秦 進

（遵義師范學院數(shù)學與計算科學學院，貴州遵義563002）

一類三維混沌系統(tǒng)的動力學行為研究

秦 進

（遵義師范學院數(shù)學與計算科學學院，貴州遵義563002）

基于李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性理論，研究了一類三維混沌系統(tǒng)的平衡點、全局指數(shù)吸引集等問題.并且給出了相應的計算機模擬，其結果與理論計算相吻合，從而驗證了理論計算的正確性與可行性.

混沌系統(tǒng)；李雅普諾夫穩(wěn)定性；平衡點；有界性

0 引言

混沌系統(tǒng)有著對系統(tǒng)初值和參數(shù)的敏感依賴性.Lorenz混沌系統(tǒng)作為第一個混沌系統(tǒng)深刻地揭示了混沌現(xiàn)象.Lorenz混沌系統(tǒng)、R?ssler混沌系統(tǒng)、Chua’s電路混沌系統(tǒng)、Chen混沌系統(tǒng)、超混沌Lorenz系統(tǒng)、Lü混沌系統(tǒng)和統(tǒng)一混沌系統(tǒng)等是研究混沌系統(tǒng)的重要模型.混沌系統(tǒng)在非線性電路、混沌保密通信、圖像加密、控制科學和信息科學中有著非常重要的應用［1－4］.

混沌系統(tǒng)的最終有界性是研究混沌系統(tǒng)的一個重要方向，它在混沌系統(tǒng)的控制、同步、混沌吸引子的Hausdorff維數(shù)、混沌吸引子的Lyapunov維數(shù)等方面有著非常重要的應用.［5－6］從技術上講，求解一個混沌系統(tǒng)的最終界是一個非常困難的工作.由于Lorenz混沌系統(tǒng)有著重要的科學和工程應用背景，Leonov等人最先研究了Lorenz混沌系統(tǒng)的最終有界性.［7］隨后，H.Nijmeijer等人研究了Lorenz混沌系統(tǒng)的有界性，得到了一系列比較深入的結果.［8］郁培等人進一步研究了Lorenz系統(tǒng)的全局吸引集，不僅給出了Lorenz系統(tǒng)正半軌線的最終界表達式，而且給出了正半軌線進入吸引集的速率表達式.［9］張付臣等人推廣了廖曉昕等人的研究結果，進一步研究了一類金融混沌系統(tǒng)和一類三維混沌系統(tǒng)正半軌線的最終界.［10－12］呂金虎等人研究了一類高維混沌系統(tǒng)的最終有界性.［13］由于Lü混沌系統(tǒng)自身結構的特殊性，張付臣等人研究了經(jīng)典Lü系統(tǒng)的最終有界性［14］，進一步研究了復Lorenz混沌系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)不拓撲同胚的一個新三維混沌系統(tǒng)的最終有界性和全局吸引集［15－16］.

基于以上工作的啟發(fā)，本文將研究一類三維混沌系統(tǒng)（1）的全局吸引集，本文的創(chuàng)新之處在于研究了?a＞0，b＞0，c＞0時，系統(tǒng)（1）的全局吸引集，將不同參數(shù)時系統(tǒng)（1）的全局吸引集表達式統(tǒng)一到一個數(shù)學表達式之中，并且利用交集的思想得到了系統(tǒng)正半軌線最終界的一個較小估計.

1 動力學模型

一類新的三維混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型為［17］：

2 主要動力學特性分析

2.1不變集

z軸為系統(tǒng)（1）的一個正向不變集，并且當把系統(tǒng)（1）限制在z上可以得到方程˙z＝－bz，由于這個方程的解為z（t）＝z（t0）e－b（t－t0），從而從z軸上任何點出發(fā)的軌線當t→＋∞時都趨于點（0，0，0）.

2.2耗散性和吸引子的存在性

2.3平衡點及穩(wěn)定性

對于混沌系統(tǒng)（1），點S0＝（0，0，0）始終是系統(tǒng)（1）的一個平衡點.由于（1）的其他平衡點總是可以通過坐標平移，將此平衡點平移到坐標原點（0，0，0）.因此，我們只考慮系統(tǒng)（1）的平衡點S0＝（0，0，0）的穩(wěn)定性.系統(tǒng)（1）在平衡點S0＝（0，0，0）的雅克比矩陣為

從而系統(tǒng)（1）在平衡點S0＝（0，0，0）的特征方程為

其中

根據(jù)Routh－Hurwitz準則，當m＞0，mh－s＞0，s＞0時系統(tǒng)（1）的平衡點S0＝（0，0，0）是漸近穩(wěn)定的.系統(tǒng)（1）的其他平衡點的穩(wěn)定性可以類似地考慮.

2.4全局吸引集

考慮一類自治動力系統(tǒng)

定理1 對任意的a＞0，b＞0，c＞0，λ＞0，令

則當V（X（t））≥L0，V（X0）＞L0（t≥t0）時，對于系統(tǒng)（1）的正半軌線有估計式

證明做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)

當V（X（t））≥L0，V（X0）＞L0（t≥t0）時，計算V（x，y，z）對時間t的導數(shù)

注1 （1）取參數(shù)a＝35；由定理1知系統(tǒng)（1）的正半軌線包含內，如圖2所示.從圖2中可以看出系統(tǒng)的正半軌線最終進入Ω與定理1的理論結果相吻合，表明了計算結果的正確性.

兩組干預前SF-36各項評分無明顯差異，干預后，均為觀察組高于對照組，差異有統(tǒng)計學意義（P<0.05）。見表2。

（3）根據(jù)定理可以得到從吸引集Ωλ外的軌線進入吸引集的速率為指數(shù)速率.

定理2 對任意的a＞0，b＞0，c＞0，令

則當V2（X（t））≥L，V2（X0）＞L（t≥t0）時，對于系統(tǒng)（1）的軌線有指數(shù)估計式

證明做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)

計算函數(shù)V2（x，y，z）對時間t的導數(shù)，我們有

當V2（X（t））≥L，V2（X0）＞L（t≥t0）時，

注2 取參數(shù)a＝35，b＝；由定理2系統(tǒng)（1）的正半軌線包含在下列所定義的集合.如圖3所示.從圖3中可以看出系統(tǒng)的正半軌線最終進入Ω1與定理2的理論結果相吻合，表明了計算結果的正確性.

3 結論

利用動力系統(tǒng)的基本理論研究了一類混沌系統(tǒng)的一些基本的動力學行為，并且給出了相應的計算機模擬，其結果證明了研究結果的正確性與有效性.

［1］ 杜文舉，俞建寧，張建剛，等.一個新四維混沌系統(tǒng)的分岔分析［J］.東北師大學報：自然科學版，2014，46（1）：80－87.

［2］ 王石，楊吉，欒紅霞.基于Backstepping方法對超混沌Rossler系統(tǒng)的控制與同步研究［J］.東北師大學報：自然科學版，2014，46（2）：69－74.

［3］ 高智中，韓新風，章毛連.一個新的四維超混沌系統(tǒng)及其電路仿真［J］.東北師大學報：自然科學版，2012，44（1）：77－83.

［4］ DA LIN，HONGJUN LIU，HONG SONG，et al.Fuzzy neural control of uncertain chaotic systems with backlash nonlinearity［J］.International Journal of Machine Learning and Cybernetics，2014，5（5）：721－728.

［5］ KUZNETSOV NV，MOKAEV TN，VASILYEV PA.Numerical justification of Leonov conjecture on Lyapunov dimension of Rossler attractor［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2014，19（4）：1027－1034.

［6］ DA LIN，F(xiàn)UCHEN ZHANG，JIAMING LIU.Symbolic dynamics－based error analysis on chaos synchronization via noisy channels［J］.Physical Review，2014，E90：012908.

［7］ LEONOV GA.Bounds for attractors and the existence of homoclinic orbits in the Lorenz system［J］.J Appl Math Mech，2001，65（1）：19－32.

［8］ POGROMSKY A，SANTOBONI G，NIJMEIJER H.An ultimate bound on the trajectories of the Lorenz system and itsapplications［J］.Nonlinearity，2003，16：1597－1605.

［9］ PEI YU，XIAOXIN LIAO.Globally attractive and positive invariant set of the Lorenz system［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2006，16（3）：757－764.

［10］ FUCHEN ZHANG，CHUNLAI MU，GUANGYUN ZHANG，et al.Dynamics of two classes of Lorenz－type chaotic systems［J／OL］.Complexity，［2014－03－20］.http：／／onlinelibrary.wiley.com／doi／10.1002／cplx.21571／abstract.

［11］ FUCHEN ZHANG，CHUNLAI MU，PAN ZHENG，et al.The dynamical analysis of a new chaotic system and simulation［J］.Mathematical Methods in the Applied Sciences，2014，37（12）：1838－1846.

［12］ FUCHEN ZHANG，GUANGYUN ZHANG，DA LIN，et al.Global attractive sets of a novel bounded chaotic system［J］.Neural Computing and Applications，2014，25（5）：1177－1183.

［13］ WANG PEI，LI DAMEI，WU XIAOQUN，et al.Ultimate bound estimation of a class of high dimensional quadratic autonomous dynamical systems［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2011，21：2679－2694.

［14］ FUCHEN ZHANG，CHUNLAI MU，XIAOWU LI.On the boundness of some solutions of the Lüsystem［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2012，22（1）：1－5.

［15］ FUCHEN ZHANG，YONGLU SHU，HONGLIANG YANG.Bounds for a new chaotic system and its application in chaos synchronization［J］.Communications in Nonlinear Science and Numeical Simulations，2011，16（3）：1501－1508.

［16］ FUCHEN ZHANG，GUANGYUN ZHANG.Boundedness solutions of the complex Lorenz chaotic system［J］.Applied Mathematics and Computation，2014，243：12－23.

［17］ GUOYUAN QI，GUANRONG CHEN，SHENGZHI DU，et al.Analysis of a new chaotic system［J］.Physica A，2005（352）：295－308.

Dynamical analysis of a class of chaotic systems

QIN Jin

（School of Mathematics and Computational Science，Zunyi Normal College，Zunyi 563002，China）

Equilibrium points and its stability，positively invariant sets，and global attractive sets are all important problems in dynamical systems.Based on Lyapunov functions theory，we have investigated the equilibrium points，global attractive sets of the new 3－D chaotic system.Base on the global attractive sets obtained in this paper，we can get the boundedness of all variables of the system.Finally，we give the simulations about our results in the paper.Numerical simulations is consistent with our computation.

chaotic system；Lyapunov stability；equilibrium point；boundedness solutions

O 241.84；O 29；O 242.1 ［學科代碼］ 110·61 ［

］ A

（責任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0048－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.010

2014－07－18

國家自然科學基金資助項目（71461027）；貴州省科技廳·遵義市科技局·遵義師范學院聯(lián)合基金資助項目（201209）.［作者簡介］ 秦進（1975—），男，碩士研究生，副教授，主要從事混沌系統(tǒng)的有界性及其數(shù)學應用研究.