李祥宇，宋藝旋，呂 晨，袁宏俊

(安徽財經(jīng)大學(xué)1.會計學(xué)院;2.統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠233030)

0 引 言

由于月球上沒有大氣，嫦娥三號無法依靠降落傘著陸，只能靠姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機和主減速發(fā)動機，才能完成中途修正、近月制動、動力下降、懸停段等軟著陸任務(wù)，本文對嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略進行初步研究，運用模糊C 均值聚類的方法交叉確定出粗避障和精避障的優(yōu)選著陸區(qū)，并對結(jié)果進行了初步檢驗.同時結(jié)合動力學(xué)和運籌學(xué)的知識建立模型對燃料和時間的耗用進行計算和優(yōu)化.此外還對關(guān)鍵指標(biāo)進行敏感性分析(詳見2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A 題［8］).

1 確定著陸器所需開普勒軌道兩個關(guān)鍵點的參數(shù)

1.1 建模分析

首先通過研究嫦娥三號探測器軟著陸的過程，了解其大致的飛行軌跡.接著根據(jù)開普勒第二定律以及機械能守恒定律求出近月點以及遠月點的速度，我們假設(shè)著陸軌道與環(huán)繞軌道經(jīng)度相同，最后由牛頓第二定律建立平面月球二維動力學(xué)模型，計算出近地點的緯度，最終確定近地點與遠地點的位置與運行方向.

1.2 模型的建立與求解

模型一:開普勒軌道動力學(xué)模型

在此開普勒軌道上不考慮燃料消耗等重量影響因素，所以探測器的機械能守恒，結(jié)合開普勒第二定律，可以得到如下公式:

式中:v1為近月點的速度;v2為遠月點的速度;r1，r2分別是開普勒軌道近月點與遠月點到月球中心的距離.

由附件1 可知，月球赤道平均半徑r0=1737.646km，近月點到月球中心的距離r1=15km+r0;同理，遠月點到月球中心的距離r2=100km+r0，帶入(1)式可求出:v1=1.7047×103m/s，v2=1.6347×103m/s.

模型二:著陸準(zhǔn)備軌道微分方程模型［1］

為了確定近地點及遠地點的具體位置，根據(jù)牛頓第二定律可知:

令Gm1m2=μ，化簡得到探測器運動的方程組:

根據(jù)探測器運行軌道面與月球赤道平面夾角為90°的假設(shè)［3］，我們可以知道環(huán)月圓軌道與橢圓軌道在同一平面上，經(jīng)度都為19.51°，以月球圓心為原點，南北極方向為軸，垂直南北極方向為軸建立著陸準(zhǔn)備軌道與環(huán)繞軌道所在平面的極坐標(biāo)系，見圖1(單位:米):

圖1 軌道和月球切面極坐標(biāo)系

圖2 月球平面直角坐標(biāo)系

當(dāng)近月點在A 點時，該點的緯度為θ0，而當(dāng)近月點在B 點時，該點的緯度為θ0=180°－α.因此(4)式滿足初值條件則該極坐標(biāo)系下的近月點坐標(biāo)為(1752.646，α)，遠月點的坐標(biāo)為(1837.646，α－180°).

2 確定軟著陸六個階段的最優(yōu)控制策略

2.1 建模分析

對軌道著陸過程6 個階段分別進行分析，以燃料消耗最少為最優(yōu)控制條件對各階段軌道進行設(shè)計控制.由于主減速段、粗避障段及精避障段三個階段對嫦娥三號的成功著陸起著至關(guān)重要的作用，因此對著三個階段進行主要分析;在形成大致軌道的基礎(chǔ)上滿足著落準(zhǔn)備軌道、快速調(diào)整、緩速下降三個階段所要求的控制條件，通過分別建立模型，采用定性和定量相結(jié)合的方法，最終得出6 個階段的最優(yōu)控制策略.

圖3 粗避障優(yōu)先著陸區(qū)域分析結(jié)果

2.2 模型的建立與求解

階段一:著陸準(zhǔn)備軌道

可將100km 軌道高度的變軌考慮為一個速度脈沖，通過齊奧爾科夫斯基公式計算飛行器的燃料消耗，即:

式中:m0為施加速度脈沖之前飛行器的質(zhì)量;Δm 為產(chǎn)生Δv0速度脈沖所需要的燃料質(zhì)量;c=veg0;ve為發(fā)動機的比沖;g0為月球引力加速度;Δv0=v1－v2.

由m0= 2400kg，Δv0== 0.07km/s，ve=2940m/s，g0=9.80665m/s2，可計算得到m =5.81988kg，又由飛行器在這一階段消耗的燃料質(zhì)量與其重質(zhì)量之比小于5%，因此可忽略飛行器在這一階段質(zhì)量的缺失.

圖4 精避障優(yōu)先著陸區(qū)域分析結(jié)果

階段二:主減速

模型三:平面月球二維動力學(xué)模型［2］

此時可將月球視為平面來建立月球平面直角坐標(biāo)系，見上圖2(單位:米):

由于嫦娥三號在距月面15km 的著陸準(zhǔn)備軌道近月點處很小;且嫦娥三號在距月面3km 的地點處很大.因此可得在主減速階段平均加速度水平和豎直方向的分量分別為:

(6)式中:m1′為嫦娥三號在距月面15km 時的質(zhì)量，m2′為嫦娥三號在距月面3km 時的質(zhì)量，¨X1和分別表示著陸器沿水平和豎直方向的分量.

模型四:多元非線性規(guī)劃模型［7］

以燃料最優(yōu)為設(shè)計目標(biāo)，建立此階段燃料消耗最少的多元非線性規(guī)劃模型:

其中:根據(jù)題意和嫦娥三號實際運行軌跡，假定角γ 的余角為0°至20°的角，并且不超過20°.

階段三:快速調(diào)整

圖5 粗避障優(yōu)化區(qū)域

圖6 精避障優(yōu)化區(qū)域

在快速調(diào)整階段中，假定探測器的推力大小是不變的，但由于其姿態(tài)在不斷變化，因此發(fā)動器產(chǎn)生的沿著與速度方向相反的推力與水平方向的夾角在逐漸增大.且階段所進行的時間非常短，調(diào)整的角度變化也較小，因此此階段的燃料消耗較少，只需控制角度使其在距月面2400m 的位置水平速度變?yōu)榱慵纯?

階段四——粗避障和階段五——精避障

模型五:模糊C 均值聚類模型

設(shè)X={x1，x2，…，xN}?Rp，Rp表示p 維實數(shù)向量空間，令uik表示第k 個樣本屬于第i 類的隸屬度，，記vi表示第i 類的聚類中心，則X 的一個模糊C 均值聚類的就是求在上述條件下目標(biāo)函數(shù)的最小值:

其中dik=‖xk－vi‖為第k 個序列到第類中心的歐幾里得距離.

由拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造新的輔助函數(shù):

當(dāng)J(X，v1，v2，…，vc)取得最小值的必要條件是(i = 1，2，…，c)，(1 ＜m)和

運用模糊C 均值聚類方法對應(yīng)MATLAB 命令求解可得如下結(jié)果，見圖3 和圖4:

據(jù)此篩選出連續(xù)的點，大致確定粗避障優(yōu)選著陸區(qū)為第801 到1200 行及第1001 到1250 列交叉部分，精避障優(yōu)選著陸區(qū)行第1 到250 行與第501 到700 列交叉部分，再用MATLAB 畫出相應(yīng)的優(yōu)化區(qū)域，見圖5 和圖6(單位:米):

接著對聚類結(jié)果進行標(biāo)準(zhǔn)差檢驗，在此條件下粗避障優(yōu)選區(qū)域高度標(biāo)準(zhǔn)差c1=5.6981，精避障優(yōu)選區(qū)域高度標(biāo)準(zhǔn)差的檢驗中，c1=7.2140，確定了安全降落的位置.

模型六:粗避障動力學(xué)模型和精避障動力學(xué)規(guī)劃模型:

假定粗避障階段著陸器做勻加速運動，則動力學(xué)模型如下:

模型②求解得:min=0.000096kg，a1=a2=1.63m/s2，t1=7.3s，t2=2.7s

說明:此兩階段是在燃料最省的情況下，做勻速運動最好，且整體縱向通過時間為10s，F(xiàn)推=(m0－m2－m4)gm=1708.32N.

階段六:緩速下降

在此階段我們可以看作飛行器以一定的速度做勻減速運動垂直下落，無水平方向速度，在距月面4m 處速度減為0.過程中速度變化較小且高度變化也較小，故反作用力做功較小，因此燃料消耗量可忽略不計.最優(yōu)控制在于及時在距月面4m 處將速度減為0，為最后自由落體著陸到精確著陸點做準(zhǔn)備.

最后把模型三、模型四和模型六合并計算得出主減速發(fā)動機推力隨運行時間的最優(yōu)控制策略，見圖7:

圖7 發(fā)動機推力隨時間變化關(guān)系

圖8 末段速度方向與主減速階段燃料消耗趨勢關(guān)系圖

最優(yōu)控制策略:在近月點瞬間開啟主減速發(fā)動機使得著陸器由著陸準(zhǔn)備軌道進入著陸軌道，并同時開啟姿態(tài)發(fā)動機實時調(diào)整姿態(tài)使得主減速發(fā)動機中心始終在軌跡線上;在主減速階段，保持主減速發(fā)動機推力7500 牛大小不變，開啟501.83 秒，消耗燃料約1280.183 千克;在快速調(diào)整階段，迅速調(diào)整姿態(tài)，使得水平速度大小為0，調(diào)整推力為1825.3 牛，開啟52 秒，燃料消耗約30 千克;在粗避障階段，調(diào)整推力為2616.66 牛，開啟80.7 秒，燃料消耗約70 千克;在精避障和緩速下降階段，調(diào)整主減速發(fā)動機推力為1708.23 牛，保持時間約為20s，燃料消耗不計.

3 敏感性分析與誤差分析

3.1 敏感性分析

對主減速階段末端著陸器速度方向與豎直方向的夾角以5 度為間隔取值，研究嫦娥三號探測器在此階段所使用的燃料量，運用軟件LINGO 求出對應(yīng)不同夾角的使用燃料量，同時利用MATLAB軟件做出主減速階段所消耗的燃料隨角度變化的圖形，見圖8:

由圖8 可知，隨著速度方向與豎直方向夾角的增大，在主減速階段嫦娥三號所消耗的燃料量在逐漸減少，與之間假定較小時燃料消耗控制最優(yōu)有出入，不能簡單推斷總體節(jié)省燃料，需要考慮各個細節(jié).

3.2 誤差分析

(1)在所確定的著陸軌道上，沒有考慮著陸軌道在粗避障和精避障可能產(chǎn)生的水平方向上位置移動，因此會產(chǎn)生一定的誤差.(2)在著陸軌道的6個階段上較多考慮主減速發(fā)動機推力為大小不變方向可變的情況，沒有考慮其可隨時間和速度而改變的情況，對各階段燃料消耗量的結(jié)果產(chǎn)生了一定的誤差.(3)在建立精避障到著陸點上空4m 處的規(guī)劃模型時，給出的對緩速中速度大小和運動時間的限制會產(chǎn)生誤差.

4 總 結(jié)

本文巧妙地給出了近月點和遠月點位置的計算方法;同時，在確定嫦娥三號著陸過程6 個階段的最優(yōu)控制策略時，將定量和定性的方法相結(jié)合，對各個階段的條件約束及設(shè)計控制策略進行了全面分析;但對粗避障和精避障時可能出現(xiàn)的水平移動情況僅僅從總體上控制了時間范圍，沒有具體考慮.

［1］ 飛行器再入軌跡優(yōu)化問題:http://www.docin.com/p－82350584.html?qq－pf－to=pcqq.c2c，2014－9－13.

［2］ 王鵬基，張熇，曲廣吉.月球軟著陸飛行動力學(xué)和制導(dǎo)控制建模與仿真［J］.中國科學(xué)，2009(3):521－527.

［3］ 新浪新聞中心:http://news.sina.com.cn/c/2013－11－29/202728849879.shtml?qq－pf－to=pcqq.c2c，2014－9－13.

［4］ 吳禮斌，閆云俠.經(jīng)濟數(shù)學(xué)實驗與建模［M］.天津:天津大學(xué)出版社，2009.8.

［5］ 金廣明，曹偉，魏彥祥，等.嫦娥三號著陸器推進系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)及飛行性能分析［J］.中國科學(xué)，2014(4):385－390.

［6］ 張洪華，梁俊，黃翔宇，等.嫦娥三號自主避障軟著陸控制技術(shù)［J］.中國科學(xué)，2014(6):559－568.

［7］ 鄭愛武，周建平.載人登月軌道設(shè)計方法及其約束條件概述［J］.載人航天，2012(1):48－54.

［8］ 2014 年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A 題，http://www.mcm.edu.cn/.