王 宏， 馬朝華

(1.鄭州輕工業(yè)學(xué)院 建筑環(huán)境工程學(xué)院， 鄭州 450002； 2.鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 鄭州 450000)

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王 宏1*， 馬朝華2

(1.鄭州輕工業(yè)學(xué)院 建筑環(huán)境工程學(xué)院， 鄭州 450002； 2.鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 鄭州 450000)

提出了一個四維自治超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)含有兩個參數(shù).分析表明，隨著參數(shù)的變化該系統(tǒng)呈現(xiàn)周期、偽周期、混沌和超混沌運動.在一定參數(shù)范圍內(nèi)，超混沌系統(tǒng)的4個Lyapunov指數(shù)保持恒定，不隨參數(shù)的改變而改變.而且系統(tǒng)的兩個正的Lyapunov指數(shù)都比較大，尤其是第2個Lyapunov指數(shù)較已有的超混沌系統(tǒng)都要大，因此，該系統(tǒng)具有更顯著的超混沌特征.最后，設(shè)計了模擬電路，電路實驗結(jié)果表明，在電路中分別呈現(xiàn)的周期、偽周期、混沌和超混沌特性與數(shù)值仿真完全一致．

超混沌； 混沌電路； Lyapunov指數(shù)； 分岔圖

Rossler在1979年提出超混沌的概念并最終提出了超混沌Rossler系統(tǒng)[1].與混沌系統(tǒng)相比，超混沌系統(tǒng)具有2個甚至2個以上正的Lyapunov指數(shù)，相軌跡在多方向上進行分離，其動力學(xué)行為更為復(fù)雜.文獻[2]研究表明，具有一個正Lyapunov指數(shù)的混沌信號在作為保密通訊中的加密信號時容易被破譯，所以簡單混沌信號不適宜作為加密信號，復(fù)雜的超混沌信號可以提高混沌保密通信和混沌信息加密的安全性.因此，超混沌系統(tǒng)的生成和分析將是信息工程領(lǐng)域中混沌應(yīng)用的一個重要課題. 目前，超混沌的設(shè)計還沒有系統(tǒng)的方法.近年來，研究工作者通過在三維自治系統(tǒng)中加入狀態(tài)反饋控制器設(shè)計了一些超混沌系統(tǒng)[3，5].這些超混沌系統(tǒng)都具有復(fù)雜的動力學(xué)特性.但研究表明它們的兩個正的Lyapunov指數(shù)都比較小.文獻[3]提出的超混沌系統(tǒng)的兩個正的Lyapunov指數(shù)分別在0.5和0.2左右;文獻[4]提出的超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)在[0.5，1]之間，第2大Lyapunov指數(shù)卻小于0.2.文獻[5]提出的超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)在0.5左右，第二大Lyapunov指數(shù)小于0.1.文獻[6]提出了一個大范圍超混沌系統(tǒng)，其最大Lyapunov指數(shù)基本上大于或等于3，第二大Lyapunov指數(shù)最大時也僅為0.5.文獻[7]提出的超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)小于0.8，第二大Lyapunov指數(shù)最大時也僅為0.2.文獻[8]提出的超混沌系統(tǒng)，但其最大Lyapunov指數(shù)為19.4521，而第2大Lyapunov指數(shù)也僅為0.228581.文獻[9]提出了一個只有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，電路容易實現(xiàn)，但其最大Lyapunov指數(shù)不到0.15，第2大Lyapunov指數(shù)最大時也僅為0.05．

本文提出的新四維超混沌系統(tǒng)的兩個正的Lyapunov指數(shù)在最大時均超過1，尤其是系統(tǒng)的第2個正的Lyapunov指數(shù)比以往提出的超混沌系統(tǒng)的第2個Lyapunov指數(shù)都要大;系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)e的變換保持恒定;隨著參數(shù)d變換，系統(tǒng)不僅呈現(xiàn)出周期、偽周期、混沌及超混沌的特性，而且，在一定范圍內(nèi)，隨參數(shù)d的變換系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)也保持恒定．

1 一個雙參數(shù)恒Lyapunov超混沌系統(tǒng)

本文構(gòu)造的超混沌系統(tǒng)如下.

(1)

式中，x，y，z，w∈R4，d，e是可變參數(shù).當(dāng)參數(shù)取值為d=230，e=3.5，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)分別為λ1=1.812403，λ2=1.202030，λ3=0.019056，λ4=-26.464075，此時系統(tǒng)呈現(xiàn)出超混沌行為.超混沌吸引子如圖1所示．

圖1 超混沌系統(tǒng)(1)的相軌跡Fig.1 Hyper-chaotic attractor

2 超混沌系統(tǒng)基本特性

2.1 耗散性和吸引子的存在性

對系統(tǒng)(1)有

(2)

系統(tǒng)(1)是耗散的，且以下列指數(shù)形式收斂

(3)

即體積元V0在t時刻收縮為體積元V0e-23.5.意味著當(dāng)t→∞時， 系統(tǒng)的軌跡最終以指數(shù)速率漸近地收縮到一個特定的零體積的極限集中，并最終被固定在一個吸引子上，這說明了吸引子的存在性．

2.2 參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響

1) 固定參數(shù)e=3.5，改變d，d∈(0，230).新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示.當(dāng)d∈(0，4)時新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)均為負(fù)值，系統(tǒng)為不動點;當(dāng)d∈(4，14.5)時，新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)1個為零，另外3個負(fù)值，系統(tǒng)是周期的;d∈(14.5，16.5)時，新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有3個為零，1個負(fù)值，系統(tǒng)是偽周期的;d∈(16.5，26.5)時;新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有1個正值，1個為零，2個負(fù)值，系統(tǒng)是混沌的;d∈(26.5，112)時，新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有2個正值，1個為零，1個負(fù)值，系統(tǒng)是超混沌的;d∈(112，162)時，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)不斷地碰撞零值，致使系統(tǒng)在周期和偽周期之間切換;d∈(162，230)時，新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有2個為正，1個為零，1個負(fù)值，系統(tǒng)是超混沌的.而且，d∈(165，180)和d∈(190，230)時，新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)保持恒定(恒Lyapunov指數(shù)譜分別如圖3和圖4所示).以上分析表明，當(dāng)參數(shù)d變化時，該系統(tǒng)出現(xiàn)周期、偽周期、超混沌的特征，而且系統(tǒng)處于超混混沌的參數(shù)范圍大，第2大Lyapunov指數(shù)較之前提到的超混沌系統(tǒng)都大，其超混沌特性更加顯著.而且系統(tǒng)出現(xiàn)了恒Lyapunov指數(shù)的特征．

圖2 系統(tǒng)(1)隨參數(shù)d變化的Lyapunov指數(shù)譜Fig.2 Lyapunov exponent spectrium with the increasing d

2)固定參數(shù)d=230，改變e，e∈(2.6，3.6).新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖5所示.由圖5知，當(dāng)參數(shù)e變化時，該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)均保持恒定，都是λ1=1.812403，λ2=1.202030，λ3=0.019056，λ4=-26.464075，系統(tǒng)始終處于超混沌狀態(tài)．

圖3 系統(tǒng)(1)參數(shù)d∈(165，180)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.3 Lyapunov exponent spectrium with d∈(165，180)

圖4 系統(tǒng)(1)參數(shù)d∈(190，230)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.4 Lyapunov exponent spectrium with d∈(190，230)

圖5 系統(tǒng)(1)隨參數(shù)e變化的Lyapunov指數(shù)譜Fig.5 Lyapunov exponent spectra with the increasing e

3 超混沌系統(tǒng)(1)的電路實現(xiàn)

針對超混沌系統(tǒng)(1)，本文采用線性電阻、線性電容、運算放大器(LM741)、模擬乘法器(AD633)設(shè)計了模擬電子電路，如圖4所示.由于篇幅所限，各元件參數(shù)如圖6所示.調(diào)整電路中R8的阻值，當(dāng)R8取不同的阻值時，用示波器觀察該系統(tǒng)的各種軌跡如圖7所示．

圖6 系統(tǒng)(1)的電路實現(xiàn)Fig.6 Circuitry realization of the hyperchaotic system (1)

圖7 系統(tǒng)(1)電路實現(xiàn)的示波器相軌跡圖

4 結(jié)論

本文提出了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，具有以下顯著的特征:

1) 系統(tǒng)處于超混沌的參數(shù)范圍較大，超混沌態(tài)的兩個正的Lyapunov指數(shù)都較大，尤其是系統(tǒng)的第二個Lyapunov指數(shù)比文中提到的超混沌系統(tǒng)都要大，最大時大于1，說明系統(tǒng)的超混沌特征顯著;

2) 系統(tǒng)含有兩個參數(shù)d和e，當(dāng)參數(shù)d∈(0，230)范圍內(nèi)變化時，系統(tǒng)出現(xiàn)周期、偽周期、混沌、超混沌運動.而且，當(dāng)參數(shù)d∈(165，180)和d∈(187，230)范圍時，隨著d的變化，系統(tǒng)的4個Lyapunov指數(shù)均保持恒定;當(dāng)參數(shù)e∈(2.6，3.6)時，隨著e的變化，系統(tǒng)的4個Lyapunov指數(shù)也保持恒定.這是有別于以往所提出的超混沌系統(tǒng)的顯著特征.基于這樣的特征，將該系統(tǒng)稱為雙參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)超混沌系統(tǒng)．

[1] Rossler O E. An equation for hyperchaos[J]. Physics Letters A， 1979， 71(2-3): 155-157．

[2] Perez G， Cerdeira H A. Extracting messages masked by chaos [J]. Physical Review Letters， 1995， 74(11): 1970-1973．

[3] Li Y， Tang W， Chen G. Hyperchaos evolved from the generalized Lorenz equation [J]. Int J Circ Theor Appl， 2005， 33: 235-251．

[4] Gao T G， Chen C Z， Cang S. The generation and circuit implemention of a new hyper-chaos based upon Lorenz system[J]. Physics Letters A， 2007， 361(1-2):78-86．

[5] 倉詩建， 陳增強， 袁著祉. 一個新四維非自治超混沌系統(tǒng)的分析與電路實現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報， 2008， 57(3):1493-1501．

[6] 賈紅艷， 陳增強， 袁著祉. 一個大范圍超混沌系統(tǒng)的生成和電路實現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報， 2009， 58(7): 4469-4476．

[7] 李春來， 禹思敏. 一個新的超混沌系統(tǒng)及其自適應(yīng)追蹤控制[J].物理學(xué)報， 2012， 61(4): 040504(1-7)．

[8] 于春雨， 朱建良， 郭建英.四維混沌系統(tǒng)及其在信號加密中的應(yīng)用[J]. 電機與控制學(xué)報， 2012， 16(3): 96-100．

[9] 周 平， 危麗佳， 程雪峰. 只有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)[J]. 物理學(xué)報， 2009， 58(8): 5201-5208．

A double parameters hyperchaotic system with invariable Lyapunov exponent spectrum and its circuit implementation

WANG Hong1， MA Chaohua2

(1.School of Building Environment Engineering， Zhengzhou University of Light Industry， Zhengzhou 450002;2.Zhengzhou Technical College， Zhengzhou 450002)

In this paper， a four-dimensional hyperchaotic system was constructed. This new system contains two system parameters. Numerical simulations and theoretical analysis showed that this four-dimensional system will take on periodic， quasi-periodic hyperchaotic dynamical behaviours as paremeters vary. When the given parameter varies in a broad range， the Lyapunov exponent spectrum kept invariable.Moreover， two positive Lyapunov exponent of the new system was bigger. Especially， the second Lyapunov index was the biggest among the existing hyperchaotic systems. Finally， an electronic diagram was designed for demonstrating the existence of the hyperchaos. The experiment results showed that various attractors of the hyperchaotic circuit， including periodic attractor， quasi-periodic attractor， chaotic attractor， hyperchaotic attractor， were consistent with the simulation results．

hyperchaos; Lyapunov exponent; chaotic circuit; bifurcation analysis

2015-01-12.

河南省2014年科技發(fā)展計劃項目(142300410246); 鄭州輕工業(yè)學(xué)院博士基金資助項目(2013BSJJ027)．

1000-1190(2015)03-0378-05

TP273; TM132; TN914

A

*E-mail:wanghong@zzuli.edu.cn.