孫永健 穆賀強(qiáng) 程 臻 付 瑩

（1.北京無線電測量研究所，北京100854；2.空軍預(yù)警學(xué)院，湖北武漢430019；3.中國航天科工集團(tuán)第二研究院，北京100854）

基于四元數(shù)矩陣奇異值的目標(biāo)特征提取與識別

孫永健1，2穆賀強(qiáng)1程 臻3付 瑩2

（1.北京無線電測量研究所，北京100854；2.空軍預(yù)警學(xué)院，湖北武漢430019；3.中國航天科工集團(tuán)第二研究院，北京100854）

在彈道中段，目標(biāo)的微動差異是識別彈頭和誘餌的有效特征.但目標(biāo)微動特征參數(shù)的提取往往受到目標(biāo)平動補(bǔ)償精度、雷達(dá)裝備工作狀態(tài)和環(huán)境等因素的限制，進(jìn)而導(dǎo)致目標(biāo)識別率降低.首先建立了基于四元數(shù)的彈頭與誘餌微動模型，將目標(biāo)的微多普勒時(shí)頻像視為彩色圖像，并將彩色圖像用四元數(shù)矩陣模型描述.根據(jù)奇異值向量的穩(wěn)定性和旋轉(zhuǎn)不變性，提出了基于四元數(shù)矩陣奇異值分解和支持向量機(jī)的彈道目標(biāo)微多普勒特征提取與分類識別方法.仿真結(jié)果表明：四元數(shù)矩陣奇異值構(gòu)成的特征向量比基于Hu矩的特征向量更加有效；提高信噪比，有助于提高分類器的目標(biāo)識別率；目標(biāo)徑向速度估計(jì)誤差的增大，會降低分類器的目標(biāo)識別率；增大雷達(dá)的脈沖重復(fù)頻率可以明顯提高目標(biāo)的正確識別率.

目標(biāo)識別；特征提??；微多普勒；四元數(shù)矩陣；奇異值分解

引 言

彈道導(dǎo)彈彈道中段，誘餌等通常以相同的速度伴隨彈頭在大氣層外飛行，這對彈道目標(biāo)的分類識別提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，使其成為反導(dǎo)攔截的關(guān)鍵技術(shù)難題和研究熱點(diǎn).文獻(xiàn)［1］提取目標(biāo)高分辨距離像（High Resolution Range Profile，HRRP）特征，基于核匹配追蹤理論，采用直覺模糊C-均值聚類算法對目標(biāo)進(jìn)行分類識別，但HRRP的平移敏感性、姿態(tài)敏感性和幅度敏感性［2］會影響特征的穩(wěn)定性和聚類效果.隨著誘餌技術(shù)的快速發(fā)展，僅基于常規(guī)雷達(dá)的目標(biāo)特性很難從誘餌中識別出真彈頭，必須挖掘目標(biāo)的精細(xì)特征.自旋穩(wěn)定的彈頭在外部分離力量的作用下會產(chǎn)生進(jìn)動.根據(jù)動量守恒定律，彈頭微動將趨于穩(wěn)定的進(jìn)動，直至其再入大氣層.［3］.而重誘餌將因?yàn)槿鄙僮藨B(tài)控制單元產(chǎn)生擺動.由微動產(chǎn)生的微多普勒可以看作目標(biāo)的唯一特征，為中段目標(biāo)識別提供了可靠依據(jù)［4－5］.近年來，微多普勒效應(yīng)及其在雷達(dá)目標(biāo)識別領(lǐng)域的應(yīng)用研究已成為熱點(diǎn)［6－9］，但一般情況下很難直接獲得精確的目標(biāo)微多普勒特征參數(shù).文獻(xiàn)［10］從彈頭和誘餌的微動模型出發(fā)，利用目標(biāo)二維時(shí)頻像的Hu不變矩［11］構(gòu)造目標(biāo)特征矢量進(jìn)行分類識別，但目標(biāo)高速平動會使微多普勒產(chǎn)生平移、折疊和傾斜，破壞微多普勒的結(jié)構(gòu).因此，必須首先進(jìn)行平動徑向速度補(bǔ)償處理［12－13］.實(shí)際中，由于雷達(dá)工作狀態(tài)、系統(tǒng)偏差、量測噪聲和自然環(huán)境的影響，很難實(shí)現(xiàn)目標(biāo)徑向速度的精確補(bǔ)償，進(jìn)而導(dǎo)致微多普勒參數(shù)的提取精度下降.當(dāng)信噪比低至一定程度時(shí)，微多普勒結(jié)構(gòu)將完全被斑點(diǎn)噪聲破壞，因此無法實(shí)現(xiàn)特征參數(shù)提取.

針對上述問題，文章提出了基于四元數(shù)矩陣奇異值分解（Quaternion Matrix Singular Value Decomposition，QMSVD）和支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）的彈道目標(biāo)微多普勒特征提取與分類識別方法.該方法把目標(biāo)的微多普勒時(shí)頻像看作彩色圖像，并用四元數(shù)矩陣進(jìn)行描述，選取四元數(shù)矩陣的較大奇異值構(gòu)成特征向量，采用SVM分類器對彈頭和誘餌目標(biāo)進(jìn)行分類識別.進(jìn)一步分析了處理后信噪比、目標(biāo)徑向速度估計(jì)誤差和雷達(dá)脈沖重復(fù)頻率（Pulse Repetition Frequency，PRF）對目標(biāo)識別率的影響.仿真結(jié)果表明：四元數(shù)矩陣奇異值構(gòu)成的特征向量比基于Hu矩的特征向量更加有效；提高信噪比，有助于提高分類器的目標(biāo)識別率；在相同信噪比下，基于QMSVD的分類器較基于Hu矩的分類器具有較高的識別率.目標(biāo)徑向速度補(bǔ)償誤差的增大，會降低分類器的目標(biāo)識別率.增大雷達(dá)的PRF可以明顯提高目標(biāo)的正確識別率.

1 四元數(shù)復(fù)矩陣表示及其奇異值分解定理

四元數(shù)是愛爾蘭數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家William Rowan Hamilton于1843年建立的數(shù)學(xué)概念，是繼復(fù)數(shù)之后又一新數(shù)系.隨著計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和機(jī)器人定位等技術(shù)領(lǐng)域的發(fā)展，四元數(shù)越來越受到人們的重視.

四元數(shù)是由1個(gè)實(shí)數(shù)單位1和3個(gè)虛數(shù)單位i、j、k組成的包含4個(gè)實(shí)元的超復(fù)數(shù)，其形式為［14］

記四元數(shù)集合為H.令v＝（x，y，z），四元數(shù)可分為標(biāo)量和矢量兩部分為

由此可以看出，實(shí)數(shù)x可以用四元數(shù)表示為q＝（x，0）.向量v可以表示為四元數(shù)q＝（0，v），稱為純四元數(shù).四元數(shù)運(yùn)算法則可參見文獻(xiàn)［15］.

作映射σ：H→C2×2，

C2×2，可以證明σ是同構(gòu)映射，即H≌C2×2.因此，四元數(shù)q可用C2×2中的二階復(fù)方陣唯一表示.

設(shè)A＝C1＋C2j∈Hm×n（C1，C2∈Cm×n），是A在復(fù)數(shù)域C上的分解式［16］，則稱

為四元數(shù)矩陣A的復(fù)表示矩陣.

定理1 若A∈Hm×nr，則存在酉矩陣U∈Hm×n，V∈Hm×n，使得［17］

式中：符號“＊”表示共軛轉(zhuǎn)置；Σ＝diag（σ1，σ2，…，σr，0，0，…，0）∈Rm×n，σ1≥σ2≥…≥σr為矩陣A的r個(gè)非零奇異值.

2 基于四元數(shù)的彈道目標(biāo)微多普勒模型

2.1 彈頭微多普勒模型

如圖1所示，用來描述彈頭微動的三個(gè)坐標(biāo)系分別為雷達(dá)坐標(biāo)系（U，V，W）、參考坐標(biāo)系（X，Y，Z）和目標(biāo)本體坐標(biāo)系（x，y，z）.參考坐標(biāo)系與雷達(dá)坐標(biāo)系平行.在目標(biāo)本體坐標(biāo)系內(nèi)，原點(diǎn)O為彈頭質(zhì)心，且彈頭關(guān)于Oz軸對稱.假設(shè)彈頭在圍繞對稱軸Oz自旋的同時(shí)還圍繞向量O′C錐旋.O′為Oz與O′C的交點(diǎn).rc＝（0，0，z0）T為點(diǎn)O′在目標(biāo)本體坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，自旋軸單位向量s＝rc／‖rc‖，則自旋的四元數(shù)可表示為

式中：θs＝2πfst為t時(shí)刻的自旋角度；fs是自旋頻率.

同理，其錐旋軸單位向量c＝［cosαccosβc sinαccosβcsinβc］，錐旋的四元數(shù)表示為

式中：θc＝2πfct為t時(shí)刻的錐旋角度；fc為錐旋頻率.若點(diǎn)P在參考坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)可以表示為V＝（0，r0），則其t時(shí)刻的位置四元數(shù)為

其微多普勒頻率表達(dá)式為

式中：

2.2 誘餌微多普勒模型

誘餌擺動模型如圖2所示，點(diǎn)O為質(zhì)心.誘餌在向量O′z與向量O′C確定的平面內(nèi)擺動.擺動角度可表示為θw＝θw（t）＝θmsinωwt.其中θm為擺動角度范圍，ωw＝2πfw表示擺動的角速度，fw為擺動頻率.誘餌對稱軸在本體坐標(biāo)系中的初始單位向量w＝（0，0，1），其對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為

設(shè)rb0為散射點(diǎn)P在參考坐標(biāo)系內(nèi)的初始位置向量，其對應(yīng)的四元數(shù)坐標(biāo)為V＝（0，ATrb0），AT為過渡矩陣，且為正交陣.則t時(shí)刻其在參考坐標(biāo)系內(nèi)相應(yīng)的四元數(shù)坐標(biāo)為

式中，操作符vec（·）表示取四元數(shù)的矢量數(shù)組.所以其微多普勒頻率可表示為

3 基于QMSVD的彈道目標(biāo)分類與識別

本文將目標(biāo)微多普勒時(shí)頻像視為彩色圖像，并采用四元數(shù)矩陣模型對其進(jìn)行描述.以四元數(shù)矩陣奇異值作為目標(biāo)的微多普勒特征，利用SVM分類器對目標(biāo)進(jìn)行分類識別.

3.1 基于QMSVD的微多普勒時(shí)頻像特征提取

假設(shè)已完成目標(biāo)回波的高速平動補(bǔ)償，對補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)進(jìn)行脈沖壓縮，再利用短時(shí)傅里葉變換得到目標(biāo)的彩色微多普勒二維時(shí)頻像.

1996年，Pei等首先提出將四元數(shù)模型應(yīng)用于彩色圖像［18］.一幅彩色圖像中每個(gè)像素都是由紅（R），綠（G），藍(lán)（B）這三種基本顏色按一定的比例組合而成的.這樣，我們就可以用一個(gè)純四元數(shù)

q（x，y）＝r（x，y）i＋g（x，y）j＋b（x，y）k（17）來表示彩色圖像的任一點(diǎn)（x，y）處的像素q（x，y），其中r（x，y），g（x，y）和b（x，y）分別表示圖像在（x，y）處的紅、綠、藍(lán)色的灰度值.因此，目標(biāo)的二維時(shí)頻像就可以表示為一個(gè)m×n的純四元數(shù)矩陣：

根據(jù)定理1，矩陣A的奇異值分解存在.文獻(xiàn)［19］已經(jīng)證明，奇異值向量具有穩(wěn)定性、旋轉(zhuǎn)不變性、平移和鏡像變換不變性等性質(zhì)，因而奇異值是一種比較理想的圖像分類特征量.奇異值計(jì)算步驟為：1）求出A的復(fù)表示矩陣Aσ；

2）求出復(fù)矩陣AσHA的特征值，λ1＝λ′1，λ2＝λ′2…，λr＝λ′r，λr＋1＝λ′r＋1＝…＝λn＝λ′n＝0；其中H為對矩陣的共軛轉(zhuǎn)置操作.

3）計(jì)算矩陣Aσ的奇異值，Σσ＝diag（σ1，σ2，…，σr，0，…，0，σ′1，σ′2，…，σ′r，0，…，0），其中σi＝λi，σ′i＝＝1，2，…，r；

4）構(gòu)造奇異值特征向量.A的奇異值為Σ＝diag（σ1，σ2，…，σr，0，…，0）.根據(jù)奇異值分解的去噪理論，當(dāng)圖像受到噪聲污染時(shí)，前p個(gè)較大的奇異值主要反映信號，較小的奇異值主要反映噪聲.因此，去除這部分反映噪聲的奇異值，就可以去除信號中噪聲的影響.取前p個(gè)較大奇異值的最大值為σmax＝max（σ1，σ2，…，σp），構(gòu)造歸一化特征向量

3.2 SVM分類器

SVM［20］是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解決小樣本、非線性及高維模式識別中表現(xiàn)出許多特有的優(yōu)勢.

SVM的思想可以概括為：通過非線性變換將輸入空間變換到一個(gè)高維空間，然后就這個(gè)新空間中求取最優(yōu)線性分類面.而這種非線性變換是通過定義適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)實(shí)現(xiàn)的，用核函數(shù)

代替最優(yōu)分類平面中的點(diǎn)積XTiXj，相當(dāng)于把原特征空間變換到了某一新的特征空間.高斯函數(shù)是常用的核函數(shù)之一，定義為

相應(yīng)的分類函數(shù)為

式中：Xn∈RM是已知類別的M維特征向量；yn∈｛1，－1｝是Xn的類別值；αn為Lagrange系數(shù)；Xk為支持向量；X為待分類特征向量.

4 計(jì)算機(jī)仿真與分析

仿真假設(shè)相控陣?yán)走_(dá)的工作頻率為5.5GHz，寬帶系統(tǒng)與窄帶系統(tǒng)交替工作，窄帶系統(tǒng)負(fù)責(zé)目標(biāo)跟蹤，寬帶信號用來對目標(biāo)分類和識別.彈道目標(biāo)質(zhì)心在雷達(dá)坐標(biāo)系內(nèi)的初始坐標(biāo)為（0，－100 000，－200 000），旋轉(zhuǎn)軸O′C的方位角和俯仰角分別為αc＝50°和βc＝60°，初始Euler角（φ，θ，ψ）＝（30°，40°，30°）.假設(shè)彈頭和誘餌的質(zhì)心位于z0＝－1.三個(gè)等效散射點(diǎn)在目標(biāo)本體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為P0（0，0，0.6），P1（0.3，0.4，－0.5）和P2（－0.3，－0.4，－0.5）.以上所有長度單位均為米.設(shè)彈頭自旋頻率fs＝4Hz，錐旋頻率fc＝2Hz，誘餌擺動頻率fw＝4Hz，擺動角度范圍θm＝10°.

圖3和圖4分別給出了寬帶脈沖重復(fù)頻率（Pulse Repetition Frequency，PRF）為1 024Hz，脈沖壓縮處理后信噪比7dB，目標(biāo)平動精確補(bǔ)償情況下，彈頭和誘餌的微多普勒時(shí)頻像.從其對應(yīng)的四元數(shù)矩陣奇異值中選取的特征向量如圖5所示.由圖可知，彈頭和誘餌所對應(yīng)的奇異值是明顯可分的.

4.1 信噪比對識別率的影響

雷達(dá)系統(tǒng)在實(shí)際工作中必須保證窄帶系統(tǒng)對多批目標(biāo)的跟蹤數(shù)據(jù)率，時(shí)間資源是有限的，一般分配給寬帶系統(tǒng)的時(shí)間資源相對較少.下面的仿真中取寬帶系統(tǒng)PRF為128Hz.這必將導(dǎo)致彈頭和誘餌的微多普勒頻率發(fā)生模糊，而且微多普勒像的分辨力會顯著降低.

為了保證仿真結(jié)果的普適性，首先將所有彈頭和誘餌的特征向量構(gòu)成隨機(jī)樣本集.然后采用產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法隨機(jī)抽取樣本的20%作為訓(xùn)練樣本對分類器進(jìn)行訓(xùn)練，將其余樣本作為測試樣本.運(yùn)用Monte Carlo實(shí)驗(yàn)方法，將分類實(shí)驗(yàn)進(jìn)行100次.

圖6給出了目標(biāo)平動速度補(bǔ)償誤差為零時(shí)，處理后信噪比與目標(biāo)識別率的關(guān)系曲線.由圖可知，當(dāng)處理后信噪比達(dá)到10dB左右時(shí)，基于QMSVD的目標(biāo)正確識別率可以接近100%，而基于Hu不變矩方法的正確識別率約為80%.相同信噪比下，基于Hu不變矩特征的目標(biāo)正確識別率總體上低于基于QMSVD的目標(biāo)識別率.

4.2 徑向速度補(bǔ)償誤差對識別率的影響

目標(biāo)徑向速度補(bǔ)償誤差會造成目標(biāo)微多普勒時(shí)頻像的平移、折疊和傾斜，從而影響目標(biāo)的分類識別.圖7給出了信噪比為10dB時(shí)，目標(biāo)徑向速度補(bǔ)償誤差與目標(biāo)正確識別率的關(guān)系曲線.可以看出，徑向速度補(bǔ)償誤差增大，會導(dǎo)致目標(biāo)正確識別率減小.比較可知，基于Hu不變矩方法的正確識別率更容易受到徑向速度補(bǔ)償誤差的影響.由圖可知，當(dāng)目標(biāo)徑向速度誤差小于1m時(shí)，基于QMSVD的目標(biāo)正確識別率可以達(dá)到90%以上.

4.3 雷達(dá)PRF對識別率的影響

假設(shè)一個(gè)相參處理間隔（Coherent Processing Interval，CPI）為1s，圖8給出了雷達(dá)PRF對目標(biāo)正確識別率的影響曲線.顯然，隨著PRF的增大，兩種方法的目標(biāo)正確識別率都隨之增大.這主要是由于PRF的增大，使雷達(dá)在一個(gè)CPI內(nèi)的積累脈沖數(shù)增加，信噪比也隨之增大，進(jìn)而提高了目標(biāo)的識別率.比較可知，隨著雷達(dá)PRF的增大，基于QMSVD方法的目標(biāo)正確識別率比Hu不變矩方法的目標(biāo)正確識別率上升更快.

5 結(jié) 論

一般情況下，由于目標(biāo)高速運(yùn)動、雷達(dá)工作狀態(tài)和外部環(huán)境的影響，很難準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)，精確補(bǔ)償目標(biāo)平動和提取準(zhǔn)確的目標(biāo)微動參數(shù)，這給目標(biāo)的分類識別帶來了困難.基于QMSVD的分類識別方法將目標(biāo)微多普勒時(shí)頻像看作彩色圖像，并利用四元數(shù)矩陣對彩色圖像進(jìn)行描述，計(jì)算四元數(shù)矩陣的奇異值，并選取較大的奇異值構(gòu)成目標(biāo)奇異值特征向量，作為目標(biāo)的微動特征，進(jìn)而采用支持向量機(jī)對目標(biāo)和誘餌進(jìn)行了分類識別.仿真結(jié)果表明，基于QMSVD的分類識別方法優(yōu)于基于Hu不變矩的分類識別方法.通過分析可知：提高處理后信噪比和雷達(dá)的PRF可以提高目標(biāo)的正確識別率；減小目標(biāo)徑向速度估計(jì)誤差，可以增大目標(biāo)的正確識別率.仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證了文中方法的有效性，為實(shí)際目標(biāo)識別提供了理論支持.

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Targets feature extraction and recognition based on singular values of quaternion matrix

SUN Yongjian1，2MU Heqiang1CHENG Zhen3FU Ying2
（1.Beijing Institute of Radio Measurement，Beijing100854，China；2.Air Force Early Warning Academy，Wuhan Hubei 430019，China；3.The Second Academy of China Aerospace Science and Industry Corporation，Beijing100854，China）

In midcourse，the micro-motion difference between warhead and decoy is an effective feature for target recognition.However，the parameter extraction of target micro-motion is generally constrained by the factors of target translation compensation precision，radar equipment operating state and environment which lead to the decline of target recognition rate.At first，the quaternion based micro-motion models of warhead and decoy are established in this paper.Then the target micro-Doppler time-frequency image is regarded as a color image and described by quaternion matrix.According to the stability and rotation invariance properties of singular value vector，the micro-Doppler feature extraction and classification method of ballistic targets is presented based on QMSVD and SVM.Simulation results show that the QMSVD based feature vector is more effec-tive than that of Hu moment based.To improve the SNR is benefit to improve the target recognition rate of classifier.With the increasing of the estimation error of target radial velocity，the target recognition rate of the classifier will decrease.Moreover，the target recognition rate will increase obviously along with the increasing of the radar PRF.

target recognition；feature extraction；micro-Doppler；Quaternion matrix；singular value decomposition

TN959.1

A

1005-0388（2015）01-0160-07

孫永健 （1976－），男，河北人，中國航天科工集團(tuán)二院研究生院博士研究生，空軍預(yù)警學(xué)院講師，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號處理和彈道目標(biāo)識別.

穆賀強(qiáng) （1967－），男，河北人，碩士，研究員，研究方向?yàn)樾盘柵c信息處理.

程 臻 （1961－），男，安徽人，博士，研究員，研究方向?yàn)樘炀€與微波技術(shù)、相控陣信號處理.

付 瑩 （1982－），女，湖北人，博士，工程師，研究方向?yàn)槔走_(dá)信號與數(shù)據(jù)處理、多傳感器數(shù)據(jù)融合.

孫永健，穆賀強(qiáng)，程 臻，等.基于四元數(shù)矩陣奇異值的目標(biāo)特征提取與識別［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2015，30（1）：160-166.

10.13443／j.cjors.2014010501

SUN Yongjian，MU Heqiang，CHENG Zhen，et al.Ballistic targets feature extraction and recognition based on QMSVD［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（1）：160-166.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014010501

2014-01-05

聯(lián)系人：孫永鍵E-mail：bmdsun＠126.com