何保榮, 李曉歌

(河南牧業(yè)經(jīng)濟學院 信息工程系， 鄭州 450011)

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何保榮*, 李曉歌

(河南牧業(yè)經(jīng)濟學院 信息工程系， 鄭州 450011)

基于前后向矩陣束研究了陣列天線的方向圖賦形問題，提出了一種陣列天線賦形波束綜合優(yōu)化方法.在該方法中，首先確定適當?shù)年囋獢?shù)目，然后再優(yōu)化設(shè)計激勵幅度和陣元位置，最后設(shè)計出需要的賦形方向圖.在此過程中，先由期望方向圖的均勻采樣數(shù)據(jù)構(gòu)造Hankel-Toeplitz矩陣；然后再對它進行奇異值分解，舍棄不重要的奇異值，得到此矩陣的低秩逼近矩陣；最后基于廣義特征值分解求得重構(gòu)陣列的陣元位置和激勵.同時，采用特殊的前后向矩陣來約束極點分布，以保證重構(gòu)賦形波束方向圖的精度可控.仿真實例驗證了該方法的快速性和有效性.

陣列天線; 賦形波束方向圖; 奇異值分解

賦形波束方向圖綜合是一種用于設(shè)計滿足特定輻射要求的天線方向圖以達到實際需求的方法.近幾十年來，賦形波束方向圖的設(shè)計和應(yīng)用已在雷達、通信和航空監(jiān)測系統(tǒng)等領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注[1-2].

目前，關(guān)于天線波束賦形綜合存在許多優(yōu)化方法，但這些方法主要針對均勻分布的線性陣列.盡管這些技術(shù)已成功應(yīng)用，但采用綜合均勻分布的陣列來達到賦形波束方向圖特性，需要較多的陣元數(shù)目[3]；有文獻表明：使用非均勻分布的陣列來達到賦形波束方向圖的特性，不僅可以減少陣元數(shù)目，降低天線系統(tǒng)的成本，而且在滿足方向圖性能要求的前提下，還可以進一步簡化后端信號處理系統(tǒng)的復雜性[4].

綜合陣元位置、激勵和相位是一個包含多個未知量的高度非線性優(yōu)化問題[5]，本文基于前后向矩陣束[6-7]，研究賦形波束方向圖綜合，使用盡可能少的陣元數(shù)目來達到賦形波束方向圖特性，從而提出了一個陣列天線賦形波束綜合優(yōu)化方法.該方法首先由期望方向圖的采樣點數(shù)據(jù)得到Hankel-Toeplitz矩陣，然后再對矩陣奇異值分解(SVD)以得到對應(yīng)較少陣元的低秩逼近矩陣；最后采用前后向矩陣束方法重構(gòu)陣列的陣元位置和激勵.前后向矩陣束方法能夠在極值點施加非常重要的約束，這個約束并不是所有極值點都在單位圓上的充分必要條件，但是可以得到更加準確的綜合結(jié)果，尤其是對非對稱方向圖的綜合效果更明顯.

1 陣列天線方向圖

圖1 陣元的參考坐標Fig.1 Reference coordinates of array element

圖1表示在三維空間任意排列的陣列， 其中，位于(ri，θi，φi)中第i個單元的激勵記為Ri，每個陣元均為全向輻射元.由M個陣元組成的線陣的方向圖為：

(1)

其中，Ri是位于di的第i個陣元的激勵，u=cosθ，αi為第i個陣元的相位角，k=2π/λ，λ為波長.

前后向矩陣束方法主要思想就是使用盡可能少的陣元來逼近期望的賦形波束方向圖.因此，構(gòu)建其最優(yōu)化問題的數(shù)學公式如下.

(2)

2 最小陣元數(shù)目估計

首先，對賦形波束方向圖從u=-1到u=1進行均勻采樣.令un=nΔ=n/N，n=-N，…，0，…，N，共2N+1個采樣點，任一采樣點處的值為

(3)

其中,zi=ejkdiΔ=ejkdi/N.根據(jù)Nyquist采樣定理，必須滿足條件Δ≤λ/(2dmax)，dmax=max(di).

然后，由采樣點數(shù)據(jù)構(gòu)造Hankel-Toeplitz矩陣[6]Yfb，即：

(4)

其中，*表示復共軛，yl=[yl，yl+1，…，y2N-l+1]T，并且yl=fM(l-N).參數(shù)L應(yīng)滿足條件M≤L≤2N-M.

最后，對矩陣Yfb進行奇異值分解，即：

Yfb=U∑VH,

(5)

其中,U∈C2(2N-L+1)×2(2N-L+1)，V∈C(L+1)×(L+1)為酉矩陣.{σi}為矩陣Yfb的奇異值，∑=diag{σ1，σ2，…，σP:σ1≥σ2≥…≥σP}，P=min{2(2N-L+1)，L+1}.

在實際的陣列綜合中，Q值通過下式確定[5]：

(6)

式中，ε是一個很小的正數(shù)，ε的選擇取決于重構(gòu)方向圖和期望賦形波束方向圖的逼近程度.

(7)

其中，∑Q=diag{σ1，σ2，…，σQ，0，…，0}，酉矩陣U和V等同于式(5)的U和V.

3 求解陣元位置和激勵

(8)

(VQ，t-zVQ，b)v=0,

(9)

式中，VQ，t和VQ，b是由VQ分別去掉第一行和最后一行得到，VQ是取式(5)的前Q列.

求得正確的特征值后，就可根據(jù)式(3)推導出陣元位置：

(10)

通過求解下式的最小二乘解[5]

(11)

可得到陣元激勵：

R=(ZHZ)-1ZHfM,

(12)

式中，

fM=(fM(-N)，fM(-N+1)，…，fM(N))T.

(13)

(14)

4 實例仿真

以CSTMicrowaveStudio仿真軟件為基礎(chǔ)進行了仿真實驗.在該實驗中，設(shè)置采樣點參數(shù)N=2M.參數(shù)L的值在2N/3～4N/3之間.通常的，選擇正確的L值可以提高重構(gòu)賦形波束方向圖的精確度.設(shè)置L的值為2N/3、N和4N/3，然后再確定符合最佳結(jié)果的L值.為了方便描述，實驗中把傳統(tǒng)矩陣束方法[1](由于篇幅有限，有興趣的讀者具體請參閱文獻1)簡稱MPM，本文中將前后向矩陣束方法簡稱為FBMPM.

實驗1綜合寬波束賦形方向圖

在文獻[3]中描述了一個由15個等間隔分布的陣元形成寬波束賦形方向圖，方向圖如圖2實線所示.具體過程如下：首先對賦形波束方向圖進行采樣，共有2N+1=61個采樣點.然后由這些采樣點構(gòu)造Hankel-Toeplitz矩陣，參數(shù)L=4N/3=40.由式(6)可知，當ε=10-2所需的陣元數(shù)為Q=11，當ε=10-4所需的陣元數(shù)為Q=12.為重構(gòu)更加準確的賦形波束方向圖，選擇Q=12，可以節(jié)省20%的陣元.最后在最下二乘準則的約束下求得稀布線陣的陣元位置和激勵.圖2給出了采用FBMPM和MPM所得到的方向圖結(jié)果比較，從圖中可以看出，采用FBMPM得到的方向圖比MPM得到的方向圖精確度高得多.圖3給出了兩種方法所得極值點分布，從它可以看出采用MPM得到的大多數(shù)極點都未分布于單位圓之上，這說明了為什么采用該方法所得到的方向圖較差.表1給出了經(jīng)MPM和FBMPM優(yōu)化后的陣元激勵和相位.

圖2 采用FBMPM和MPM所得方向圖結(jié)果比較(一)Fig.2 Compared results 1 of direction figure by FBMPM and MPM

圖3 采用FBMPM和MPM優(yōu)化后的極點分布(一)Fig.3 Improved pole location 1 by FBMPM and MPM

表1 經(jīng)MPM和FBMPM優(yōu)化后的陣元激勵和相位

實驗2文獻[4]的綜合賦形波束方向圖

本例重構(gòu)文獻[4]中的非對稱方向圖.該圖使用了遺傳算法(GA)，由16個等間隔分布的陣元組成，方向圖如圖3實線所示.具體過程如下：首先對賦形波束方向圖進行采樣，共有2N+1=65個采樣點.然后由這些采樣點構(gòu)造Hankel-Toeplitz矩陣，參數(shù)L=4N/3=43.按照例1的步驟求得重構(gòu)陣列的陣元位置和激勵.與文獻[6]相比，都只需要13個陣元便可精確重構(gòu)期望方向圖，但此例可節(jié)省相位變換.圖4為采用FBMPM和MPM所得到的方向圖的比較結(jié)果，它表明采用FBMPM得到的方向圖比MPM得到的方向圖精確度高.圖5給出了兩種方法所得極值點分布，從它可看出，采用MPM得到的大多數(shù)極點大多都未分布于單位圓之上.表2給出了經(jīng)MPM和FBMPM優(yōu)化后的陣元激勵和相位.

圖4 采用FBMPM和MPM所得方向圖的比較結(jié)果(二)Fig.4 Compared results 2 of direction figure by FBMPM and MPM

圖5 采用FBMPM和MPM優(yōu)化后的極點分布(二)Fig.5 Improved pole location 2 by FBMPM and MPM

在上述兩個實驗中，圖2和圖4都表示FBMPM和MPM優(yōu)化后陣元響應(yīng)同理想響應(yīng)相接近的情況，其中黑色實線表示理想中的陣元響應(yīng)，紅色虛線表示FBMPM優(yōu)化后的陣元響應(yīng)，藍色點劃線表示MPM優(yōu)化后的陣元響應(yīng).從這兩個圖可以看出，采用FBMPM優(yōu)化的陣元響應(yīng)最接近理想響應(yīng)，而采用MPM優(yōu)化的陣元響應(yīng)距理想響應(yīng)卻有一定的差距，這說明FBMPM得到的方向圖的精度比MPM得到的方向圖的精確度高.

表2 經(jīng)MPM和FBMPM優(yōu)化后的陣元激勵和相位

5 結(jié)束語

基于前后向矩陣束，論文研究了陣列天線的方向圖賦形問題，提出了一個陣列天線賦形波束綜合優(yōu)化方法.該方法利用特殊的前后向矩陣結(jié)構(gòu)來約束極點分布，大大提高了重構(gòu)賦形波束方向圖的精度，尤其對非對稱方向圖的效果更加明顯.通過前后向矩陣束，可以優(yōu)化陣元激勵和相位，達到使用盡可能少的陣元逼近期望方向圖的目的.前后向矩陣束也能夠用來優(yōu)化非均勻分布的陣列，使其達到最佳的優(yōu)化效果.本文的研究推進了前后向矩陣束綜合不同形狀方向圖的能力，為其在工程應(yīng)用中提供了有價值的參考.

[1] 彭政諭. 陣列天線波束賦形技術(shù)研究與應(yīng)用[D]. 杭州：浙江大學，2014．

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[4] Kumar P A. Design of a cosecant square-shaped beam pattern SAR antenna array fed with square coaxial feeder network[C]// Bas Nieuwenhuizen: European Microwave Week 2013. Germany， Nuremberg: Springer， 2013: 387-390．

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Array antenna shaped-beam pattern synthesis optimization method

HE Baorong, LI Xiaoge

(Department of Information Engineering， Henan University of Animal Husbandry and Economy， Zhengzhou 450011)

In order to improve the problem of array antenna shaped-beam pattern， a new method based on forward-backward matrix pencil was proposed to reduce the number of elements， to solve the element locations and to design the excitations. Firstly， the shaped-beam pattern was sampled to form a discrete data set. Secondly， a Hankel-Toeplitz matrix was built and the singular value decomposition was performed. By discarding the insignificant singular values， an optimal low-rank approximation of the matrix which corresponds to sparse antenna array was obtained. Finally， the generalized eigen-decomposition was employed to calculate the sparse linear array locations and excitations. Meanwhile， the proposed method placed a necessary restriction on the poles which can guarantee to obtain more accurate result. Simulation results were presented to demonstrate the efficiency of the proposed method.

array antenna; shaped-beam pattern; singular value decomposition

2015-01-17.

河南省重大科技專項項目(121100111000).

1000-1190(2015)03-0368-05

TN 820.1

A

*E-mail: hbrhuahe@163.com.