姚蜀軍，韓民曉，汪燕，萬磊

(1．華北電力大學(xué)，北京市102206;2．中國(guó)電力科學(xué)研究院，北京市100192)

0 引言

機(jī)電暫態(tài)仿真系統(tǒng)是分析電力系統(tǒng)穩(wěn)定的重要工具。隨著與直流輸電(high voltage direct current，HVDC)、柔性交流輸電(flexible AC transmission systems，F(xiàn)ACTS)、大規(guī)模新能源發(fā)電等相關(guān)的電力電子裝置和其他非線性元件廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)，這些元件引起的波形畸變及其快速暫態(tài)過程對(duì)系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)過程的影響越來越大，機(jī)電暫態(tài)仿真已不能滿足電力系統(tǒng)的仿真需求。與機(jī)電暫態(tài)仿真不同，基于詳細(xì)建模和小步長(zhǎng)的電磁暫態(tài)仿真在精確的電路層面上對(duì)系統(tǒng)元件進(jìn)行建模、分析，并計(jì)算得到各種暫態(tài)響應(yīng)的時(shí)域波形，可以體現(xiàn)系統(tǒng)的電磁暫態(tài)行為［1-3］。然而，電磁暫態(tài)過程的變化很快，仿真步長(zhǎng)一般選取μs級(jí)(50～100 μs)。由于所選取的步長(zhǎng)小，占據(jù)的內(nèi)存大，計(jì)算速度很慢，這使電磁暫態(tài)仿真程序的仿真規(guī)模受到了限制。為此，人們嘗試多種方法來提高電磁暫態(tài)的仿真速度，擴(kuò)大計(jì)算規(guī)模，這些方法可以分為以下幾類。

(1)實(shí)時(shí)仿真。針對(duì)應(yīng)用類型的不同，電磁暫態(tài)仿真可分為離線仿真和實(shí)時(shí)仿真。對(duì)于實(shí)時(shí)仿真，除了軟件技術(shù)外，還需要相關(guān)硬件裝置的配合。然而，考慮到經(jīng)濟(jì)性和硬件條件的限制，目前實(shí)時(shí)仿真器不能完全取代離線的仿真工具，并且仿真規(guī)模較小。

(2)改進(jìn)模型。文獻(xiàn)［4-7］基于信號(hào)調(diào)制理論，提出了動(dòng)態(tài)相量方法。該方法在信號(hào)的1個(gè)周期內(nèi)，得到信號(hào)的傅立葉系數(shù)，并基于不同頻次的傅立葉系數(shù)，通過Hilbert變換構(gòu)建不同頻次的動(dòng)態(tài)相量。此時(shí)的方程包含代數(shù)和微分2部分，可以體現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。然而，動(dòng)態(tài)相量法需要進(jìn)行傅立葉分解，使其本質(zhì)上不能用于瞬時(shí)信號(hào)，而是對(duì)信號(hào)的一種動(dòng)態(tài)平均處理。特別是在信號(hào)非線性的情況下，無法進(jìn)行傅立葉分解，其精度難以保證。例如，對(duì)于傳統(tǒng)晶閘管型的HVDC，當(dāng)不考慮換相失敗時(shí)，基于動(dòng)態(tài)相量的模型比較準(zhǔn)確，而當(dāng)出現(xiàn)換相失敗時(shí)，由于此時(shí)閥電流的無規(guī)律性，無法進(jìn)行動(dòng)態(tài)相量的準(zhǔn)確建模，因此，其換相失敗時(shí)的仿真精度很差。此外，對(duì)于基于IGBT的全控器件裝置，由于開關(guān)頻率很高，諧波次數(shù)也很高，需要同時(shí)建立與高次諧波對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)相量方程，因而會(huì)極大增加求解的方程數(shù)，同時(shí)由于高次諧波的頻率很高，并不能有效減小仿真步長(zhǎng)，因此，也不能有效減少仿真時(shí)間。文獻(xiàn)［8-11］提出了一種頻率偏移(shifted frequency analysis，SFA)的思想，通過對(duì)電力系統(tǒng)信號(hào)的頻率進(jìn)行偏移處理，將快變化變成慢變化，從而增大仿真步長(zhǎng)，但文中并沒有給出算例驗(yàn)證。

(3)混合仿真。利用電磁暫態(tài)和機(jī)電暫態(tài)的各自特點(diǎn)，文獻(xiàn)［11-17］提出了混合仿真［11-17］。但是，由于電磁暫態(tài)仿真采用三相瞬時(shí)值的電磁暫態(tài)模型，暫態(tài)過程中，包含大量諧波成分，而機(jī)電暫態(tài)仿真采用基波有效值的機(jī)電暫態(tài)模型，機(jī)電暫態(tài)部分無法對(duì)電磁暫態(tài)部分的不同頻率進(jìn)行響應(yīng)。為此，基于Prony方法等效和頻率相關(guān)網(wǎng)絡(luò)等值(frequency dependent network equivalent，F(xiàn)DNE)的電磁 － 機(jī)電暫態(tài)解耦混合仿真模型被提出。這類方法，通過辨識(shí)，得到交流網(wǎng)的頻率響應(yīng)等值模型，將其接入電磁暫態(tài)部分。然而，由于這類方法無法處理非線性元件，且系統(tǒng)規(guī)模越大，辨識(shí)越困難。

(4)并行與多速率。文獻(xiàn)［18-29］針對(duì)電磁暫態(tài)的快過程和機(jī)電暫態(tài)的慢過程，提出多速率的思想，對(duì)于需要詳細(xì)仿真的采用小步長(zhǎng)，對(duì)于不需要詳細(xì)仿真的采用大步長(zhǎng)。這些文獻(xiàn)中對(duì)于大步長(zhǎng)采取什么方法沒有提及，而不同的大步長(zhǎng)方法會(huì)極大影響仿真的精度、小步長(zhǎng)和大步長(zhǎng)間的接口方法和設(shè)計(jì)。

此外，并行也是一種提高計(jì)算速度的思路，目前，基于GPU的并行仿真，是最新的研究趨勢(shì)［15-19］。但是，由于GPU只能進(jìn)行細(xì)粒度的簡(jiǎn)單計(jì)算，特別是不能很好地處理稀疏矩陣或向量的計(jì)算，當(dāng)沒有一個(gè)高效的稀疏矩陣求解方法出現(xiàn)之前，還看不到其良好的應(yīng)用前景。

本文提出一種電磁暫態(tài)的快速仿真方法。與SFA構(gòu)造方法不同，本方法是基于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換的思想進(jìn)行推導(dǎo)的，通過旋轉(zhuǎn)變換降低信號(hào)的頻率，可以根據(jù)需要，靈活調(diào)節(jié)仿真步長(zhǎng)，從而加快仿真速度。實(shí)際上，基于該方法還可以實(shí)現(xiàn)一種多速率的混合方法，對(duì)含有電力電子裝置或人為設(shè)定的部分采用小步長(zhǎng)電磁暫態(tài)仿真，對(duì)于不需詳細(xì)了解的交流網(wǎng)部分采用本文的大步長(zhǎng)電磁暫態(tài)仿真。小步長(zhǎng)和大步長(zhǎng)間按一定的原則接口，可以方便地實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算。本文只給出大步長(zhǎng)快速仿真的原理及仿真驗(yàn)證，多速率混合仿真的方法將在后續(xù)文章中給出。

1 大步長(zhǎng)電磁暫態(tài)仿真方法的提出

電力系統(tǒng)時(shí)域數(shù)字仿真可以看作是對(duì)電力系統(tǒng)信號(hào)的采樣。根據(jù)Shannon采樣定理，采樣頻率應(yīng)該至少是原始信號(hào)頻率的2倍才能保證采樣不丟失原始信號(hào)的信息。電磁暫態(tài)數(shù)字仿真中，根據(jù)精度要求，與仿真步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的采樣頻率一般為原始信號(hào)的10倍［30］。顯然，如果能夠顯著降低原始信號(hào)的頻率，那么采樣頻率也會(huì)相應(yīng)減小，從而可以增大對(duì)應(yīng)的仿真步長(zhǎng)，加快仿真速度。

式(1)是常用的從αβo靜止坐標(biāo)系到dqo旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換，α、β、o是由三相信號(hào)構(gòu)造的。其變換結(jié)果，使αβ的工頻信號(hào)在三相對(duì)稱的情況下，變換成dq的直流信號(hào)。如果能在dqo旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下對(duì)這個(gè)直流信號(hào)進(jìn)行數(shù)字仿真，顯然可以設(shè)定較大的仿真步長(zhǎng)。

三相對(duì)稱時(shí)o軸實(shí)際和其他2個(gè)軸是解耦的，此時(shí)式(1)可以簡(jiǎn)化成式(2)，即

由電機(jī)學(xué)知識(shí)可知，三相不對(duì)稱時(shí)，靜止坐標(biāo)系下工頻變化的量在發(fā)電機(jī)中會(huì)感應(yīng)出不同頻率的量，這時(shí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下信號(hào)的頻率反而比靜止坐標(biāo)系下的工頻大得多，無法實(shí)現(xiàn)大步長(zhǎng)。

本文借鑒上述思想，通過構(gòu)造單相信號(hào)而不是三相信號(hào)的旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)信號(hào)頻率的降低，并且沒有上述的發(fā)電機(jī)問題，從而實(shí)現(xiàn)大步長(zhǎng)的仿真。

1.1 復(fù)數(shù)信號(hào)的旋轉(zhuǎn)變換

交流電網(wǎng)中，電壓、電流x(t)是以工頻為主導(dǎo)頻率的正弦窄帶信號(hào)，即

其相量形式為

如果幅值不滿足準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)條件，可用式(5)來描述:

式中A(t)表示信號(hào)的幅值包絡(luò)。

信號(hào)的相量形式相應(yīng)變?yōu)?/p>

在靜止坐標(biāo)系下，假設(shè)能夠從x(ω，t)構(gòu)造一個(gè)復(fù)數(shù)信號(hào):

可以通過下面的變換建立Xdq(t)與Zxy(ω，t)間的關(guān)系:

將式(8)按實(shí)部和虛部展開:

觀察Xdq(t)與Zxy(ω，t)，式(9)實(shí)現(xiàn)了與式(2)相同的從靜止坐標(biāo)系x－y到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d－q的旋轉(zhuǎn)變換，也即式(8)中e－jωt是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換。在d－q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，xd(t)=A(t)cosθ，xq(t)=A(t)cosθ，不再是直流信號(hào)，但是由于A(t)是x(t)的包絡(luò)，其頻率較低，可以采用大步長(zhǎng)。

當(dāng)系統(tǒng)的頻率存在波動(dòng)或偏差時(shí)，d－q坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)頻率ωr可以與信號(hào)頻率ω不同，設(shè):

對(duì)式(8)可做類似的旋轉(zhuǎn)變換:

按實(shí)部和虛部展開:

當(dāng)ω，ωr相差不大時(shí)，Δω是一個(gè)比較小的數(shù)，xd(ω，ωr，t)，xq(ω，ωr，t)是一個(gè)低頻變化的量，式(12)、(13)實(shí)現(xiàn)的是快變信號(hào)與慢變信號(hào)間的旋轉(zhuǎn)變換，仍然可以采用大步長(zhǎng)。

值得注意的是，這里的旋轉(zhuǎn)變換與式(1)、(2)的不同之處在于其是按單相進(jìn)行的，因此沒有Park變換中由于三相不對(duì)稱負(fù)序產(chǎn)生倍頻而影響仿真步長(zhǎng)大小的問題。

1.2 復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造

上述的變換實(shí)際是這樣一個(gè)過程:

因此，關(guān)鍵是如何從一個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)x(t)構(gòu)造出一個(gè)復(fù)數(shù)信號(hào)Zxy(t)。由于zx(ω，t)=x(t)，實(shí)際上就是如何構(gòu)造出正交的zy(ω，t)。交流電網(wǎng)中，電壓、電流即x(t)一般為正弦量，利用這一特點(diǎn)，可以有下面幾種方法。

(1)積分變換。由于微分變換會(huì)對(duì)高次諧波放大。根據(jù)電力系統(tǒng)信號(hào)的特點(diǎn)，也可以采用積分變換來構(gòu)造，即zy=ω∫zxdt。當(dāng)含有諧波時(shí)，設(shè)

則:

從式(15)中可看出，諧波次數(shù)在分母上，因此，高次諧波的存在不會(huì)影響zx(ω，t)與zy(ω，t)的正交性，且諧波次數(shù)對(duì)數(shù)值影響不大。正常情況下，交流網(wǎng)中的諧波比例很小，系統(tǒng)的主導(dǎo)頻率仍然是基波。因此，經(jīng)過基波變換后zy與zx是近似正交的。

(2)Hilbert變換。在動(dòng)態(tài)相量中用Hilbert變換來構(gòu)造zy(ω，t)。其特點(diǎn)是能在各頻次下保證實(shí)現(xiàn)zy與zx正交。但是由于Hilber變換是一個(gè)與原始信號(hào)的卷積，其計(jì)算量很大，影響了仿真速度。本文采用方法(1)來構(gòu)造單相的復(fù)數(shù)信號(hào)。

2 大步長(zhǎng)下基本元件的電磁暫態(tài)等值模型

可以用式(16)得到原信號(hào)x(t):

則電壓和電流的實(shí)際信號(hào)u(t)、i(t)可用d－q下的復(fù)數(shù)信號(hào)還原。為了簡(jiǎn)潔，不再給出頻率參數(shù)項(xiàng)，即:電磁暫態(tài)仿真中電力元件一般采用Dommel等值模型，下面推導(dǎo)d-q坐標(biāo)系下各元件的Dommel等值模型。

2.1 電阻模型

可見，在d-q坐標(biāo)系下，電阻的形式與靜止坐標(biāo)系下一致。

2.2 電感模型

設(shè)RL=2L/h，ZL=RL+jωrL，YL=1/RL+jωrL ，Z*L=RL－ jωrL則式(31)可記為

即

寫成Dommel的等值形式:

其中，iL．dq．his(t)=YLudq(t－ h)+表示歷史電流。

需要注意的是，以上變量都為復(fù)數(shù)。

2.3 電容模型

與電感類似:

寫成Dommel的等值形式:

其他設(shè)備如發(fā)電機(jī)、變壓器、傳輸線、電動(dòng)機(jī)等因?yàn)槠捱@里不一一推導(dǎo)。

3 電磁暫態(tài)仿真步長(zhǎng)的選取

上面元件的公式中，由于出現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)頻率ωr，隨著ωr的取值不同，可以實(shí)現(xiàn)仿真步長(zhǎng)的自適應(yīng)調(diào)整。當(dāng)需要詳細(xì)仿真時(shí)，取ωr=0，即不旋轉(zhuǎn)，仿真可以取小步長(zhǎng)，當(dāng)不需要詳細(xì)仿真時(shí)，取ωr為主導(dǎo)頻率50 Hz，變換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，可以取大步長(zhǎng)。此外，ωr如果取次同步振蕩的頻率，還可以用來進(jìn)行次同步振蕩的仿真分析。一般，對(duì)于含有電力電子器件的FACTS、HVDC等裝置時(shí)，由于其開關(guān)頻率高，仿真可以取小步長(zhǎng)，而對(duì)于常規(guī)的交流電網(wǎng)部分，其主導(dǎo)頻率為工頻，可以將旋轉(zhuǎn)頻率設(shè)為工頻，通過旋轉(zhuǎn)變換后，仿真可以取大步長(zhǎng)。

實(shí)際上，以此為基礎(chǔ)可以設(shè)計(jì)一種多速率的混合仿真方案。該方案中應(yīng)該充分考慮如下幾個(gè)因素:(1)如何方便地實(shí)現(xiàn)不同速率仿真的接口;(2)該接口是否易于實(shí)現(xiàn)不同速率仿真的并行計(jì)算;(3)采用何種高效的電網(wǎng)劃分和并行計(jì)算方法。限于篇幅，這些研究將在后續(xù)文章中給出。

4 算例

這里給出IEEE14的仿真算例，以驗(yàn)證本文提出的大步長(zhǎng)快速仿真的有效性，如圖1所示。為了簡(jiǎn)化程序，其中發(fā)電機(jī)目前用等值電壓源代替，線路用π型集中等值模型。

圖1 IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)圖Fig.1 IEEE 14 node system

圖2 是支路1－5首端電流的仿真結(jié)果。其中EMTDC表示的是采用PSCAD/EMTDC軟件的仿真結(jié)果。小步長(zhǎng)、大步長(zhǎng)是本文程序采用不同仿真步長(zhǎng)的結(jié)果。EMTDC的仿真步長(zhǎng)為100 μs，小步長(zhǎng)為100 μs，大步長(zhǎng)為5 ms。圖2(a)表示的是瞬時(shí)值，圖2(b)是為了比較精度，對(duì)圖2(a)的局部放大。從仿真結(jié)果可以看出，本文的仿真步長(zhǎng)可以靈活設(shè)置，精度與PSCAD/EMTDC的精度近似一致。

5 結(jié)語

本文基于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換的思想，提出了一種大步長(zhǎng)的快速電磁暫態(tài)仿真方法。仿真算例表明本方法具有可行性。由于目前的工作尚處于初始階段，發(fā)電機(jī)、傳輸線等模型的完善還需進(jìn)一步開展。此外，基于該方法還可以實(shí)現(xiàn)一種多速率的混合方法，對(duì)含有電力電子裝置或人為設(shè)定的部分采用小步長(zhǎng)電磁暫態(tài)仿真，對(duì)于不需詳細(xì)了解的交流網(wǎng)部分采用本文的大步長(zhǎng)電磁暫態(tài)仿真。小步長(zhǎng)和大步長(zhǎng)間按一定的原則接口，可以方便地實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算。這些工作留待后面繼續(xù)深入研究。

［1］李亞樓，穆清，安寧，等．直流電網(wǎng)模型和仿真的發(fā)展與挑戰(zhàn)［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2014，38(4):127-135．Li Yalou，Mu Qing，An Ning，et al．Development and challenge of modeling and simulation of DC grid［J］．Automation of Electric Power Systems，2014，38(4):127-135．

［2］王成山，李鵬，王立偉．電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真算法研究進(jìn)展［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2009，33(7):97-103．Wang Cheshang，Li Peng，Wang Liwei．progresses on algorithm of electromagnetic transient simulation for electric power system［J］．Automation of Electric Power Systems，2009，33(7):97-103

［3］湯涌．交直流電力系統(tǒng)多時(shí)間尺度全過程仿真和建模研究新進(jìn)展［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2009，33(16):1-8．Tang Yong．New progress in research on multi-time scale unified simulation and modeling for AC/DC power systems［J］．Power System Technology，2009，33(16):1-8

［4］黃勝利．時(shí)變動(dòng)態(tài)相量理論在電力系統(tǒng)分析中的應(yīng)用［D］．北京:中國(guó)電力科學(xué)研究院，2002．Huang Shengli．Application of time-varying dynamic phasor theory in analysis of electric power system［D］．Beijing:China Electric Power Research Institute，2002

［5］鄂志君．基于動(dòng)態(tài)相量理論的電力系統(tǒng)建模與仿真研究［D］．天津:天津大學(xué)，2008．Er Zhijun．Research on modelling and simulation of power system based on dynamic phasor［D］．Tianjin:Tianjing University，2008

［6］ Sebastian Henschel． Analysis of electromagnetic and electromechanical power system transients with dynamic phasors［D］．University ofBritish Columbia，City ofVancouver，Canada，1999．

［7］ Turhan，Simulation of power system dynamics using dynamic phasor models［D］．Swiss Federal institute ofTechnology，Zurich，Switzerland，2008．

［8］ Zhang P，Martí J R．Shifted-frequency analysis for EMTP simulation of power-system dynamics［J］．IEEE Transactionson on Circuits and Systems，2010，57(9):2564-2574．

［9］ Martí J R，Dommel H W，Bonatto B D，et al．Shifted frequency analysis(SFA)concepts for EMTP modelling and simulation of powersystem dynamics［C］//Power Systems Computation Conference(PSCC)，2014．IEEE，2014:1-8．

［10］Gao F，Strunz K．Frequency-adaptive power system modeling for multiscale simulation of transients［J］．IEEE Transactions on Power Systems，2009，24(2):561-571．

［11］Strunz K，Shintaku R， Gao F． Frequency-adaptive network modeling forintegrative simulation ofnaturaland envelope waveforms in power systems and circuits［J］．IEEE Transactions on Circuits andSystemsI:RegularPapers， 2006， 53(12):2788-2803．

［12］岳程燕，周孝信，李若梅．電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)實(shí)時(shí)仿真中并行算法的研究［J］．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2004，24(12):1-7．Yue Cheyan， Zhou Xiaoxing， Li Ruomei． Study of parallel approaches to power system electromagnetic transient real-time simulation［J］．Proceedings of the CSEE，2004，24(12):1-7．

［13］岳程燕．電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)與機(jī)電暫態(tài)混合實(shí)時(shí)仿真的研究［D］．北京:中國(guó)電力科學(xué)研究院，2004．Yue Chengyan．Study of power system electromagnetic transient and electromechanical transientreal-time hybrid simulation［D］．Beijing:China Electric Power Research Institute，2004．

［14］柳勇軍．電力系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)和電磁暫態(tài)混合仿真技術(shù)的研究［D］．北京:清華大學(xué)，2006．Liu Yongjun．Study on power system electromechanical transient and electromagnetic transient hybrid simulation［D］．Beijing:Tsinghua university，2006

［15］張怡．基于頻率相關(guān)網(wǎng)絡(luò)等值的機(jī)電電磁暫態(tài)混合仿真研究［D］．北京:清華大學(xué)，2012，Zhang Yi．Study on frequency dependent network equivalent based electromagnetic and electromechanical transient hybrid simulation［D］．Beijing:Tsinghua University，2012

［16］劉文焯，侯俊賢，湯涌，等．考慮不對(duì)稱故障的機(jī)電暫態(tài)–電磁暫態(tài)混合仿真方法［J］．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2010，30(13):8-15．Liu Wenzhuo， HouJunxian， Tang Yong． Electromechanical transient/electromagnetic transient hybrid simulation method onsidering asymmetric faults［J］．Proceedings of the CSEE，2010，30(13):8-15．

［17］張樹卿，童陸園，薛巍，等．基于數(shù)字計(jì)算機(jī)和RTDS的實(shí)時(shí)混合仿真［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2009，33(18):61-66．Zhang Shuqing，Tong Luyuan，Xu Wei，et al．Digital computer and RTDS based real-time hybrid simulation［J］．Automation of Electric Power Systems，2009，33(18):61-66

［18］王文舉．時(shí)域積分方程快速算法及并行計(jì)算的研究與應(yīng)用［D］．長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2009．Wang Wenjun．Study and application on fast algorithms of time domain integral equation and theirparallelalgorithms［D］．Changsha:National University of Defense Technology，2009．

［19］王路，李興源，羅凱明，等．交直流混聯(lián)系統(tǒng)的多速率混合仿真技術(shù)研究［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2005，29(15):23-27．Wang Lu，Li Xingyuan，Luo Kaiming，et al．Study on multirate hybrid simulation technology for AC/DC power system［J］．Power System Technology，2005，29(15):23-27．

［20］陳來軍，陳穎，許寅，等．基于GPU的電磁暫態(tài)仿真可行性研究［J］．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2013，41(2):107-112．Chen Laijun，Chen Ying，Xu Yin，et al．Feasibility study of GPU based electromagnetic transient simulation［J］．Power System Protection and Control，2013，41(2):107-112．

［21］許寅，陳穎，陳來軍，等．基于平均化理論的PWM變流器電磁暫態(tài)快速仿真方法:(一)PWM變流器分段平均模型的建立［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2013，37(11):58-64．Xu Yin，Chen Ying，Chen Laijun，et al．Fast electromagnetic transient simulation method for PWM converters based on averaging theory．Part one:Establishment of piecewise averaged model for PWM converters［J］．Automation of Electric Power Systems，2013，37(11):58-64．

［22］許寅，陳穎，陳來軍，等．基于平均化理論的PWM變流器電磁暫態(tài)快速仿真方法:(二)適用PWM變流器分段平均模型的改進(jìn) EMTP 算法［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2013，37(12):51-56．Xu Yin，Chen Ying，Chen Laijun，et al．Fast electromagnetic transient simulation method for PWM converters based on averaging theory．Part two:Improved EMTP algorithm suitable for piecewise averaged model of PWM converters［J］．Automation of Electric Power Systems，2013，37(12):51-56．

［23］高海翔，陳穎，于智同，等．基于平均化理論的PWM變流器電磁暫態(tài)快速仿真方法:(三)適用于圖像處理器的改進(jìn)EMTP并行仿真算法［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2014，38(6):43-48．Gao Haixiang，Chen Ying，Yu Zhitong，et al．Electromagnetic transient simulation method for PWM converters based on averaging theory．Part three:Improved EMTP parallel algorithm for graphic processing unit［J］．Automation of Electric Power Systems，2014，38(6):43-48．

［24］穆清，李亞樓，周孝信，等．基于傳輸線分網(wǎng)的并行多速率電磁暫態(tài)仿真算法［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2014，39(7):47-52．MuQing，LiYalou， ZhouXiaoxin，et al． A parallel multi-rate electromagnetic transient simulation algorithm based on network division through transmission line［J］．Automation of Electric Power Systems，2014，39(7):47-52．

［25］高毅，李繼平，王成山．基于變量自適應(yīng)分組的電力系統(tǒng)多速率仿真算法［J］．電力自動(dòng)化設(shè)備，2011，31(2):1-6，25．Gao Yi，Li Jiping，Wang Chengshan．Multi-rate method for power system simulation based on self-adaptive variable grouping［J］．Electric Power Automation Equipment，2011，31(2):1-6，25．

［26］Estep D，Ginting V，Tavener S．A Posteriori analysis of a multirate numerical method for ordinary differential equations［J］．Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2012(223):10-27．

［27］ Chen J，Crow M．A variable partitioning strategy for the multirate method in power systems［J］． IEEE Transactions on Power Systems，2008，23(2):58 －266．

［28］Plumier F，Geuzaine C，van Cutsem T．A multirate approach to combine electromagnetic transients and fundamental-frequency simulations［C］//10th InternationalPowerSystem Transients conference．2013．

［29］ Zhou Z．Parallel electromagnetic transient simulation of large-scale power systems on massive-threading hardware［D］．University of Alberta，Alberta，Canda，2012．

［30］ Watson N，Arrillaga J．Power systems electromagnetic transients simulation［M］．IET，2003．