宮前長

教學(xué)要善于抓住審題、解題過程中的每一個環(huán)節(jié)，不要輕易放過如何一個“有價值”的思維機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生通過對比、分析，反復(fù)琢磨，積極尋找更多的思考視角，選擇合理的、恰當(dāng)?shù)慕忸}方案，為進(jìn)一步提高課堂教學(xué)效果、尋找更好的教與學(xué)的方式、方法提供詳實(shí)的資料.在學(xué)習(xí)了人教A版《數(shù)學(xué)》（必修五）的正弦定理、余弦定理等知識后，為了加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解及應(yīng)用能力的提高，筆者有意將某資料上的一道題作為例題.現(xiàn)就這道例題的審題、解題深層次的思維歷程進(jìn)行剖析，請各位同仁指導(dǎo)！

1問題提出

題目在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且cosA=13，若a=3，求bc的最大值.

設(shè)計(jì)意圖此題涉及三角形的一邊及對角的問題，自然需要考慮三角形的邊角關(guān)系——正弦定理、余弦定理，題目難度不大，屬于中檔題.目的想考查學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識的理解、領(lǐng)悟、以及能力方面的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，并想從學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)的解答過程，尤其是對過程中每一步的數(shù)學(xué)表示的考查了解學(xué)生的審題思路、思維發(fā)展等情況，能及時的針對對學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中對待數(shù)學(xué)的情感、態(tài)度、價值觀的生成進(jìn)行準(zhǔn)確的評價，喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛，讓學(xué)生從內(nèi)心里深處感到每一道數(shù)學(xué)題目的解答都能夠反映對數(shù)學(xué)認(rèn)識的方法面面，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)例題和數(shù)學(xué)思想方法的重視度.

2多元化審題思維剖析

對于數(shù)學(xué)問題，選擇好思考問題的角度，是解決問題的關(guān)鍵所在.思考問題的角度選擇合理、恰當(dāng)，就會容易形成解題思路和方法，也會得到優(yōu)化的解題方法順暢自如.深層次審題，必然會涉及到數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸等）的合理選擇和靈活應(yīng)用，才能夠形成“簡捷”的解題方案.下面從不同的視角進(jìn)行思考和剖析：

（1）從配方法的視角剖析

題目條件給出角A的余弦值及邊a，就想到余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，其中剛好隱含bc的結(jié)構(gòu)，采用配方法得到bc=94-94（b-c）2的形式，將bc的最大值問題轉(zhuǎn)化（b-c）2的最小值來處理，容易得到所求的最大值.

解法1若cosA=13，a=3，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得（3）2=b2+c2-2bc·13，配方、化簡得bc=94-94（b-c）2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，bc取得最大值94.

點(diǎn)評從解答過程看，側(cè)重于由角轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系（3）2=b2+c2-2bc·13，再配方轉(zhuǎn)化含（b-c）2的形式，處理的巧妙，很容易的找到了bc的最大值及取得最大值的條件是邊b=c，即為等腰三角形.

（2）從函數(shù)的視角剖析

由于題目中給出了對邊及對角的余弦值，要求bc的最大值，就想到用正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，將bc用已知條件表示出來，可以借用外接圓的半徑來處理，或側(cè)重于將邊轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系bc=a2sin2A·sinB·sinC來處理，在化簡過程中又用到了三角函數(shù)中的“兩角和與差公式”的變形式子的應(yīng)用，計(jì)算費(fèi)時耗力.

解法2若cosA=13，則sinA=223，又a=3，設(shè)△ABC外接圓的直徑為R，有2R=asinA=364，從而bc=4R2·sin2B·sin2C=278·（-12）[cos（B+C）-cos（B-C）]=2716[cosA+cos（B-C）]=2716[13+cos（B-C）]=916+2716cos（B-C）≤916+2716=94.即當(dāng)B=C時，bc的最大值為94.

解法3若cosA=13，a=3，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得bc=a2sin2A·sinB·sinC=278·sinB·sinC=278·（-12）[cos（B+C）-cos（B-C）]=2716[cosA+cos（B-C）]=2716[13+cos（B-C）]=916+2716cos（B-C）≤916+2716=94.即當(dāng)B=C時，bc的最大值94.

（3）從函數(shù)與不等式結(jié)合的視角剖析

根據(jù)題目條件，先想到余弦定理，由a2=b2+c2-2bccosA，恰好隱含bc的結(jié)構(gòu)，采用配方、分離的方法，由于受習(xí)慣的影響，得到了和解法1的配方結(jié)果不同的形成bc=-98+38（b+c）2，促使進(jìn)一步運(yùn)用正弦定理、輔助角公式進(jìn)行化簡，便求得bc的最大值94.

解法4若cosA=13，a=3，則sinA=223，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得（3）2=b2+c2-2bc·13，配方、化簡得bc=-98+38（b+c）2，由于-98<0，只有b+c取得最大值時，才能讓bc最大.由正弦定理asinA=bsinB=csinC得b+csinB+sinC=asinA，從而b+c=asinA（sinB+sinC）=asinA（sinB+sin（A+B））=3（2sinB+cosB）=3·3sin（B+φ），其中tanφ=22，當(dāng)sin（B+φ）=1時，b+c的最大值是3，故bc≤-98+38·9=94，即當(dāng)sin（B+φ）=1（其中tanφ=22）時（或角B=π2-arctan22），bc取得最大值94.

點(diǎn)評從解答過程看，和解法1一樣側(cè)重于由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系（3）2=b2+c2-2bc·13，也采用了配方、轉(zhuǎn)化成含（b+c）2的形式，給后續(xù)的化簡帶來了困難，采用正弦定理、輔助角公式等處理將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來進(jìn)行解決，需要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸的綜合能力.

（4）從重要不等式的視角剖析

依已知條件，側(cè)重于將角轉(zhuǎn)化為邊，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，化簡得（3）2=b2+c2-2bc·13，將b2+c2進(jìn)行了不等的一次放縮變換轉(zhuǎn)化，理由是（b-c）2≥0，化簡為b2+c2≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取“=”），問題一下子簡捷、明了，便輕易得到bc就取得最大值，這種方法是最簡捷的，但技術(shù)處理的要求卻比較高.

解法5若cosA=13，a=3，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，

得（3）2=b2+c2-2bc·13，又由b2+c2≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取“=”），化簡得3≥2bc-2bc·13，即bc≤94，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，bc取得最大值94.

綜上，我們將此題的理解及思路的形成，作了詳細(xì)的說明，將bc的最大值問題轉(zhuǎn)化為角度之間的關(guān)系、或轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系來處理的策略，方法有繁有簡.大家也看到了他們對待數(shù)學(xué)問題的審題思維、嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和解法處理方式，以及思考的視角范圍，主要涉及三角函數(shù)、不等式和函數(shù)領(lǐng)域.

3深層次審題，尋求解題優(yōu)化方案

3.1“三角問題”的幾何特征剖析

對題目的條件：已知對邊與對角，進(jìn)行動態(tài)的幾何圖形分析，利用圓弧的性質(zhì)，即在同圓中，同弧所對的圓周角相等.可以作△ABC的外接圓，記為⊙O，如圖1所示，三角形的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，由于cosA=13，表明角A的大小是定值且恰好是邊b、c的夾角，又知道a=3，bc的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，自然就會聯(lián)想到三角形的面積公式，S△ABC=12bcsinA，從而“bc的最大值”問題就轉(zhuǎn)化為：求“△ABC的面積的最大值”問題.根據(jù)圖1可知，三角形的邊BC是定值，當(dāng)頂點(diǎn)A在圓周上運(yùn)動到點(diǎn)D（BD=DC）時，S△ABC能取到最大值.從而形成下面的解法：

圖1圖2解法6根據(jù)題意，作△ABC的外接圓，記為⊙O，如圖1所示，三角形的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，若cosA=13，則sinA=223，由S△ABC=12bcsinA得S△ABC=12bc·223，即bc=322S△ABC，這說明只要找到S△ABC的最大值就是bc的最大值.根據(jù)圖1可知，△ABC的邊BC是定值，當(dāng)頂點(diǎn)A在圓周上運(yùn)動到點(diǎn)D（BD=DC）時，S△ABC能取到最大值.由圓弧的性質(zhì)可知∠D=∠A，如圖2，設(shè)∠D=2α，過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為E點(diǎn)，此時DE是滿足題意的BC邊上最大的高，∠EDC=α，DE=EC·cotα，又cosA=13，sinA=223，即得tanA=22，根據(jù)二倍角公式tan2α=22，解得tanα=22（tanα=-2舍去），從而cotα=2，DE=32·2=62，S△ABC的最大值=12a·DE=12·3·62=324，故bc的最大值=322·324=94.

點(diǎn)評在上述解法6中，用平面幾何作圖進(jìn)行解題，思路顯得簡單、明了.同時也說明bc取得最大值時的條件是題目所給的三角形是等腰三角形，即要求b=c，圖形的直觀分析很容易理解.但新教材對平面幾何的學(xué)習(xí)要求降低了，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的幾何作圖意識比較薄弱，因此教學(xué)中要重視選修系列中的平面幾何內(nèi)容.只有這樣，才能讓學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法得到深層次的理解.

3.2刻畫“三角問題”的向量取向思考

對題目的條件：已知對邊與對角，進(jìn)行向量層面的思考，發(fā)現(xiàn)有AB+BC+CA=0，從而有AB+CA=-BC，平方、化簡即可得到b2+c2-2bccosA=a2，余下的解答與前面的審題、解題方法一樣（略）.

點(diǎn)評對于向量視角的思考，給學(xué)生指出審題思維的思考方向和方法，拓寬了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思路，為各個數(shù)學(xué)模塊以及知識點(diǎn)的融會貫通做好了鋪墊.

3.3深刻反思解法4，探究取得最大值的條件

上述解法中，bc取得的最大值是在△ABC的邊b=c，或角B=C的條件下取得的.為什么唯獨(dú)解法4中沒有體現(xiàn)出來，只是找到了bc取得最大值時，此時sin（B+φ）=1（或者角B=π2-arctan22），這時能說明角B=C嗎？前面的解法表明△ABC的邊b=c，或角B=C，且有tanα=22所求得的α=arctan22，和A=2α，角A大小不變，只要計(jì)算出角C的大小，即計(jì)算C=π-B-A=π-π2+arctan22-2arctan22=π2-arctan22=B，即表明B=C.這充分顯現(xiàn)出此題的幾種求解過程中，每一種解法，均能夠求得bc的最大值及取得最大值時角B、C的關(guān)系，消除了學(xué)生的疑惑.

4教學(xué)感悟

審題、解題的審視是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn).新課標(biāo)教學(xué)提倡自然、探究和自主學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)主體的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建歷程，通過觀察、分析和探究追求數(shù)學(xué)思維的升華.

4.1追求數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)

審題、解題教學(xué)要從學(xué)生已有的知識出發(fā)，展開對題目條件和目標(biāo)的深層次剖析，拓展學(xué)生思考問題的視角和多元思維取向，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣，不斷地、自然地逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)知識的理解和靈活應(yīng)用.

本文是從一道例題談解題教學(xué)中審題、解題思維深層次的剖析，主要是想追尋例題所蘊(yùn)藏的本意（數(shù)學(xué)知識點(diǎn)、思想和方法），通過多視角、多方位的思考，點(diǎn)燃學(xué)生的數(shù)學(xué)思維火花，逐步地探究題目中的“寶藏”，達(dá)到對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解和掌握.

4.2追求數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和方法是數(shù)學(xué)發(fā)展的根本.重視數(shù)學(xué)基本概念蘊(yùn)含的開發(fā)價值，重點(diǎn)要做到充分挖掘數(shù)學(xué)基本概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法的教育價值，讓學(xué)生養(yǎng)成“不斷回到概念中去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題”的思維習(xí)慣，并要加強(qiáng)概念之間的聯(lián)系導(dǎo)引，努力從數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路、新方法，展現(xiàn)這些新思路、新方法是來源于數(shù)學(xué)的基本概念、基本方法之中，并非來自于“題型——技巧”.

43凸顯數(shù)學(xué)操作，強(qiáng)化解題價值

解題教學(xué)遵循最近發(fā)展區(qū)理論，結(jié)合學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思維活動以及對思考結(jié)果的驗(yàn)證，讓學(xué)生在解題探究活動中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)各種等價轉(zhuǎn)化表征的魅力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理論證能力和運(yùn)算能力，讓數(shù)學(xué)課堂的靈魂即數(shù)學(xué)思維活動真正得到提升，讓數(shù)學(xué)思維的深度、交匯顯示出課堂的靈氣和活力，幫助學(xué)生經(jīng)歷解決問題、掌握問題的思路和操作方法的過程，形成主動探索、積極思考，強(qiáng)化解題價值取向，拓展思維的寬度和深度，構(gòu)建解題模型，養(yǎng)成研究性的學(xué)習(xí)習(xí)慣，

總之，數(shù)學(xué)概念高度凝聚著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)地認(rèn)識事物的思想精華，是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶，蘊(yùn)含著最豐富的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育素材，說明數(shù)學(xué)是用概念來思維的.數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解、探索是教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)思維方法，從中分析學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、理解和深層次的剖析以及審視，通過自身的觀察、歸納與類比、猜想與論證等思維活動，研究學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使數(shù)學(xué)教學(xué)真正回歸自然、回歸本真.