趙云鵬(200)

油頁巖二硫化碳-丙酮混合溶劑萃取物的組成與結(jié)構(gòu)分析

楊會朵，田由甲，趙云鵬，丁 曼，楊長娟(204)

巖體爆破損傷計(jì)算公式的改進(jìn)

鐘冬望，何 理，殷秀紅(211)

爆破振動高程放大效應(yīng)的試驗(yàn)研究

白 楊，段衛(wèi)東，徐園園，蔣 培(216)

合閘策略對變壓器勵磁涌流零序分量的影響

王 琦(220)

基于高斯混合模型和卡爾曼濾波的車輛檢測與跟蹤方法

林立原，陳 林(226)

基于VP Studio和CASS的柵格地形圖矢量化方法

王慶國，楊 建，李 陽，王沙沙(231)

具有交易成本的均值-絕對偏差模糊投資組合優(yōu)化

張 鵬，舒燕菲(235)

第38卷第4期

不同強(qiáng)度級別簾線鋼中Ti(CxN1-x)夾雜分析

余晨帆,薛正良(241)

利用電化學(xué)方法測定熔渣中Ni2+擴(kuò)散系數(shù)

洪 川，高運(yùn)明，楊創(chuàng)煌，張燦磊(245)

表調(diào)工藝參數(shù)對電鍍鋅板磷化膜微觀形貌的影響

顏家保，楊 洋，俞丹青，范麗霞，楊成志，董 蓓(250)

熱輸入對Q420FRE鋼焊接熱影響區(qū)組織和力學(xué)性能的影響

許 可，吳開明，王紅鴻，李 麗，覃展鵬，吳年春(254)

球磨時間對Mo2FeB2基金屬陶瓷組織和力學(xué)性能的影響

陸旭鋒，潘應(yīng)君，張 恒，洪 波(259)

基于EMD和多重分形譜參數(shù)的耐火材料損傷模式識別

蘇 濤，王志剛，劉昌明，徐增丙，但斌斌(263)

熱解溫度對東勝褐煤等溫?zé)峤獾挠绊?/p>

朱亦男，王光華，李文兵，王晴東，陳 彪(268)

連續(xù)旋轉(zhuǎn)液壓伺服關(guān)節(jié)性能分析

金曉宏，鄭開柳，蔣 林(272)

基于Fluent的鉆井糾斜液壓系統(tǒng)導(dǎo)向套葉片形狀優(yōu)化選擇

陳 卓，曾良才，湛從昌，鄭飛龍，趙 康(279)

基于力流分析的產(chǎn)品再設(shè)計(jì)方法研究

容芷君，林澤軍，莫壽康，陳奎生(282)

基于ADAMS的連鑄板坯擺式飛剪剛?cè)狁詈戏抡娣治?/p>

張文強(qiáng)，羅會信，黨 章，肖 騰，肖述池(286)

基于有限元的轉(zhuǎn)爐煤氣風(fēng)機(jī)葉輪靜動態(tài)特性分析

楊金堂，曾 璐，肖 瀟，全芳成(290)

基于離散Beam梁法的變截面鋼板彈簧建模及仿真

龔海清，楊啟梁，陳彥龍，袁 爽,羅仁宏(294)

基于顯微視覺的瀝青路面微觀紋理三維重構(gòu)

鄒麗瓊，周興林，胡怡瑋(297)

電壓型變頻調(diào)速系統(tǒng)濾波電容介質(zhì)損耗因數(shù)的監(jiān)測

馮 凱,劉振興,李 翠,龔 誠,張世弘(302)

一種基于有序雙端鏈表的高效排序算法

譚 林，廖光忠(307)

隨機(jī)荷載作用下巖石節(jié)理剪切強(qiáng)度特性研究

嚴(yán) 園，鄒蘭林，周興林，謝旭飛(312)

不允許賣空情況下多階段均值-方差投資組合優(yōu)化

張 鵬，曾永泉(316)

第38卷第5期

熱軋帶鋼超快速冷卻過程的溫度控制策略

彭 文，馬更生，張殿華(321)

加載頻率對高牌號無取向電工鋼疲勞性能的影響

杜麗影，周桂峰，劉 靜，薛 歡,程朝陽(325)

KR法鐵水脫硫的流動數(shù)值模擬分析

程新德，孫江龍，周家健，解 德(330)

不銹鋼食具材料中重金屬元素的遷移行為

匡步肖，馬國軍，毛振威，程普紅，張 翔(336)

硅溶膠/二氧化鈦包覆中空玻璃微珠的研究

劉立立，段 輝，顧華志，從善海，王維君，陶華斌(341)

硅錳渣基CaO-MgO-Al2O3-SiO2系礦渣微晶玻璃晶化性能研究

陳 坤，柯昌明，張錦化(346)

負(fù)偏壓對六方氮化硼薄膜沉積特性的影響

龔 甜，吳 雋，李濤濤，龍曉陽，祝柏林，祁 婷(351)

沸騰爐摻燒半干法燒結(jié)煙氣脫硫灰的SO2逸出特性

唐 超，周建安，魏 康，鄧冬一，韓 軍，何 祥(357)

復(fù)合絮凝劑(PAC+PAM+磁粉)處理熱軋廢水的試驗(yàn)研究

劉 紅，查方來(361)

連續(xù)旋轉(zhuǎn)液壓伺服關(guān)節(jié)整體模態(tài)分析及關(guān)鍵部件靜力學(xué)分析

金曉宏，楊瑩瑩，鄭開柳，蔣 林(365)

YKR型振動篩篩體運(yùn)動及物料透篩概率分析

楊淑琳，趙三星(368)

復(fù)雜條件下多智能體系統(tǒng)編隊(duì)一致性控制

徐敏敏，金曉宏，雷 斌，陳 浩(373)

大學(xué)生方程式賽車空氣動力學(xué)套件設(shè)計(jì)

胡 溧，羅世敏，楊啟梁，楊 勝(377)

基于平穩(wěn)脊波變換的圖像降噪

徐 巍,孔建益,陳東方(381)

基于“超”實(shí)體構(gòu)件的信息組織與呈現(xiàn)

張瑞軍，黎雯霞，張志清，張 凌，張 鵬(385)

考慮滲流-應(yīng)力耦合作用的基坑邊坡穩(wěn)定性分析

盛建龍，葉 劍(391)

花石溝炭質(zhì)片巖隧道弱爆破與機(jī)械聯(lián)合開挖法

姜 貴，馬建軍，蔡路軍(396)

第38卷第6期

新型鋼包的溫度場及其影響因素模擬分析

李公法，劉 澤，孔建益，蔣國璋，常文俊，李 貝，李 輝(401)

不同電解方法萃取SPHC鋼中非金屬夾雜物的研究

李 陽，孫海波，蘭 鵬，潘 峰，張家泉(408)

復(fù)合添加炭黑對低碳鋁碳材料顯微結(jié)構(gòu)與性能的影響

劉 俊，李云霞，林正杰，黃 帆，廖 寧，李亞偉(413)

石灰石閃速加熱高溫煅燒過程中的CO2逸出行為

陳凱鋒，李建立，薛正良(419)

基于投入產(chǎn)出模型的武鋼煉鐵系統(tǒng)能耗與節(jié)能潛力分析

田玉前，戴方欽，周章華，許學(xué)成(424)

基于進(jìn)化樹的產(chǎn)品模塊化粒度分析

容芷君，曹云飛，鐘鵬飛,陳奎生(431)

液壓缸活塞表面微條紋織構(gòu)摩擦性能數(shù)值分析

余 廣,曾良才,毛 陽,盧 艷(436)

基于混沌粒子群算法的伺服閥動態(tài)參數(shù)尋優(yōu)

黃 浩，陳良華(440)

麻花鉆錐形鉆尖刃磨參數(shù)的優(yōu)化

邵 芳，王春江(443)

基于執(zhí)行器能量消耗的并聯(lián)機(jī)器人優(yōu)化

陳 珂，柯文德，劉 美，張良均(449)

履帶拖拉機(jī)三點(diǎn)懸掛機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

黃琪偉，應(yīng)保勝(455)

基于改進(jìn)直接灰色模型的泵車擺缸泄漏預(yù)測

徐增丙，李友榮，王志剛，劉昌明,周承凱(459)

二甲醚復(fù)合燃燒發(fā)動機(jī)進(jìn)氣過程的數(shù)值模擬

王維強(qiáng)，高 欣，丁 攀，周吉偉，張光德(463)

多智能體一致性的隨機(jī)鎮(zhèn)定研究

羅 琦，施力力，李鎮(zhèn)東(469)

關(guān)于正則條件概率的幾點(diǎn)注記

王志明，魏文晶(475)

《武漢科技大學(xué)學(xué)報》2015年總目次

(478)

第38卷卷終

Some notes on regular conditional probability

WangZhiming,WeiWenjing

(College of Science, Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430065, China)

This paper proves some identical equations concerning regular conditional probability and regular conditional expectation. The results are applied to Brownian motion not necessarily starting at a fixed point. It is demonstrated that, under the regular conditional probability about initial value, a Brownian motion with a random initial value instead of a fixed one is still a Brownian motion for almost all of the initial values.

regularity condition; regularity conditional probability; conditional probability; conditional expectation; conditional distribution; Brownian motion

2015-09-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61473213).

王志明(1962-)，男，武漢科技大學(xué)教授.E-mail:mingwz@126.com

O211.6

A

1674-3644(2015)06-0475-03