☉江蘇省無錫市東林中學 楊 峰

同類問題來相聚，舉一反三思結構
——以“等邊三角形”習題課教學為例

☉江蘇省無錫市東林中學 楊 峰

幾何解題效率問題一直是解題教學的難點問題，很多學生運算速度還不錯，然而遇到幾何問題時常常因為不能添出某條輔助線或沒有想準一個突破方向，導致解題時間很快過去，從而造成解題遺憾，體現(xiàn)在考試中沒有發(fā)揮出應有水平．本文結合最后一次等邊三角形的專題復習課（習題課），談談如何整理同類問題，引導學生做一題，會一類，通一片，從而切實提高解題效率．

一、教學流程

圖1

活動一：從一個等邊三角形出發(fā).

問題1：如圖1，等邊三角形是一類常見的三角形，圍繞它的試題更是層出不窮，你能設計一個簡單的問題嗎？

活動預設：充分開放，讓學生在設計簡單問題過程中復習等邊三角形的性質或判定，吸引更多學生參與，包括一些學困生也可以設計一些特別簡單的問題，鼓勵他們表達自己的思考．

圖2

問題2：如圖2，有人在邊BC、AC上分別找了一點D、E，使BD＝CE，連接BE、AD交于點F．你能提出哪些問題呢？

活動預設：學生可能會指出△ABD≌△BCE或者△ABE≌△CAD，進一步又可以得出一些對應邊相等，如AD＝BE．此在基礎上，給出一個例題：

例1如圖3，D、E分別為等邊△ABC的邊BC、AC上的動點，且BD＝CE，連接BE、AD交于點F．

（1）在圖中再找出一組全等三角形，直接寫出來，不必證明；

（2）求∠BFD的度數；

（3）過點A作AH⊥BE，垂足為點H．求證：AF＝2FH.

圖3

教學預設：當學生解好后，提出一種變式拓展的思考，當點D、E分別在CB、AC的延長線上時，直線BE、AD相交于點F，其余條件不變，請畫出符合要求的圖形，猜想AF與FH的數量關系，并說明理由．

圖4

活動二“：雙正三角形”的探究.

例2如圖4，點B是線段AD上一點，△ABC，△BDE都是等邊三角形，AE、CD交于點P，AE交直線BC于點M，CD交直線BE于點N．

（1）求證：AE＝CD；

（2）填空：∠APD＝_______°；

（3）求證：△BMN是等邊三角形．

教學預設1：在學生解出上述問題之后，再進一步追問：有同學解完上面的問題之后，深入思考并提出一個猜想：四邊形BMPN的對角竟然互補．你認為該命題是____命題（填“真”或“假”）．

教學預設2：還有同學練習上述問題后，將△BDE繞點B按順時針方向旋轉90°（如圖5），設AE、CD交于點P，他經過深入探索后發(fā)現(xiàn)：射線PB平分∠EPC！你能證明他的發(fā)現(xiàn)嗎？（過點B作BG⊥CD于點G，BH⊥AE于點H，證△CBG≌△ABH）

圖5

教學預設3：在圖5中，取CD的中點M，AE的中點N，試判斷△BMN的形狀．（等邊三角形）

活動三：“雙等腰直角三角形”的探究.

圖6

例3如圖6，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于點M，連接AM．

（1）求證：BE＝CF；

（2）求證：BE⊥CF；

（3）求∠AMC的度數．

教學預設：有了例2的練習與講評，學生完成例3應該不困難，最后一問還需要過點A作BE、FC的垂線段，從而得出MA平分∠BMF．接著給出如下變式：

例3變式：如圖7，正方形ABCD，正方形AEFG，連接BE、DG交于點M，連接AM，你能提出哪些問題呢？

教學預設：同學們應該能感受到變式問題與例3之間的結構是相同的，從而一系列類似的問題就能提出來了．

圖7

考題鏈接：（2015年江蘇連云港第26題，有刪減）在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖8位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由．

（2）如圖9，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．

圖8

圖9

活動四：你能找到幾個“正三角形”.

圖10

例4如圖10，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點B、C、D在一條直線上，點P為直線BC上一動點，∠APQ＝60°且交直線CE于點Q，連接AQ．

（1）當點P在邊BC上時，求證：∠BAP＝∠QPD；

（2）當點P在邊BC上時，在邊AB上截取BM＝BP，連接PM，求證：△APM≌△PQC；

圖11

（3）當點P在邊CD上時，在圖11中補全圖形，并猜想△APQ的形狀（補全圖形，寫出猜想，不必證明）；

（4）當點P在CB的延長線上時，畫出圖形，猜想并證明線段AP、PQ的數量關系．

教學預設：第（2）問的輔助線其實是一種提示，目的是啟發(fā)學生構造等邊三角形，而第（3）（4）問也需要構造等邊三角形，只是需要在BA延長線、AB延長線上分別取點構造，為了注意不同設問之間的多樣性，我們并沒有安排所有小問都要書寫過程，而是以直接猜想、解說理由等多樣化的方式設問或追問．

二、解后反思

1.教學時間偏緊，需要注意“有的放矢”

客觀的說，如果此前學生對上面提及的一些習題沒有認真演練過，那么這節(jié)習課題的教學時間是很緊張的．因為就是一道例題（下設3～4個小問），如果讓學生獨立解題，至少也得給足15～20分鐘，然而我們不僅預設了4個例題，而且在拓展、鏈接中還預設一些問題，都有一定的難度．根據筆者在不同班級的教學經驗來看，需要注意大膽取舍、有的放矢，即作為一節(jié)復習課、習題課，如果班級學生對某類問題在之前已有較好的掌握，則追問兩三個學生發(fā)現(xiàn)大家很熟悉的話，則對該類型問題可以一跳而過，而對于某類問題比較陌生，則需要停下來，引導思路，提醒學生洞察問題結構，從而快速貫通思路，具體的解題步驟可以安排學生課后繼續(xù)完善．

2.立意舉一反三，引導洞察“深層結構”

預設本節(jié)習題課的立意是引導學生舉一反三，追求“做一題，會一類，通一片”的教學效果，特別地，在教學過程中，要注意引導學生洞察同類型問題的“深層結構”，并積累具有同一結構問題的破題策略，比如例4中構造等邊三角形的經驗就很值得積累，就我們的教學經驗看，不少學生的解題障礙主要在兩個方面：一是隨著點P的位置變化后，不能畫出準確匹配的圖形；二是構造等邊三角形不成功．對于前者，要引導學生認真讀題，辨明角度大小，看清與哪條直線相交；而后者，則要啟發(fā)思考，構造的等邊三角形對于后續(xù)解題有沒有幫助，是否“可持續(xù)發(fā)展”．

三、寫在最后

熟悉中考試題的同行應該知道，90%的考題都是熟悉的問題，如何高效解決這些熟悉的問題，并贏得足夠的時間去攻克10%的陌生題、原創(chuàng)題，是各級復習過程中要重點突破的．我們把等邊三角形作為一個專題突破，拋磚引玉，期待更多的案例研討與批評指正．

1.李庾南，陳育彬．中學數學新課程教學設計30例——學力是這樣發(fā)展的［M］．北京：人民教育出版社，2007．

2.張恭慶．數學的有機統(tǒng)一是數學科學固有的特點［J］．高等數學研究，2011（9）.

3.劉東升．關聯(lián)性：一個值得重視的研究領域［J］．中學數學（下），2013（12）.

4.羅增儒．數學解題學引論［M］．西安：陜西師范大學出版社，2008.

5.中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．H