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服從于噪聲的具有Allee效應(yīng)捕食系統(tǒng)的模擬

胡 玉 彪1，向 俊 尤1，劉 少 波1，董 江 濤2

(包頭師范學(xué)院，1.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，2.化學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030)

摘要：主要模擬了服從于噪聲的具有Allee效應(yīng)的食餌-捕食者模型，通過模擬得出噪聲對存在Allee效應(yīng)捕食系統(tǒng)的影響利害共存但都不可忽略，并且對種群突發(fā)事件的防控及拯救瀕危物種提供了一種可能的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：Allee效應(yīng)；食餌-捕食者模型；噪聲

1引言

近代以來，隨著自然環(huán)境的不斷惡化，生物種群的生存發(fā)展面臨重大威脅，因此對生物種群穩(wěn)定性的研究漸成熱點。在雙種群捕食模型中，Lotka-Volterra捕食模型[1]、Holling針對不同類型的捕食者提出三種不同功能反應(yīng)函數(shù)[2]和Allee效應(yīng)[3]均是捕食種群模型研究領(lǐng)域中的重大成就。

1931年，Allee提出Allee效應(yīng)，它主要表述種群密度分布的稀疏對其穩(wěn)定發(fā)展的影響，因此Allee效應(yīng)又稱稀疏效應(yīng)，也有學(xué)者稱其為負(fù)競爭效應(yīng)[4]。Taylor C M，Hastings A，袁月定[5-6]等人對于具有Allee效應(yīng)的捕食模型均有研究，但并未考慮自然界中偶然發(fā)生的災(zāi)禍、氣候的突變等等，物理學(xué)中將這些偶然發(fā)生的事件稱為隨機(jī)噪聲。已經(jīng)提出的模型中大部分是確定性的，也就是沒有考慮隨機(jī)因素對種群發(fā)展的影響，因為種群數(shù)目龐大，系統(tǒng)近似表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計學(xué)性質(zhì)。但對于具有Allee效應(yīng)的系統(tǒng)來說，種群數(shù)目越少則更容易受到稀疏效應(yīng)的影響[7]，因此隨機(jī)噪聲的考慮是非常有必要的。

2模型的建立

王萬雄等[8]給出食餌具有Allee效應(yīng)時的食餌-捕食者模型如下：

(1)

其中x(t)、y(t)分別表示在t時刻食餌和捕食者種群的密度，a代表捕食系數(shù)，c是內(nèi)稟增長率，d是捕食者的正常死亡率，e表示轉(zhuǎn)化系數(shù)，K表示環(huán)境容納量，m和b是Allee效應(yīng)常量，其大小反應(yīng)了Allee效應(yīng)的強(qiáng)弱。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]作變換后系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為：

(2)

實際上考慮隨機(jī)因素更能合理、精確反映種群動力學(xué)規(guī)律。但隨機(jī)因素往往不可預(yù)測，物理上較合理的解釋，把其都?xì)w結(jié)為外部環(huán)境的漲落所帶來的影響，物理學(xué)通常把這樣的影響用噪聲描述，考慮噪聲后的數(shù)學(xué)方程則構(gòu)成了隨機(jī)微分方程，上述模型改為：

(3)

其中ξx(t)、ξy(t)均是乘性高斯白噪聲，具有零平均值〈ξx(t)=0〉、〈ξy(t)=0〉以及時間相關(guān)函數(shù)〈ξi(t)ξj(t')〉=2Dδ(t-t')δij，(i,j=x,y)，其它參數(shù)均與模型(2)一致。

3模擬過程

4模擬結(jié)果及討論

模擬隨機(jī)噪聲強(qiáng)度為D=0.00001，步時長度Δt =0.0002，初始條件x0=5，y0=4，常數(shù)K=10，a=0.8，b=8，c=1，d=0.6，e=0.8。其模擬結(jié)果如下圖：

圖1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖2

圖3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖4

由上述4幅圖可以看出食餌與捕食者的數(shù)目隨時間均呈增長趨勢，其中食餌的增長比較緩慢，但捕食者數(shù)目在一定時間后發(fā)生爆炸。圖1、圖2兩圖中m=0即不受Allee效應(yīng)影響，原本食餌-捕食者系統(tǒng)容易達(dá)到平衡態(tài)，加入噪聲后系統(tǒng)變得不在穩(wěn)定。圖3、圖4中m=3表示食餌-捕食者種群系統(tǒng)中存在Allee效應(yīng)，無噪聲時達(dá)到平衡態(tài)需要的時間比不存在Allee效應(yīng)長，加入噪聲之后系統(tǒng)也變得不穩(wěn)定。通過上述可以看出無論食餌-捕食者系統(tǒng)是否存在Allee效應(yīng)，噪聲對系統(tǒng)的影響都很大，這是因為一般研究Allee效應(yīng)時的種群數(shù)目基數(shù)較小且分布不均(這也側(cè)面體現(xiàn)出Allee效應(yīng)對瀕危物種影響很大)，這種情況下，噪聲對食餌-捕食者系統(tǒng)的影響不可忽略。

無論存不存在Allee效應(yīng)，受噪聲影響下食餌與捕食者的數(shù)目隨時間均呈增長趨勢，原本趨于平衡的系統(tǒng)都不再穩(wěn)定，噪聲給捕食系統(tǒng)帶來災(zāi)難。然而，從縱坐標(biāo)單種群的數(shù)目來看，特別是對于瀕危物種來說，種群數(shù)目增加可在一定程度上避免物種的消亡，這對生態(tài)自然環(huán)境物種多樣性起到積極作用。另外，從圖1、3對比和圖2、4對比來看，噪聲減緩了存在Allee效應(yīng)的食餌-捕食者系統(tǒng)的種群數(shù)目爆炸，因此我們可以期待存在Allee效應(yīng)的食餌-捕食者系統(tǒng)中，一定強(qiáng)度的噪聲可使瀕危物種的數(shù)目增加，但并非爆炸性的增漲，這是亟待解決的問題。

綜上，可以看出在研究存在Allee效應(yīng)的食餌-捕食者模型時，隨機(jī)因素對系統(tǒng)的影響不可忽略。噪聲不僅可以給種群帶來災(zāi)難，也能帶來益處，這也符合Mao Xuerong[11]的控制理論。模擬噪聲可為種群防控災(zāi)難提供理論依據(jù)，特別是受Allee效應(yīng)影響較大的瀕危物種，因此這項課題研究不但具有理論意義，也具有現(xiàn)實意義。

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Simulations of Predator-prey System with Allee Effect Subject to Noise

HU Yu-biao1,XIANG Jun-you1,LIU Shao-bo1,DONG Jiang-tao2

(1.Faculty of Physics and Technology, 2.Faculty of Chemistry,Baotou Teachers College, Baotou 014030)

Abstract:Predator-prey model With Allee effect subject to noise was simulated in this paper.By means of simulation, we prove the importance of noise in the model, and not only lead to disaster but also benefits.Simulation of subject to noise, its emergency prevention and control of population and save endangered species provides a possible theoretical basis.

Key words:Allee effect；Predator-prey model；Noise

中圖分類號：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-1869(2015)02-0005-03

作者簡介：胡玉彪(1988-)，吉林省德惠市人，碩士研究生，研究方向：理論物理。

收稿日期：2014-11-04