張 曉 盼

(沈陽工業(yè)大學理學院數(shù)學系,遼寧 沈陽 110870)

四個頂點的1-正則圖

張 曉 盼

(沈陽工業(yè)大學理學院數(shù)學系,遼寧 沈陽 110870)

討論共軛類長素圖是不連通的n個頂點不完全正則圖時有限群結(jié)構問題，并給出當共軛類長素圖是4個頂點的1-正則圖時，利用GAP軟件得到所對應群的群結(jié)構和共軛類長集。

共軛類長素圖；正則圖；有限群

1 引 言

有限群理論無論從理論本身還是實際應用而言都占據(jù)著突出的地位[1]。在1994年G.Alfandary給出有限群G，則有：(1)共軛類長素圖的連通分支n(Γ*(G))最多是2。(2)如果n(Γ*(G))=2，則G為可解群[2]。1995年S.Dolfi得出,群G是有限群,如果共軛類長素圖Γ*(G)是連通的，則diam(Γ*(G))≤3;如果共軛類長素圖Γ*(G)是不連通的，則它的每一個連通分支都是完全圖[3]。觀察有限群的發(fā)展歷史可以知道,有限群的一些數(shù)量信息與其結(jié)構緊密相連。在有限群理論的研究中,關于群的共軛類長的素因子相關的一些算數(shù)特性與該群的性質(zhì)和結(jié)構具有什么樣的關系,一直都是群論研究中非常重要的課題[4]。共軛類元素的研究是探討群結(jié)構的一個十分有意義的方法。共軛類的長度及其素因子的相關算術量在有限群理論的研究中占有重要地位。本文從共軛類長的素因子入手，把共軛類長素因子與圖論結(jié)合起來，研究共軛類長素圖是兩個連通分支的1-正則圖，給出所對應群的群結(jié)構和共軛類長集特點。

2 基礎知識和主要引理

2.1 符號說明

以下規(guī)定：圖Γ*是由有限非空集合V及其二元子集E構成，其中V中元素稱為頂點，E中元素稱為邊;集合V和E分別稱為頂點集和邊集。u,v∈V，如果u和v在圖中有邊，就稱u和v在圖中是鄰接的;如果圖Γ*的任何2個不同的頂點都是鄰接的,則稱Γ*是完全的;如果Γ*包含一條u-v路，那么就稱u和v是連通的;如果對于Γ*中每對不同頂點u,v,Γ*都包含一條u-v路,那么Γ*為連通的;若Γ*的一個連通子圖不是Γ*的其他任何連通子圖的真子圖,則稱它為Γ*的一個連通分支,那么圖Γ*稱為不連通的;n(Γ*)表示類長素圖的連通分支。連通圖Γ*的所有頂點之間的最大距離稱為Γ*的直徑,記為diam(Γ*)[5]。

2.2 相關定義及引理

定義1[6]對于有限群G中任意的2個元素a,b,稱其在G中是共軛的,如果有另一元素g∈G,使得ag=b成立。這樣,就可以把群G中的元素按照共軛的關系劃分為k個都不相交的等價類,這個等價類叫共軛類。任一共軛類Ci中所包含元素的個數(shù)|Ci|叫做這個共軛類Ci的長度。

定義2 類長素圖Γ*(G)是滿足下面條件的無向圖:

(1)以ρ*(G)中的素數(shù)為頂點;

(2)如果2個頂點p和q之間有一條邊相連,當且僅當這2個素數(shù)的乘積pq整除Cl(G)中的某一元素b。

引理1[8]如果p、q是共軛類長素圖的兩個不相鄰的頂點，則群G要么是p-冪零群，要么是q-冪零群,NG(P)=CG(P)或者NG(Q)=CG(Q)其中p∈Sp(G)Q∈Sq(G)。

引理2[2]有限群G，則有(1)共軛類長素圖的連通分支n(Γ*(G))最多是2。(2)如果n(Γ*(G))=2，則G為可解群。(3)如果G是非交換的單群，則n(Γ*(G))=1;群G，如果共軛類長素圖Γ*是不連通的，當且僅當群G是擬-Frobenius群，有可交換的核和補。

引理3[9]可解群G，如果共軛類長素圖有兩個連通分支，而且n和N表示2個連通分支里2個素因子的階(n≤N)，則n≥2n-1。

引理4[10]如果p是一個給定的素數(shù)且整除每個(不等于1的)共軛類長度,那么CG(P)≤Z(G),此處P是G的Sylowp-子群。

下面將討論共軛類長素圖是非完全圖2個連通分支的正則圖情況。

3 主要結(jié)論

定理2 在2000階以內(nèi)，4個頂點的1-正則圖所對應的群的非中心共軛類長只有6和91，即群的共軛類長集為{1,6,91}。最小階為546階的群為(C91∶C3)∶C2，當階大于546時的群為Cn×((C91∶C3)∶C2)。而且這樣的圖對應的群結(jié)構是2-平衡的D-群。

證明 由定理1并結(jié)合GAP,按素因子個數(shù)分別驗證，得到以下群例：

SmallGroup(546,11),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):(C91∶C3)∶C2;

SmallGroup(1092,48),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C2×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(1638,39),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C3×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(2730,31),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C5×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(3276,187),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C6×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(3822,28),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C7×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(5460,128),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C10×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(6006,39),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C11×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(7098,44),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C13×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(30030,75),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C55×((C91∶C3)∶C2)

4 總 結(jié)

本文討論共軛類長素圖是不完全圖并且有兩個連通分支的正則圖所對應群結(jié)構，得到n個頂點不完全的正則圖的群結(jié)構并給出這樣的群是n/2-平衡的D-群，以及當共軛類長素圖是4個頂點2個連通分支的1-正則圖時的群結(jié)構和共軛類長集特點。

[1]張遠達.有限群構造(上冊)[M].北京：科學出版社，1982：20-93.

[2]Alfandary G.On graphs related to conjugacy classes of groups[J].Isreal J Math,1994,86:211-220.

[3]Dolfi S.Arithmetical conditions on the length of the conjugacy classes of a finite group[J].J Algebra,1995,174:753-771.

[4]Beltran A,Felipe M J.Corrigendum:Some class size conditions implying solvability of finite groups[J].J Group Theory,2011,14:783-784.

[5]范益政,汪毅.圖論導引[M].北京:人民郵電出版社,2007：1-75.

[6]徐明曜.有限群導引(上冊)[M].2版.北京:科學出版社,1999：60-130.

[7]Casolo C,Dolfi S.Groups whose prime graph on conjugacy class sizes has few complete vertices[J].J Algebra,2012,364:1-12.

[8]Ito N.On finite groups with given conjugate types I[J].Nagoya Math J,1953,6:17-28.

[9]Lewis M L.An overview of graphs associated with character degrees and conjugacy class sizes in finite groups[J].J Math,2008,38:175-211.

[10]Chillag D，Herzog M.On the length of the conjugacy classes of finite group[J].J Algebra 1990,131(01):110-125.

[責任編輯：鄭秀亮 英文編輯：劉彥哲]

1-Regular Graph of Four Vertices

ZHANG Xiao-pan

(Department of Mathematics,College of Sciences,Shenyang Industrial University,Shenyang,Liaoning 110870,China)

The structure problem of finite groups whose prime graph on conjugacy class sizes are disconnected and incomplete regular graph withnvertices is discussed.The paper gives the prime graph of conjugacy class sizes when it is 1-regular graph of four vertices,and GAP software is used to get the structure problem of finite groups and the set of elements of the conjugacy classes.

prime graph of conjugacy class sizes;regular graph;finite group

張曉盼(1989-)，女，河北邯鄲人，在讀碩士生，主要從事基礎數(shù)學，群論方向的研究。

O 152.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.06.001

來稿日期：2015-06-28