劉敬 羅建文 清華大學(xué) 醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系 （北京 100084）

0.背景

經(jīng)典的香農(nóng)-奈奎斯特采樣定理認為，為了不失真的重建模擬信號，采樣頻率不能小于信號最高頻率的兩倍。由于只用到了信號最高頻率這一先驗信息，經(jīng)典采樣定理得到的信號有較大的冗余，導(dǎo)致采樣信號數(shù)據(jù)量很大，不方便存儲和傳輸?，F(xiàn)有的數(shù)據(jù)壓縮方法如有損壓縮通過對采樣信號進行正交變換，量化等操作，能極大的去除信號冗余，最后達到降低數(shù)據(jù)量的目的。先對信號高速采樣，然后進行數(shù)據(jù)壓縮，最后在接收端解碼的數(shù)據(jù)獲取模式已得到廣泛應(yīng)用。但這一模式最大的弊端是數(shù)據(jù)的浪費：高速采樣得到的信號都被數(shù)據(jù)壓縮大量丟棄了。

既然最后要丟棄這一部分數(shù)據(jù)，為什么開始要采集下來呢？為了解決這一矛盾，Donoho 等人提出了一種在數(shù)據(jù)采集階段就實現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮的信號采樣和重建方法即壓縮感知[1]。壓縮感知理論指出，若一個信號是稀疏的或可壓縮的，那么利用其少量投影數(shù)據(jù)，信號即可被高概率重建。根據(jù)這一特點，壓縮感知已成功應(yīng)用于磁共振成像，大大降低成像速度[2]。最近，壓縮感知也開始應(yīng)用于醫(yī)學(xué)超聲成像領(lǐng)域，根據(jù)應(yīng)用特點，學(xué)者從不同角度建立了基于壓縮感知的醫(yī)學(xué)超聲成像模型。這些研究主要集中在超聲信號的壓縮采樣和超聲逆散射問題的求解。除了基本的超聲成像，壓縮感知在超聲CT，超聲多普勒成像和光聲成像中也有應(yīng)用。

1.壓縮感知

如何從y 中重建出x 是壓縮感知研究的另一個問題。y 中元素的個數(shù)小于x，上述方程是欠定的，若沒有其他條件，該方程將有無窮多個解，即不能從y 中重建出唯一的x。壓縮感知理論指出，若x 是稀疏的或在某個變換域是稀疏的，那么該重建是可能的。信號的稀疏性可以表示如下：

將公式（2）帶入（1），可以得到：

2.壓縮感知在超聲成像中的應(yīng)用

醫(yī)學(xué)超聲圖像的形成一般是：先控制各陣元發(fā)射多個不同的超聲波束，然后對探頭接收到的通道數(shù)據(jù)進行波束合成，最后進行包絡(luò)提取和對數(shù)壓縮等操作。由于超聲圖像重建的過程中信號種類多樣，為了將壓縮感知應(yīng)用于超聲成像，對什么信號進行壓縮采樣以及如何進行壓縮采樣是研究者們關(guān)心的問題。除了傳統(tǒng)的延時疊加波束合成算法，超聲逆散射問題的求解是另一種重建超聲圖像的方法。壓縮感知理論的提出也為這一領(lǐng)域注入了新的活力。

2.1 超聲信號的壓縮采樣

由上述超聲圖像的形成過程可知，超聲信號在不同階段的表現(xiàn)形式是不同的。最原始的超聲信號也叫通道信號或后向散射信號。直接由接在陣元上的通道獲得，數(shù)據(jù)量大；經(jīng)過波束合成后的信號相比通道數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量大大減少；經(jīng)過包絡(luò)提取和對數(shù)壓縮后的信號則是構(gòu)成圖像的各個像素。這些信號均可進行壓縮采樣，而前端通道數(shù)據(jù)的壓縮采樣更有意義，研究的也較多。

圖1. 超聲通道數(shù)據(jù)的采集和重建流程

圖2. 不同稀疏基的重建誤差隨降采率的變化

圖3. Xampling 采樣策略對心臟圖像的重建

另外，超聲信號從信號變化快慢的角度又可分為快變時間域信號（fast-time signal）和慢變時間域信號（slow-time signal）?？熳儠r間域信號是沿深度方向的信號，慢變時間域信號是沿超聲發(fā)射波束重復(fù)方向的信號。直觀上，快變時間域信號的壓縮采樣能降低數(shù)據(jù)量，慢變時間域信號的壓縮采樣不僅能降低數(shù)據(jù)量，還能縮短整個數(shù)據(jù)采集的時間。下面主要介紹這兩類信號的壓縮采樣。

2.1.1 沿快變時間域的壓縮采樣

將壓縮采樣直接應(yīng)用到通道數(shù)據(jù)上，Liebgott等人研究了不同稀疏基對通道數(shù)據(jù)重建效果[4]。通道數(shù)據(jù)的采集和重建流程如圖1 所示。在該模型中，原始信號x 是通道信號，測量信號y 是x的隨機抽樣，即測量矩陣中每一行隨機某一列為1，其他位置為0。壓縮采樣到測量信號后，通過凸優(yōu)化算法恢復(fù)出原始信號的稀疏表達，然后通過稀疏反變換即可重建出原始通道信號。不同稀疏基對通道信號的重建誤差隨降采率的變化如圖2 所示。從該圖可以看出，降采倍數(shù)越高，重建效果越差。當選取波原子構(gòu)造稀疏基時，重建效果最好，當丟棄80%的數(shù)據(jù)時，仍保持良好的重建效果，其次是傅里葉基，小波基最差。造成這種現(xiàn)象的原因是通道信號x 在波原子域的稀疏性最好。

上述采樣是對通道信號的隨機抽樣。抽樣是線性測量的一個特例，也更容易從模擬信號中得到。但隨機抽樣過程限制了測量矩陣的隨機性。如何從模擬信號得到更通用的線性測量是模擬/信息轉(zhuǎn)換的內(nèi)容。Eldar 等人根據(jù)超聲通道數(shù)據(jù)滿足有限新息率（Finite Rate of Innovation, FRI）的特點，成功的將模擬/信息轉(zhuǎn)換策略——Xampling 應(yīng)用于超聲通道數(shù)據(jù)的壓縮采樣和圖像重建[5～7]。圖3 是在實際機器上得到的結(jié)果。圖3 (a)是正常奈奎斯特采樣的結(jié)果，(b)和(c)是不同Xampling 采樣測量下的結(jié)果，降采倍數(shù)分別為8倍和7 倍。關(guān)于Xampling 的更多內(nèi)容可以參看[8,9]。

2.1.2 沿慢變時間域的壓縮采樣

沿慢變時間域的信號本身是離散的，所以其壓縮采樣不涉及復(fù)雜的模擬/信息轉(zhuǎn)換。關(guān)鍵問題是如何進行壓縮采樣和重建。Quinsac 等人設(shè)計一系列對超聲圖像的空間采樣策略，其中一種是對空間掃描線進行隨機抽樣[10,11]。超聲圖像的形成通常是通過對空掃描線的逐條掃描得到，這種對空間掃描線的隨機抽樣便實現(xiàn)了在慢變時間域的壓縮采樣。由于空間掃描線的隨機抽樣使得測量矩陣隨機性不高，可能導(dǎo)致重建效果不好。為了解決這一問題，Quinsac 等人在重建時選擇重建k 空間信號。這時，隨機抽樣得到的空間掃描線是k 空間信號的線性組合，從而提高重建效果?？臻g不同方向上的隨機抽樣重建結(jié)果如圖4 所示。圖(a)是不做隨機抽樣的結(jié)果，圖(b)是在空間兩個方向均做隨機抽樣的結(jié)果，圖(c)和(d)分別是沿橫向和縱向做隨機抽樣的結(jié)果。沿橫向的隨機抽樣即是對空間掃描線的隨機抽樣，從圖中可以看出，空間掃描線的隨機抽樣結(jié)果不如其他兩種隨機抽樣。這是因為信號在橫向的冗余度低比縱向低。對于冗余度更高的三維圖像，這種采樣策略更能發(fā)揮作用，從而提高三維超聲成像的成像幀率[12]。

為了得到較好的重建效果，上述工作是在空間隨機抽樣，頻域重建信號。清華大學(xué)的研究團隊通過線性聲場理論，證明了一次發(fā)射得到的平面波數(shù)據(jù)[13]是合成發(fā)射孔徑(synthetic transmit aperture, STA)[14]得到數(shù)據(jù)的線性組合，提出基于壓縮感知的合成發(fā)射孔徑 (compressed sensing based synthetic transmit aperture, CS-STA)，從而通過改變發(fā)射方式實現(xiàn)了慢時間域的壓縮采樣[15,16]。該方法的壓縮采樣和重建均是在空域進行。由于該模式重建的是合成發(fā)射孔徑圖像，所以其保留了合成發(fā)射孔徑高分辨率的特點。另外CS-STA每次發(fā)射所有陣元都被激活，所以相比傳統(tǒng)合成發(fā)射孔徑，它具有更高的對比度。圖5 是該模式下的重建結(jié)果。其中Focused 是傳統(tǒng)聚焦模式，它和合成發(fā)射孔徑的成像幀頻均為100Hz，CS64-STA 和CS32-STA 的成像幀頻分別為200Hz 和400Hz。從圖中結(jié)果來看，基于壓縮感知的合成發(fā)射孔徑不僅能提高幀頻，還能保持高的空間分辨率和對比度。

圖4. 不同空間采樣策略的重建結(jié)果

圖5. 基于壓縮感知的合成發(fā)射孔徑重建結(jié)果

2.2 超聲逆散射問題

目前主流的超聲成像是借助于陣元接收的后向散射信號。通過對后向散射信號進行延時疊加的波束合成算法即可確定待成像目標的位置及散射系數(shù)，從而形成超聲圖像。波束合成算法應(yīng)用到了三個主要假設(shè)：聲速在成像區(qū)域是固定且確定的，超聲波束近似于射線直線傳播以及傳播過程沒有多次散射[17]。因此，超聲圖像通常會有散斑、陰影、重影等偽像，嚴重影響圖像質(zhì)量。超聲逆散射問題通過聲場特性求解成像目標的聲速、密度和吸收度等本質(zhì)參數(shù)，從而提高圖像質(zhì)量。超聲逆散射問題的求解應(yīng)用比較成功的是超聲CT (ultrasound computed tomography)。超聲CT的采集方式和CT 類似，陣列也是環(huán)形陣列。借助于壓縮感知，超聲逆散射問題的求解也開始直接借助于非環(huán)形陣列。利用平面波一次發(fā)射接收到的后向散射信號，學(xué)者已在時域和頻域建立了不同的求解模型。

2.2.1 頻域模型

圖6. 超聲逆散射的頻域求解

圖7. SRBF 對仿真囊腫成像結(jié)果

圖8. SRBF 對仿真點目標的成像結(jié)果

假設(shè)成像目標的壓縮率是稀疏的即稀疏基是單位矩陣，Schiffner 等人建立了壓縮率與平面波回波信號的采樣關(guān)系，其測量矩陣是根據(jù)波動方程在頻域求取的格林函數(shù)。利用壓縮感知算法即可重建出成像目標的壓縮率[18]。只考慮壓縮率這一成像參數(shù)可能會降低成像質(zhì)量，多個成像參數(shù)的情況可以參見[19,20]，相關(guān)結(jié)果如圖6 所示，圖(a)和(b)分別是11 次發(fā)射的延時疊加算法和最小方差（minimum variance，MV）算法，圖（c）和（d）是2 次發(fā)射的壓縮感知逆散射算法。從該圖可以看出，基于壓縮感知的超聲逆散射求解不僅發(fā)射次數(shù)少，對甲狀腺的成像效果也更好。這一模型中測量矩陣通常非常大（180G 或450G），不能在通用計算機上實現(xiàn)，所以他們將其配置在圖形處理器上（graphics processing unit，GPU）。同一小組還研究了快速多級算法（fast multipole method，F(xiàn)MM）對降低測量矩陣存儲空間的能力[21]。

上述測量矩陣的確立是通過波動方程得到，借助超聲系統(tǒng)的空間脈沖回波響應(yīng)，Shen 等人在頻域建立了成像目標的散射系數(shù)與平面波超聲回波信號的采樣關(guān)系[22]，利用壓縮感知重建出成像目標的散射稀疏。該方法稱為自適應(yīng)稀疏表達波束合成（adaptive sparse representation beamformer, SRBF）如圖7，8 所示，該方法得到的超聲圖像具有高的對比度和空間分辨率。

2.2.2 時域模型

除了頻域求解，也可在時域構(gòu)造散射系數(shù)與平面波超聲回波信號的采樣關(guān)系，利用壓縮感知算法逆向求解散射系數(shù)[23～25]。雖然它們均是在時域求解，但不同的是測量矩陣的構(gòu)造。根據(jù)延時構(gòu)造的測量矩陣，由于矩陣中大量元素為0，所以方便存儲[23]。利用超聲系統(tǒng)的空間脈沖回波響應(yīng)構(gòu)造的測量矩陣數(shù)據(jù)量較大[25]，分布式壓縮感知算法能適當降低數(shù)據(jù)量[24]。時域模型的求解也能表現(xiàn)高的空間分辨率和對比度，如圖9 所示。

2.3 其他

除了上述基本超聲成像，壓縮感知在超聲成像上還有很多其他的應(yīng)用，如超聲CT[26]，光聲成像[27,28]和超聲多普勒成像[29～31]。

2.4 展望

壓縮感知在超聲成像上的應(yīng)用剛剛起步，目前研究的廣度和深度都還遠遠不夠。盡管目前的這些應(yīng)用都良好地繼承了壓縮感知先天的優(yōu)勢，給超聲成像這一領(lǐng)域帶來新的機遇，但機遇與挑戰(zhàn)并存，壓縮感知是否能良好地移植到超聲成像領(lǐng)域還需要更多的研究。

2.4.1 前景

壓縮感知在超聲上的應(yīng)用前景主要表現(xiàn)在：（1）能夠極大地降低原始信號的數(shù)據(jù)量（7～8 倍的降采），這對小型化超聲系統(tǒng)如便攜式和手持式超聲系統(tǒng)非常有幫助。（2）在慢時間域的壓縮采樣和超聲逆散射應(yīng)用均能降低超聲波發(fā)射次數(shù)，提高成像幀率。特別是超聲逆散射應(yīng)用，一次平面波發(fā)射即能重建高質(zhì)量的超聲圖像從而實現(xiàn)超快速成像。高幀頻的特點能極大地提高三維超聲成像的實時性、剪切波彈性成像和心肌彈性成像的圖像質(zhì)量。

2.4.2 挑戰(zhàn)

圖9. 時域模型求解結(jié)果

上述應(yīng)用前景能否實現(xiàn)主要存在如下挑戰(zhàn)：（1）盡管應(yīng)用模擬/信息轉(zhuǎn)換的采樣策略能在采樣階段即實現(xiàn)數(shù)據(jù)的壓縮，但信號的重建相比傳統(tǒng)的延時疊加算法更加復(fù)雜。如何降低信號重建過程的功耗又保持重建效果是壓縮感知應(yīng)用到實際小型化超聲系統(tǒng)中的挑戰(zhàn)，這就要求有更加效率的重建算法。（2）前述兩種慢時間域的壓縮采樣雖然都能提高成像幀率，但也都面臨不同的缺點。由于慢時間域信號冗余度低，直接空間掃描線的隨機抽樣使得重建效果差。基于壓縮感知的合成孔徑成像的圖像重建是需要對各個接收通道和采樣點重復(fù)重建過程，這使得整個重建過程非常耗時。（3）超聲逆散射成像中，測量矩陣的通常很大。值得注意的是，這一問題已被時域模型的稀疏測量矩陣解決。但超聲逆散射成像需要接受在體實驗的檢驗。另外，因為超聲逆散射圖像的散斑特性和傳統(tǒng)成像不一樣，所以需要改變醫(yī)生的看圖習(xí)慣。

致謝：本文得到青年千人計劃、國家自然科學(xué)基金優(yōu)秀青年科學(xué)基金項目（61322101）及面上項目（61271131、81471665）資助。

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文獻[10]～[31]略。