鄭燕平　張曜光

近日筆者有幸參加了本市教研室組織的第二屆說題比賽，比賽分為三個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)參賽教師自擬一個試題，并就該題的原創(chuàng)度、解法、背景、教學價值、引申與拓展等形成word電子文本；第二環(huán)節(jié)：提交“說題”書面稿一式10份（允許在一輪基礎上有所修改，但不得換題，有修改的電子稿賽前重郵），就參賽教師自擬的試題，向評委解讀并簡要回答評委問題，時間每人15分鐘；第三環(huán)節(jié)：先從現場抽取題目，封閉準備40分鐘后，向評委解讀并簡要回答評委問題.通過比賽讓人受益匪淺，說課作為一種時髦的校本教研活動，對于教育觀念，教學方式的變革，對于教育理論的理解和掌握，對于教學的研究和反思無疑都是一種可取的有效途徑.

說題的理解

“問題是數學的心臟”，這是美國當代數學家哈爾斯的話.沒有好的問題就沒有異彩紛呈的數學，沒有好老師用好問題引領學生去學，就沒有數學課堂的精彩.教師教的“有效”要通過“好題”的深入淺出，落實于學生學的“有效”上.

教師說題不能停留在“從解題角度看說題”這種淺表的意義上.從建構主義的學習理論上對說題給三條淺說陋見：一是從建構主義知識觀的角度上看“說題”，你對題目所給出的答案不是該問題的最終答案，它必將隨著學生認識程度的深入而不斷變革、升華或改寫，進而在學生的頭腦中產生新的解釋和假說；二是從建構主義的學習觀角度上看“說題”，學習不是教師把知識簡單傳遞給學生的過程，而是學生自己建構知識的過程，這里有“被動”和“主動”的重大差異.即便是你用所謂的“好題”做傳輸帶，但你僅僅關注了自己的經驗，而忽略了學生的經驗，學生從你的傳輸帶上也沒啥東西可拿.因此，我們呈現的題目不應該是接力中的棒子，你的題目給的是“力”，學生接的是“力”，而非“接力棒”本身！三是從建構主義的教學觀上看“說題”，我們選擇的“好題”必須切中學生原有的知識經驗，刺激學生把原有的知識經驗作為新知識的生長點，進而形成新的知識經驗.說題說到點兒上，這個點兒是度，即貼近學生的“最近發(fā)展區(qū)”.“說題”的內核不是“拿嘴拿題來說”，而是“用心用題去教”.

命題的背景分析

近三年（2012-2014）浙江省高考理科數學的壓軸題都是考查函數與導數的綜合題，有非常明顯的特征：函數表達式都是純粹的三次函數，含參數含絕對值，重點考查分類討論與轉化化歸的思想.從2015年高考開始導數放入IB模塊內容，壓軸題怎么考？版本很多，以下的三種猜測可能性比較大：一、將圓錐曲線提到壓軸題上；二、走2004—2008年的老路，數列與不等式的綜合題“重出江湖”作為壓軸題；三、撇開導數依舊走函數路線.

以上三種猜測，本人還是比較傾向于第三種，因為函數是高中數學的主線，二次函數又是主線的核心，從近三年的壓軸題來看，很多時候導數也只是“跑龍?zhí)住钡?，只出現在三次函數的求導中之后就是二次函數的問題了，命題者完全可以不用三次函數直接用二次函數，或者也可以繼續(xù)用三次函數但不用導數，可以利用代數基本定理等工具將其轉化.二次函數問題是初中內容在高中的延伸，也是高中函數最重要的內容，試題變化多樣，如即使考導數，也很多化為二次，還有解析中也有化為二次的.下面是我編擬的題目：

題目已知a>0，b∈R，函數f（x）=4ax2-2bx-a+b.

（1）證明：當0≤x≤1時，（?。┖瘮礷（x）的最大值為|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f（x）≤1對任意x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

說題目立意

該題題干是含兩個參數的二次函數形式，第一問有兩小問，第一小問求二次函數在給定區(qū)間上的最大值，第二小問證明函數不等式.第二問是恒成立問題求參數的取值范圍，主要考查分類討論，數形結合，轉化化歸的思想方法；重在考查二次函數的最值討論，按定義分類去絕對值，構造函數證明不等式，線性規(guī)劃等高中數學核心知識要點.

說試題解法

（1）第一小題第一小問

（?。┙夥?因為a>0，b∈R，所以二次函數f（x）=4ax2-2bx-a+b開口向上，對稱軸為x=b4a，當b4a≤12即b≤2a時，f（x）max=f（1）=3a-b；

當b4a>12即b>2a時，f（x）max=f（0）=-a+b；

所以f（x）max=3a-b，b≤2a

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

解法2因為a>0，b∈R，所以二次函數f（x）=4ax2-2bx-a+b開口向上，f（x）max=max{f（0），f（1）}=max{-a+b，3a-b}=3a-b，b≤2a

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

歸納小結本題中二次函數在給定區(qū)間上的最值問題，二次函數的開口定，對稱軸不定，解法1按對稱軸與區(qū)間的中點分類討論，解法2按最大值肯定在區(qū)間端點取到的情形進行分類，此問只要審題清楚，條件a>0不疏忽，應該不難解決.

第一小題第二小問

（ⅱ）解法1按定義去絕對值：當b≤2a時，

令g（x）=f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2a，

（Ⅰ）當b≤0時，此時對稱軸x=b4a≤0，，g（x）min=g（0）=2a>0；

（Ⅱ）當00.

當b>2a時，

令F（x）=f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2b-2a.

（Ⅰ）當2a

F（x）min=g（b4a）=2b-2a-b24a=-14a[（b-4a）2-8a2]，因為2a0.

（Ⅱ）當b>4a時，此時對稱軸b4a>1，F（x）min=F（1）=2a>0.

綜上：f（x）+|2a-b|+a≥0.

解法2（ⅱ）當b≤2a時，

f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2a≥4ax2-4ax+2a=2a（2x2-2x+1）；

當b>2a時，

f（x）+|2a-b|+a=4ax2+2b（1-x）-2a≥4ax2+4a（1-x）-2a=2a（2x2-2x+1），令g（x）=2x2-2x+1=2（x-12）2+12>0，故f（x）+|2a-b|+a≥2a·g（x）≥0.

歸納小結解法1是按對稱軸與區(qū)間關系分類討論求二次函數的最小值，思路比較簡單，但分類比較麻煩，解法2是先通過放縮，轉化為同一個函數的判斷正負問題，過程比較簡單但放縮技巧有一定難度.無論是解法1還是解法2，解題中都體現了將不等式證明問題化歸為函數最值的化歸思想.由f（x）+|2a-b|+a≥0是否意味著f（x）的最小值是-|2a-b|-a，從證明過程看，-|2a-b|-a一定取不到.

第二小題：

（2）解法1由（?。┲?≤x≤1，f（x）max=|2a-b|+a，所以|2a-b|+a≤1.

若|2a-b|+a≤1，則由（ⅱ）知f（x）≥-（|2a-b|+a）≥-1.

所以-1≤f（x）≤1對任意0≤x≤1恒成立的充要條件是|2a-b|+a≤1，

a>0，即2a-b≥0，

3a-b≤1，

a>0，或2a-b<0，

b-a≤1，

a>0.（*）

在直角坐標系aOb中，（*）所表示的平面區(qū)域為如右圖所示的陰影部分三角形ABC內部，其中不包括線段BC，作一組平行直線a+b=t（t∈R），得-1

解法2由（1）知，當0≤x≤1時，|f（x）|≤|2a-b|+a，

所以|f（x）|≤1對任意0≤x≤1恒成立的充要條件是|2a-b|+a≤1

a>0，后續(xù)同上

歸納小結本小問的解決主要是建立在第（1）問的基礎之上，分析問題中注意線性規(guī)劃的數形結合思想，解題時要有“回頭看”的意識，對學生綜合能力的考查要求較高.

說數學思想方法

數學思想：分類討論（分類標準的選擇）、轉化與化歸（注意反思第一問對第二問的作用）、數形結合（注意挖掘線性規(guī)劃求范圍的數形結合思想）；

數學方法：二次函數最值的求解；構造函數證明不等式；恒成立問題的轉化；線性規(guī)劃求雙變量問題的范圍.

說試題背景來源

該試題的背景來源于2012年浙江省高考數學理科第22題：已知a>0，b∈R，函數f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1）證明：當0≤x≤1時，（ⅰ）函數f（x）的最大值為|2a-b|+a；（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f（x）≤1對任意x∈[-1，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

雖然本人只是將題干中的函數最高次的“3”改成了“2”，瞬間將三次函數問題變成了二次函數問題，不需要用到導數知識，此類二次函數問題實屬原創(chuàng)，網上找不到同類的問題，不僅直接就改變了試題所考查的內容，更重要的是提供了高三復習的壓軸題的一個方向，我們只要將某些三次函數試題進行適當改編就可以形成全新的函數試題，讓人耳目一新，在高三高考復習教學中有一定的指導意義.

說問題變式與拓展

對于一個試題的變式無外乎從這兩個方面入手，一是對題目的條件加以變式、二是對題目的結論加以變式.基于以上想法，我主要從以下幾個方面對試題加以變式.

問題變式1已知a>0，b∈R，函數f（x）=2ax2-2bx-a+2b，證明：當0≤x≤1時，函數f（x）的最大值為|a-b|+b.

變式意圖改變函數的表達式，說明此類問題有研究價值，有“生長點”.

問題變式2已知a>0，b∈R，函數f（x）=4ax2-2bx-a+b≥0對任意x∈[-1，1]恒成立，求a，b滿足的關系.

變式意圖其實函數f（x）=4ax2-2bx-a+b=4a（x-12）（x+12-b2a）恒過定點（12，0），所以2a=b.挖掘不變量是解題的重要突破口，也是解題的出發(fā)點.

問題變式3已知a>0，b∈R，函數f（x）=4ax2-2bx-a+b，若|f（x）|≤1對任意x∈[0，1]恒成立，求a2+b2的最大值.

變式意圖改變題目的待求結論并且少了第一問的鋪墊，試題難度立馬增加，說明難易度可“伸縮”，容易控制難易度.

問題變式4設二次函數f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個零點，求a2+b2的最小值.

問題變式5若函數f（x）=x2+2ax+b在（1，2）上有兩個不同的零點，求a+b的取值范圍.

變式意圖“恒成立”問題改為“存在性”問題.

問題拓展1（2014年浙江理6）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A.c≤3B.3

C.69

問題拓展2已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，的一個零點為x=1，另外兩個零點可分別作為一個橢圓和一個雙曲線的離心率，則a2+b2的取值范圍是.

問題拓展3函數f（x）=x3+ax2+bx+c，滿足f（-1）=-1，f（3）=3，則f（1）+f（1+22）=.

問題拓展4若有且只有一個正方形，其四個頂點都在曲線y=x3+ax上，求實數a的值及正方形的面積.

拓展意圖雖然表達式是三次函數但可以根據代數基本定理轉化為二次函數或一次函數的問題，當然也可以直接利用消元的思想來解決.

從“說課”到“說題”，不但不是退步，反而是最大的進步！一腳邁進課的最深處，入微了，沒有了“探”的束手束腳，直接進入了“究”的境界，因而，“說題”應該成為教師常態(tài)的“探究”活動.

“說題”之“說”，不是教師的“單口”，而是課堂上的“對口”甚至“群口”.我們引領學生對問題進行評價，這樣，我們教師就給學生引薦了更貼身的老師——問題，這就是“以題為師”的理念.

“教”的歸宿是“學”！課靠“教師教”來支撐，但課的生命是“學生學”的律動！“學會”是天、“會學”是地，對于教師而言，“教”的意義就是讓學生感悟——“立地”方可“頂天”！“有效教學”中的“有效”一定要通過學生學的“有效”來實現，也許，“好的問題”是兩個“有效”之間的最短距離.“說題”中的“題”要精選，這個“題”，應該是“一只產金蛋的母雞”，不要扼殺它！

作者簡介鄭燕平，1983年生，浙江省金華市婺城區(qū)白龍橋鎮(zhèn)人，中共黨員，中學一級教師.先后被評為校優(yōu)秀班主任，優(yōu)秀共產黨員，市、校先進工作者，曾在地、市級開設公開課、觀摩課.曾榮獲金華市首屆教師基本功比賽一等獎，金華市第二屆說題比賽一等獎，有多篇論文發(fā)表.