楊利峰，王先超，朱劍峰

(阜陽師范學(xué)院a.經(jīng)濟(jì)學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236041)

圖論是運(yùn)籌學(xué)課程的核心組成部分，其在商務(wù)管理、復(fù)雜系統(tǒng)、行為經(jīng)濟(jì)學(xué)和社交網(wǎng)絡(luò)等經(jīng)濟(jì)、管理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]。經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生認(rèn)為圖論中一些算法系統(tǒng)性較強(qiáng)，難懂且不知如何運(yùn)用，提不起學(xué)習(xí)興趣，而通過建模驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)類課程教學(xué)能夠在經(jīng)管類學(xué)生中取得好的成效[2]。隨著信息技術(shù)在社會(huì)生活等領(lǐng)域的逐步滲透，大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，數(shù)據(jù)復(fù)雜性也快速增長，其復(fù)雜性主要表現(xiàn)為多樣性、低價(jià)值、實(shí)時(shí)性等[3]，基于復(fù)雜數(shù)據(jù)的圖論教學(xué)更需與時(shí)俱進(jìn)。所以在教學(xué)中應(yīng)有效挖掘圖論中潛在的思維模式，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖的基本理論思考和解決實(shí)際問題的能力，全方位提高學(xué)生的綜合素質(zhì)[4]。為幫助學(xué)生掌握?qǐng)D論中經(jīng)典算法的基本理論、思維模式，以便學(xué)生能夠利用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題，將從現(xiàn)實(shí)生活中的圖論問題，算法基本思想及步驟，建模驅(qū)動(dòng)的實(shí)踐等方面展示圖論中Dijkstra 算法和Floyd 算法教學(xué)實(shí)踐，然后對(duì)建模驅(qū)動(dòng)的圖論教學(xué)做了相應(yīng)的思考。

1 圖論中的實(shí)際問題

1.1 圖論中的經(jīng)典問題

哥尼斯堡七橋問題: 哥尼斯堡七橋問題是18世紀(jì)經(jīng)典數(shù)學(xué)問題之一。有七座橋?qū)⒏缒崴贡こ鞘兄械膬蓚€(gè)島和河岸連接起來，旅游者不禁要問是否存在一條路徑經(jīng)過七座橋一次且僅一次。1736年，歐拉在遞交給圣彼得堡科學(xué)院的論文《哥尼斯堡七橋》中提出了歐拉定理，指出由于哥尼斯堡七橋問題中存在不止兩個(gè)奇數(shù)度節(jié)點(diǎn)，所以不存在這樣的道路，即不存在歐拉道路[5]。歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的同時(shí)開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支——圖論。

旅行推銷員(TSP)問題:在N 個(gè)城鎮(zhèn)間如何設(shè)計(jì)一條路線，使得推銷員能夠從其所在城鎮(zhèn)出發(fā)經(jīng)過其余城鎮(zhèn)一次且僅一次，回到原城鎮(zhèn)并滿足所走行程最短。滿足條件的路線稱之為最佳推銷員回路，尋找最佳推銷員巡回相當(dāng)于在加權(quán)完備圖中尋找H 圈，即漢密爾頓回路。TSP 問題是一個(gè)組合優(yōu)化問題，該問題被證明具有NP 計(jì)算復(fù)雜性，此后的一些導(dǎo)致該問題簡化的方法都引起了廣泛關(guān)注[6-7]。

四色問題: 四色猜想是數(shù)學(xué)的著名猜想之一，通常的說法為任一平面地圖都可以用四種顏色來著色，且沒有任何兩個(gè)相鄰的區(qū)域顏色相同。1976年，Appel 和Haken 借助計(jì)算機(jī)花了1200 小時(shí)，獲得了1936 個(gè)構(gòu)形的不可避免集，做了100 億次判斷，成功的進(jìn)行了四色問題的證明[8]。四色問題的研究產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)理論，發(fā)展了數(shù)學(xué)計(jì)算技巧，且體現(xiàn)了圖論基本理論與現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)工具的完美結(jié)合[9]。

1.2 信息時(shí)代背景下的圖論新問題

社交平臺(tái)上的博客群問題:隨著信息技術(shù)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活的廣泛滲透，圖論也應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)輿情傳播和政治群體的構(gòu)建等社會(huì)管理方面，逐漸成為計(jì)算社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域研究的重要工具，其對(duì)推動(dòng)復(fù)雜、動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的分析有積極的意義。Blogosphere 博客空間的數(shù)據(jù)經(jīng)過相應(yīng)的計(jì)算得到了兩大群體:自由派群體和保守派群體。在圖1中節(jié)點(diǎn)表示不同派別個(gè)體對(duì)應(yīng)的博客[10]。每個(gè)博客節(jié)點(diǎn)的大小反應(yīng)了其與其他節(jié)點(diǎn)聯(lián)接的程度。群體內(nèi)博客的聯(lián)接密度顯著大于群體間博客的聯(lián)接密度，兩大群體間邊緣個(gè)體的博客交往信息可以預(yù)測群體間邊緣個(gè)體的政治傾向變化。

病毒式營銷問題:商業(yè)營銷和商務(wù)管理在大數(shù)據(jù)背景下也需要圖的相關(guān)理論進(jìn)行支撐[11]。文獻(xiàn)[11]展示了在線社交網(wǎng)絡(luò)中的病毒式營銷模式，這種營銷模式能夠以較低的成本增加銷售額。但是進(jìn)行病毒式營銷的關(guān)鍵問題是識(shí)別最具影響力的用戶，以此類用戶為信息擴(kuò)散的核心進(jìn)行營銷信息擴(kuò)散。這需要解決信息的時(shí)效性問題，在某一時(shí)刻定義孤立用戶及用戶信任程度等信息，再通過虛擬社交網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立模型，然后以時(shí)間因素為主變量考慮病毒式營銷的擴(kuò)散動(dòng)態(tài)過程。文獻(xiàn)[11]中通過SNS 網(wǎng)站數(shù)據(jù)信息提取了一些個(gè)體在某一時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)信任信息，如圖2所示。

圖1 政治博客群的結(jié)構(gòu)

圖2 某時(shí)刻用戶間的信任網(wǎng)絡(luò)

上述這些實(shí)際問題都與圖論中最短路問題密切相關(guān)，下面介紹圖論中最短路算法教學(xué)如何在實(shí)際問題建模驅(qū)動(dòng)中進(jìn)行。

2 圖論教學(xué)中最短路算法的基本理論

最短路問題分為兩類:單源最短路問題和全局最短路問題。這兩類問題分別對(duì)應(yīng)著兩個(gè)經(jīng)典的最短路算法:Dijkstra 算法和Floyd 算法。

2.1 最短路算法的基本思想

首先介紹一下上述兩個(gè)經(jīng)典算法的基本思想。

Dijkstra 算法的基本思想: 假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一對(duì)標(biāo)號(hào)〈di，fi〉，其中di是從起點(diǎn)v0到節(jié)點(diǎn)vi的路徑長度，fi表示節(jié)點(diǎn)vi的父節(jié)點(diǎn)的標(biāo)號(hào)，用以確定路徑。Dijkstra 算法就是通過不斷比較插入可能的父節(jié)點(diǎn)后，更新節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)，以致進(jìn)行永久標(biāo)號(hào)。這一永久標(biāo)號(hào)過程就形如樹生長，當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)都進(jìn)行了永久標(biāo)號(hào)后，就得到了以某一固定起點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的樹，也就確定了固定起點(diǎn)的最短路徑。

Floyd 算法的基本思想: 在初始圖的帶權(quán)鄰接矩陣中不斷插入節(jié)點(diǎn)組合，依次構(gòu)造新的距離矩陣D1，D2，…，DN，在構(gòu)造新的距離矩陣的同時(shí)不斷更新路徑矩陣R1，R2，…，RN，最終得到的距離矩陣DN中元素表示了對(duì)應(yīng)位置節(jié)點(diǎn)對(duì)間的最短距離。通過查找RN矩陣中的元素值就可以得到對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)對(duì)間最短距離是通過怎樣的路徑走出的。

2.2 最短路算法的基本步驟

設(shè)G 為一賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)，權(quán)均非負(fù)，其鄰接矩陣用W 表示。d(v) 表示距離標(biāo)號(hào)，f(v) = v0表示父節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)，w(v*，v) 表示鄰接矩陣中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)數(shù)。Dijkstra 算法的主要步驟:

D(i，j) 表示具有n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的圖中節(jié)點(diǎn)vi和vj間的距離，r(i，j) 表示節(jié)點(diǎn)vi和vj間插入的節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)，w(i，j) 表示鄰接矩陣中的元素。Floyd 算法的主要步驟:

Step1:賦初值，?i，j，d(i，j) ←w(i，j) ，r(i，j) ←j，k ←1 ;

Step2:若d(i，k) +d(k，j) ＜d(i，j) ，更新d(i，j) ，r(i，j) ，即d(i，j) ←d(i，k) + d(k，j) ，r(i，j)←k;

Step3:若k = n，停止，否則k ←k + 1 ，回到Step2。

3 基于建模驅(qū)動(dòng)的最短路算法教學(xué)實(shí)踐

3.1 問題建模驅(qū)動(dòng)的實(shí)踐教學(xué)一

實(shí)際問題: 微信社交網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)應(yīng)用十分廣泛，如何評(píng)價(jià)自己與微信好友的聯(lián)系的親密程度?

問題分析:在現(xiàn)實(shí)的管理問題中需經(jīng)常解決分類問題，這個(gè)問題實(shí)際上就是將某一同學(xué)朋友圈內(nèi)的朋友分成若干群體，不同的群體表示不同的親密度。在虛擬社交平臺(tái)上，兩個(gè)朋友間的親密程度可以具象化地用他們之間聯(lián)系的多少及頻率來衡量，他們之間聯(lián)系得多意味著他們之間的交往距離就短，否則就表示他們之間的交往距離較長。因此，可以用朋友圈內(nèi)朋友與該同學(xué)之間的交往距離大小來進(jìn)行親密程度分類。這樣該實(shí)際問題就化為了固定起點(diǎn)的最短路問題，即該問題可以用Dijkstra 來解決。

解決步驟:

Step1:某一學(xué)生將自身微信朋友圈的信息交流信息進(jìn)行整理，得到兩兩朋友間的交流信息;

Step2:將交流信息進(jìn)行距離化( 假設(shè)以交往信息條數(shù)的倒數(shù)作為距離，交往信息越多則距離越短)，得到初始的距離矩陣;

Step3:按照Dijkstra 算法的主要步驟，將初始距離矩陣帶入，進(jìn)行固定起點(diǎn)的最短路計(jì)算，并將朋友按照計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分成5 類( 非常親密的朋友、親密的朋友、較為親密的朋友、聯(lián)系較少的朋友和很少聯(lián)系的朋友)。

下面介紹包含某一學(xué)生本身共計(jì)183 位成員，利用自身數(shù)據(jù)的解決結(jié)果。其將微信平臺(tái)中一個(gè)月時(shí)間內(nèi)的信息推送指向信息( 那個(gè)成員在推送，哪些成員在回應(yīng)信息) 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，在獲取微信交流信息數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行距離定義，再依據(jù)固定起點(diǎn)的最短路算法( Dijkstra 算法) 進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)計(jì)算后的數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化展示，結(jié)果如表1和圖3所示。

表1 微信朋友圈的親密程度等級(jí)劃分結(jié)果

初始時(shí)刻的數(shù)據(jù)可視化信息及計(jì)算后的數(shù)據(jù)可視化信息如圖3所示:

圖3 微信朋友親密程度數(shù)據(jù)的可視化結(jié)果

通過該學(xué)生將其微信朋友圈中信息推送信息的統(tǒng)計(jì)和計(jì)算，得到了其朋友圈親密程度的劃分。表1中其將朋友群體分為5 類: 非常親密的朋友，，若親密朋友，較為親密的朋友，聯(lián)系較少的朋友和很少聯(lián)系的朋友，對(duì)應(yīng)的成員個(gè)數(shù)分別為4，5，7，6 和160 個(gè)，通過這組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，微信朋友圈中很多朋友都是很少聯(lián)系的，很少聯(lián)系的朋友比例約占總數(shù)的87.91%，說明該學(xué)生在社交網(wǎng)絡(luò)中的活躍程度不是很高。在圖3中，針對(duì)聯(lián)系的密切程度對(duì)不同成員節(jié)點(diǎn)的大小進(jìn)行了賦權(quán)，節(jié)點(diǎn)越大表明聯(lián)系越緊密。

3.2 問題建模驅(qū)動(dòng)的實(shí)踐教學(xué)二

實(shí)際問題:同一宿舍的6 位學(xué)生之間的聯(lián)系是否密切，宿舍舍友間是否存在小團(tuán)體，這種小團(tuán)體的成因是什么?

問題分析:同一宿舍6 個(gè)同學(xué)的群體劃分問題實(shí)際上是對(duì)宿舍每一成員與他人間距離進(jìn)行整體評(píng)價(jià)。在實(shí)際操作中，同宿舍成員間的交往頻率往往不能實(shí)際統(tǒng)計(jì)，可以借助通訊和社交平臺(tái)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，其一定程度上也可以反映成員之間的交往多少。有了成員間交往的數(shù)據(jù)信息，可以通過合理的假設(shè)，設(shè)定成員間距離如何衡量，進(jìn)而獲得初始的成員間的距離矩陣。接下來的工作就是計(jì)算任意一對(duì)成員間的最短距離，然后再對(duì)每一成員與其他5 個(gè)成員間的整體距離進(jìn)行判定，得到群體劃分的直接依據(jù)。

解決步驟:

Step1:某一學(xué)生將自身通訊數(shù)據(jù)( 包括通話、短信信息、QQ 信息和微信信息)在某一時(shí)間內(nèi)進(jìn)行統(tǒng)計(jì);

Step2:將通訊數(shù)據(jù)進(jìn)行距離化( 同樣可以假設(shè)以交往信息的條數(shù)的倒數(shù)作為距離，交往信息越多則距離越短)，得到初始的距離矩陣;

Step3:按照Floyd 算法的主要步驟，將初始距離矩陣帶入，進(jìn)行任意起點(diǎn)的最短路計(jì)算，得到任一對(duì)成員之間的距離(為使節(jié)點(diǎn)間邊在圖像顯示中美觀，將不同對(duì)成員間算出的距離進(jìn)行了同比例的放大、取整，具體例子中距離數(shù)據(jù)調(diào)整后如表2所示)。

Step4:按照簡單的算術(shù)平均，將每一成員與他人間的平均距離得到，若兩個(gè)成員與其他成員間的平均距離值相差超過一定比例( 這里設(shè)定為100%)就視為他們不在同一個(gè)群體，進(jìn)而得到群體的劃分。

下面介紹某一學(xué)生利用其宿舍群體數(shù)據(jù)的解決結(jié)果。將同一宿舍6 位同學(xué)的手機(jī)通訊數(shù)據(jù)( 包括通話、短信信息、QQ 信息和微信信息) 進(jìn)行為時(shí)2 月的統(tǒng)計(jì)，并利用任意起點(diǎn)的最短路算法( Floyd算法)進(jìn)行計(jì)算和評(píng)價(jià)，將計(jì)算結(jié)果展示如下。

同宿舍6 位同學(xué)間距離的計(jì)算結(jié)果如表2。

表2 宿舍同學(xué)間距離計(jì)算結(jié)果

宿舍6 位同學(xué)根據(jù)距離設(shè)定閾值劃分為3 個(gè)群體，數(shù)據(jù)可視化結(jié)果如圖4。

圖4 宿舍同學(xué)群體劃分?jǐn)?shù)據(jù)的可視化結(jié)果

通過表3的數(shù)據(jù)可以看出同學(xué)3 和其他同學(xué)間的聯(lián)系最為緊密，而同學(xué)5 和同學(xué)6 和其他4 位同學(xué)的聯(lián)系較少，距離較遠(yuǎn)。根據(jù)設(shè)定的閾值對(duì)同宿舍的6 位同學(xué)進(jìn)行了群體劃分，將6 位同學(xué)化為3 個(gè)群體，同學(xué)1 和同學(xué)6 各成為一個(gè)群體，同學(xué)2、同學(xué)3、同學(xué)4//同學(xué)5 成為了一個(gè)群體，這與該宿舍同學(xué)的切身感受基本一致。這6 位同學(xué)對(duì)宿舍形成的交往現(xiàn)狀進(jìn)行了思考，覺得同學(xué)1 和同學(xué)6 和其他4 位同學(xué)聯(lián)系較少的原因是她們對(duì)自己的學(xué)習(xí)要求更為嚴(yán)格，非上課時(shí)間主要是在自習(xí)室和圖書館度過，造成了聯(lián)系較少。

通過兩個(gè)實(shí)際問題的驅(qū)動(dòng)教學(xué)，學(xué)生不僅對(duì)最短路的兩個(gè)經(jīng)典算法有了深刻的了解，而且通過動(dòng)手實(shí)踐對(duì)自身的交往信息做了科學(xué)的計(jì)算，取得了對(duì)自身交往信息更為客觀的認(rèn)識(shí)和評(píng)價(jià)。這些實(shí)踐對(duì)經(jīng)管類學(xué)生利用綜合知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題作出科學(xué)評(píng)價(jià)提供了有益的嘗試。

4 建模驅(qū)動(dòng)經(jīng)管類專業(yè)圖論教學(xué)的思考

4.1 建模驅(qū)動(dòng)為圖論教學(xué)帶來開放性

傳統(tǒng)圖論教材中的教學(xué)內(nèi)容、體系、模式有自我封閉的趨勢，尤其是在大數(shù)據(jù)、復(fù)雜數(shù)據(jù)大發(fā)展的背景下，如何結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中新現(xiàn)象，提出新的具有吸引力的新問題，是引導(dǎo)經(jīng)管類學(xué)生對(duì)圖論等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)和實(shí)踐的關(guān)鍵。大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來不僅給網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展提供了新的動(dòng)力和機(jī)遇，也為支持網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的基礎(chǔ)理論之一的圖論教學(xué)提供了建模驅(qū)動(dòng)的契機(jī)?！氨姲? 眾包是種分布式問題解決模式，它將指定人員執(zhí)行指定任務(wù)的方式變?yōu)榱俗杂勺栽附邮苋蝿?wù)的方式[13]) 這種網(wǎng)絡(luò)科學(xué)理論的驅(qū)動(dòng)模式在圖論教學(xué)與實(shí)踐中也應(yīng)該有強(qiáng)大的生命力。類似于眾包的建模驅(qū)動(dòng)模式，拓展了學(xué)生對(duì)虛擬社交平臺(tái)等新問題的認(rèn)識(shí)，意識(shí)到了圖論知識(shí)運(yùn)用的廣泛性及帶來的趣味性，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)興趣。

4.2 建模驅(qū)動(dòng)為圖論教學(xué)帶來融合性

學(xué)科交叉運(yùn)用變的越來越普遍，大量實(shí)踐交流平臺(tái)中問題的解決需要圖論知識(shí)與經(jīng)管類其它專業(yè)知識(shí)的綜合運(yùn)用，經(jīng)管類學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)離不開學(xué)科交叉運(yùn)用能力的培養(yǎng)。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生需要面臨的是分析更為復(fù)雜的問題，而以往的單一理論教學(xué)模式無法解決問題分析和學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的問題。一些實(shí)際問題驅(qū)動(dòng)的學(xué)科競賽平臺(tái)中展示的問題需要圖論與其他經(jīng)管類知識(shí)的融合，如: 美國大學(xué)生數(shù)模競賽出現(xiàn)了進(jìn)行恐怖分子的社交網(wǎng)絡(luò)分析此類與圖論密切相關(guān)題目。2013 年全國數(shù)學(xué)建模競賽題目“車道被占用對(duì)城市道路交通能力的影響”，2014 年數(shù)學(xué)建模美國賽中“高速公路交通規(guī)則的制定”及“體育功勛教練員貢獻(xiàn)的評(píng)價(jià)”。上述問題中不僅需要學(xué)生有對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析和判斷的能力，更需要學(xué)生綜合運(yùn)用圖論與經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、決策等理論來解決。

4.3 建模驅(qū)動(dòng)為圖論教學(xué)帶來合作性

經(jīng)管類學(xué)生培養(yǎng)的一個(gè)重要方面就是溝通能力、協(xié)調(diào)能力和組織能力的培養(yǎng)。在建模驅(qū)動(dòng)的實(shí)際問題解決過程中，不論是問題分析，還是數(shù)據(jù)獲得方式、數(shù)據(jù)收集及數(shù)據(jù)計(jì)算和評(píng)價(jià)都是復(fù)雜的，在復(fù)雜問題的解決中需要團(tuán)隊(duì)合作。建模驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式要求學(xué)生成立學(xué)習(xí)小組，倡導(dǎo)學(xué)生間的合作，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)精神，團(tuán)隊(duì)精神能夠促進(jìn)團(tuán)隊(duì)成員的學(xué)習(xí)和創(chuàng)新等能力的培養(yǎng)。解決實(shí)際問題的過程中，團(tuán)隊(duì)成員間需要激烈討論，這種團(tuán)隊(duì)討論一方面可以培養(yǎng)成員的語言表達(dá)能力、溝通協(xié)調(diào)能力和團(tuán)結(jié)推進(jìn)能力，另一方面是一個(gè)不斷反省、不斷嘗試、探索創(chuàng)新及提升實(shí)際應(yīng)用能力的一個(gè)過程。數(shù)學(xué)建模競賽平臺(tái)吸引了越來越多的經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生參與，據(jù)統(tǒng)計(jì)參加建模競賽和獲得獎(jiǎng)項(xiàng)的同學(xué)中經(jīng)管類學(xué)生超過了6%[2]，在這種合作活動(dòng)中學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力得到了顯著的提升。

5 結(jié)束語

以建模為驅(qū)動(dòng)的經(jīng)管類專業(yè)圖論教學(xué)模式能夠?yàn)閷W(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率提供有力支撐，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和溝通協(xié)調(diào)能力提供有效的平臺(tái)。教學(xué)方法和模式的改變需要在實(shí)際教學(xué)中不斷總結(jié)，逐漸實(shí)現(xiàn)圖論教學(xué)效果的提升。

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