任曉丹，李 杰

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092）

通常情況下，鋼筋混凝土構(gòu)件是帶裂縫工作的.如果裂縫的開展超過(guò)一定的限值，就會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的使用性能產(chǎn)生影響.在某些特殊環(huán)境下，比如干濕交替、凍融交替、地下水侵蝕等環(huán)境下，裂縫的開展甚至?xí)苯游＜敖Y(jié)構(gòu)的安全.所以鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的開裂，特別是外力作用下的裂縫開展寬度問(wèn)題，是鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)學(xué)研究的經(jīng)典問(wèn)題，很早就得到了國(guó)內(nèi)外研究者的重視［1-3］.在我國(guó)，東南大學(xué)、大連理工大學(xué)、清華大學(xué)等單位的學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題開展了系統(tǒng)研究［4-6］，產(chǎn)生了一批重要成果，并構(gòu)成了我國(guó)現(xiàn)行規(guī)范裂縫寬度計(jì)算公式的基礎(chǔ).

近年來(lái)，工程實(shí)踐的發(fā)展對(duì)裂縫寬度的計(jì)算提出了新的要求.首先，高強(qiáng)材料特別是高強(qiáng)鋼筋的應(yīng)用使得鋼筋混凝土構(gòu)件的使用應(yīng)力提高，進(jìn)而可能提高裂縫寬度，而經(jīng)典的裂縫寬度計(jì)算公式目前還比較缺乏高強(qiáng)材料構(gòu)件試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有力支持；其次，隨著重大工程結(jié)構(gòu)的興建以及結(jié)構(gòu)形式的創(chuàng)新，復(fù)雜的組合構(gòu)件大量采用，其裂縫寬度的估計(jì)難以基于經(jīng)典理論進(jìn)行.另一方面，結(jié)構(gòu)分析理論與數(shù)值技術(shù)的長(zhǎng)足進(jìn)步則為裂縫寬度的計(jì)算開辟了新途徑.經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展［7-9］，損傷力學(xué)模型已經(jīng)成為混凝土本構(gòu)關(guān)系建模與結(jié)構(gòu)非線性分析最為常用的模型之一.基于損傷力學(xué)理論與結(jié)構(gòu)非線性有限元分析，有望對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的裂縫寬度給出更加精細(xì)的描述.本文即以此為切入點(diǎn)展開研究.

1 混凝土損傷模型簡(jiǎn)述

在外力作用下，混凝土表現(xiàn)出顯著的軟化、弱化等力學(xué)行為.損傷力學(xué)引入損傷變量描述材料的非線性行為，能夠兼顧混凝土非線性行為的物理機(jī)制和外在表現(xiàn)，所以越來(lái)越多地受到研究人員與工程技術(shù)人員的關(guān)注.本文所采用的損傷模型，在《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 50010-2010）》建議模型［10］的基礎(chǔ)上進(jìn)行了局部調(diào)整.

首先考慮單軸本構(gòu)關(guān)系.基于彈性損傷理論，可以將單軸本構(gòu)關(guān)系統(tǒng)一寫為如下形式：

式中：σ與ε分別表示單軸應(yīng)力與單軸應(yīng)變；Ec表示混凝土彈性模量；d表示損傷變量，下標(biāo)c，t表示對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)，即壓應(yīng)力作用時(shí)取受壓損傷dc，拉應(yīng)力作用時(shí)取受拉損傷dt.對(duì)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 50010-2010）》建議損傷演化表達(dá)式做局部簡(jiǎn)化調(diào)整，可以采用如下統(tǒng)一表達(dá)式表示受拉、受壓損傷演化：

其中

式中：fc，t與εc，t分別為混凝土單軸強(qiáng)度與對(duì)應(yīng)峰值應(yīng)變代表值，根據(jù)受力狀態(tài)分別取受壓（下標(biāo)c）和受拉（下標(biāo)t）；αc，t為應(yīng)力應(yīng)變曲線下降段參數(shù)，對(duì)于受壓（下標(biāo)c）和受拉（下標(biāo)t）分別取不同的數(shù)值.

對(duì)于雙軸應(yīng)力狀態(tài)，本構(gòu)關(guān)系應(yīng)在主應(yīng)力空間建立.為此，首先定義如下有效應(yīng)力表達(dá)式：

式中：ν為混凝土泊松比；σ′與ε分別為有效應(yīng)力和應(yīng)變；下標(biāo)分別表示第一主方向與第二主方向.

在不同的拉、壓應(yīng)力組合作用下，混凝土的非線性表現(xiàn)有明顯差異，須分別加以考慮［11］.

此時(shí)只有受拉損傷起作用，本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式為

受拉損傷演化由如下受拉能量等效應(yīng)變控制：

將x=εt，e／εt代入式（2）即可求得dt.

此時(shí)只有受壓損傷起作用，本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式為

受壓損傷演化由如下受壓能量等效應(yīng)變控制：

其中雙軸受力控制參數(shù)αs計(jì)算公式為

r為雙軸等壓時(shí)強(qiáng)度提高系數(shù)，根據(jù)雙軸受壓結(jié)果確定，在缺乏試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，可取1.2.將x=εc，e／εc代入式（2）即可求得dc.

此時(shí)受拉、受壓損傷均起作用，本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式為

此時(shí)受拉能量等效應(yīng)變?yōu)?/p>

將x=εt，e／εt代入式（2）即可求得dt.受壓能量等效應(yīng)變按式（9）求出，將x=εc，e／εc代入式（2）即可求得dc.

需要指出，由于本文只針對(duì)單調(diào)加載條件下構(gòu)件的裂縫寬度展開研究，不考慮重復(fù)加載或者反復(fù)加載的情形，所以上述本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式中未考慮卸載段以及殘余應(yīng)變的影響.

2 裂縫寬度計(jì)算

裂縫寬度具有長(zhǎng)度的量綱，所以其計(jì)算和分析必然要聯(lián)系到構(gòu)件及其數(shù)值分析模型的內(nèi)蘊(yùn)長(zhǎng)度量.對(duì)于裂縫寬度問(wèn)題，最重要的內(nèi)蘊(yùn)長(zhǎng)度量是裂縫間距，一般用lm表示.裂縫間距實(shí)際上綜合反映了鋼筋變形、混凝土強(qiáng)度、鋼筋與混凝土之間的黏結(jié)滑移等因素的綜合作用，并最終以長(zhǎng)度的形式體現(xiàn)出來(lái).經(jīng)典的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)理論在大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了描述裂紋間距的黏結(jié)滑移理論和無(wú)滑移理論.而我國(guó)規(guī)范中采用的裂紋間距公式則綜合了黏結(jié)滑移理論與無(wú)滑移理論.在裂縫間距基礎(chǔ)上，傳統(tǒng)混凝土結(jié)構(gòu)理論借助受拉區(qū)混凝土與鋼筋的變形差計(jì)算其裂縫寬度.

引入損傷力學(xué)理論和非線性有限元分析方法，可以較為準(zhǔn)確地得到鋼筋混凝土構(gòu)件的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等狀態(tài)變量以及損傷的分布.但是，由于損傷力學(xué)理論采用剛度連續(xù)退化的形式考慮裂縫開展對(duì)混凝土材料行為的影響；而非線性有限元?jiǎng)t將裂紋開展的變形彌散到單元的總變形中，以平均應(yīng)變的形式表示.所以基于上述理論得到的分析結(jié)果中并不直接包含裂縫的信息.

為從連續(xù)的應(yīng)變場(chǎng)與損傷場(chǎng)中解析出裂縫開展的信息，首先考察帶裂縫單元的應(yīng)變，有如下公式：

式中：ε為考慮裂縫開展之后單元的宏觀（平均）應(yīng)變；εe為未開裂部分材料的應(yīng)變，不妨認(rèn)為未開裂材料還保持彈性，其表達(dá)式為

結(jié)合前述理論，考慮受拉損傷，可進(jìn)一步得到

定義wf為開裂引起的單元附加變形，可得

其中l(wèi)E為單元的等效長(zhǎng)度.將式（16）代入式（17），可得

其中

定義為單元的總變形.若一個(gè)單元中只包含一條裂縫，那么根據(jù)式（18）求得的wf即為裂縫寬度.對(duì)于混凝土構(gòu)件分析，當(dāng)采用較為細(xì)致的網(wǎng)格劃分時(shí)，假定一個(gè)單元中最多僅允許出現(xiàn)一條裂縫是合理的.

對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，為了平衡計(jì)算成本與計(jì)算精度，網(wǎng)格劃分往往比較粗.此時(shí)構(gòu)件局部的應(yīng)力等結(jié)果往往不甚準(zhǔn)確.若此時(shí)仍然希望對(duì)構(gòu)件的局部開裂情況作粗略估計(jì)，就需要事先假定多條裂紋在單元內(nèi)部的分布情況.為了分析方便，這里假定同一單元中的Nf條裂紋同時(shí)出現(xiàn)，并且開裂寬度一致，均為w，可得

需要指出的是，對(duì)于一個(gè)單元內(nèi)包含多條裂縫的情況，式（20）所給出的假定是十分簡(jiǎn)化的，僅能在工程應(yīng)用的角度對(duì)局部裂縫情況作粗略估計(jì).更加精細(xì)的分析模型應(yīng)當(dāng)考慮單元中不同裂縫的相互作用.

將式（20）代入式（18）并化簡(jiǎn)，最終得

采用max表示狀態(tài)量在整個(gè)加載過(guò)程中的最大值，那么最大裂縫寬度

而

為加載過(guò)程中曾達(dá)到的最大單元變形；Nf，max為對(duì)應(yīng)于最大應(yīng)變發(fā)生時(shí)刻單元中的裂紋條數(shù)，結(jié)合裂縫間距l(xiāng)m的定義，可得

式（24）中第一種情況取1，表示只要單元產(chǎn)生了損傷，就認(rèn)為其中至少有一條裂縫開展；第二種情況沒(méi)有取整數(shù)，是考慮裂紋開展的位置不同將導(dǎo)致相同長(zhǎng)度的單元所能容納的裂紋條數(shù)不同.將式（24）代入式（22）并化簡(jiǎn)，得

上述裂縫寬度公式的推導(dǎo)是基于一維受力狀態(tài)，對(duì)于多維受力狀態(tài)，單元的應(yīng)變?chǔ)挪辉偈且粋€(gè)標(biāo)量，不能直接代入公式（23）計(jì)算wE，max.為了避免多維應(yīng)力及應(yīng)變分析的復(fù)雜性，本文建議基于最大能量等效應(yīng)變求取最大裂縫寬度，有

式中

為加載過(guò)程中曾達(dá)到的最大受拉能量等效應(yīng)變，受拉能量等效應(yīng)變可根據(jù)不同的應(yīng)力狀態(tài)采用式（7）或（12）計(jì)算.

由上述分析可以看出，損傷演化是裂縫開展的基礎(chǔ).對(duì)于計(jì)算公式中出現(xiàn)的兩種情況，可以理解為：如果單元尺寸lE小于裂縫間距l(xiāng)m，一個(gè)單元中最多有一條裂縫，裂縫張開位移引起的附加應(yīng)變?chǔ)舊應(yīng)該在單元尺度范圍內(nèi)做平均；而當(dāng)單元尺寸lE大于裂縫間距l(xiāng)m，那么一個(gè)單元中包含多條裂縫，裂縫張開位移引起的附加應(yīng)變?chǔ)舊需要在裂縫間距范圍內(nèi)做平均.

求解裂縫間距l(xiāng)m可考慮如下途徑：對(duì)于以正截面破壞控制的梁柱構(gòu)件，lm可根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 50010-2010）》建議公式估計(jì)；對(duì)于復(fù)雜受力構(gòu)件，lm的求解宜根據(jù)精細(xì)數(shù)值模擬的結(jié)果求得.由局部構(gòu)件的精細(xì)有限元分析結(jié)果得到裂縫間距l(xiāng)m，進(jìn)而應(yīng)用于宏觀尺度結(jié)構(gòu)的分析方法，是典型的多尺度分析思路，值得更加深入地研究.

對(duì)于單元等效長(zhǎng)度，可采用下面公式進(jìn)行估算［3］：

式中：nd為單元的維數(shù)；md為單元的體積量度，一維單元為長(zhǎng)度，二維單元為面積，三維單元為體積.

3 算例與驗(yàn)證

3.1 彎曲裂縫寬度計(jì)算

采用Harris等人近期發(fā)表的高強(qiáng)混凝土梁試驗(yàn)結(jié)果［12］作為本文模型的驗(yàn)證.試驗(yàn)梁如圖1所示，圖中P為外荷載，梁高度h=406mm，寬度b=305 mm，實(shí)測(cè)混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度f(wàn)′c=89MPa，實(shí)測(cè)鋼筋屈服強(qiáng)度f(wàn)y=898MPa，實(shí)測(cè)受力主筋保護(hù)層厚度為47mm.計(jì)算中還需要另外一些材料參數(shù)取值，由于原文中沒(méi)有直接測(cè)量，本文根據(jù)材料實(shí)測(cè)強(qiáng)度等信息取如下數(shù)值：混凝土彈性模量Ec=35 GPa，混凝土泊松比ν=0.2，混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)t=5.0MPa，混凝土受拉峰值應(yīng)變0.000 15，混凝土受壓峰值應(yīng)變0.002 5，受拉下降段參數(shù)αt=1.0，受壓下降段參數(shù)αc=2.0，鋼筋彈性模量Es=200GPa.

圖1 高強(qiáng)混凝土梁配筋圖（單位：mm）Fig.1 Details of RC flexural beam（unit：mm）

根據(jù)上述信息，基于軟件ABAQUS有限元計(jì)算平臺(tái)建立有限元模型，混凝土采用三維8節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元，鋼筋采用桿單元，將鋼筋直接埋入混凝土并考慮二者變形一致，鋼筋采用理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系，混凝土損傷本構(gòu)關(guān)系以用戶自定義材料的形式植入到有限元模擬平臺(tái)中進(jìn)行有限元模擬.

所得力-位移曲線如圖2所示.圖中荷載數(shù)值為一個(gè)加載支座上的荷載，梁上的總荷載是圖示荷載的2倍.可見模擬結(jié)果能夠很好地反映從鋼筋混凝土加載到破壞的各個(gè)階段的特點(diǎn)，并且與試驗(yàn)結(jié)果有一定的吻合度.由于試驗(yàn)的目的是使用階段的裂縫測(cè)量，所以試驗(yàn)中并沒(méi)有將梁加載至破壞.根據(jù)《規(guī)范》［10］公式，可計(jì)算得到梁的破壞荷載為142 kN，而數(shù)值模擬所得力-位移曲線的峰值為144kN，二者符合很好.

圖2 力-位移曲線Fig.2 Load-displacement

圖3 彎曲裂縫寬度-荷載曲線Fig.3 Load versus crack

圖4 計(jì)算彎曲裂縫分布圖Fig.4 Distribution of flexural cracks

采用本文模型計(jì)算彎曲裂縫寬度，與實(shí)測(cè)結(jié)果以及《規(guī)范》公式結(jié)果共同繪制于圖3中.可以看出，三者的符合程度很好，由此初步驗(yàn)證了本文模型的正確性.對(duì)于使用荷載作用下受彎構(gòu)件的最大裂縫寬度，不論是本文提出方法還是《規(guī)范》公式，均可以給出具有較高精度的結(jié)果.而由于結(jié)合了有限元方法，本文模型還可以給出更加精細(xì)的結(jié)果.圖4即為按照有限元分析結(jié)果描畫出的裂縫分布圖.圖中，Pu為極限外荷載，實(shí)線為達(dá)到或者接近最大裂縫寬度的主裂縫，虛線為開展寬度相對(duì)主裂縫較小的裂縫.通過(guò)裂縫分布圖，可以清楚地辨識(shí)裂縫的分布規(guī)律與最大裂縫寬度發(fā)生的位置.另外，構(gòu)件破壞階段的裂縫寬度以及裂縫擴(kuò)展規(guī)律，也可以直接基于本文模型的分析結(jié)果得到，見圖3.

3.2 剪切裂縫寬度計(jì)算

鋼筋混凝土梁抗剪強(qiáng)度與受剪裂縫的預(yù)測(cè)問(wèn)題是鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)理論的經(jīng)典難題，至今沒(méi)有很好解決.將損傷理論與非線性有限元方法相結(jié)合，可以為構(gòu)件抗剪強(qiáng)度以及受剪非線性行為的預(yù)測(cè)開辟新的道路.本文提出的裂縫寬度模型同樣適用于剪切型裂縫的開展寬度預(yù)測(cè).

基于湖南大學(xué)沈蒲生教授課題組的試驗(yàn)結(jié)果［13］驗(yàn)證本文模型.試驗(yàn)梁的加載與配筋情況如圖5所示，梁高h(yuǎn)=300mm，梁寬b=150mm，實(shí)測(cè)混凝土立方體抗壓強(qiáng)度f(wàn)cu=51MPa，實(shí)測(cè)混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)t=2.92MPa，實(shí)測(cè)鋼筋屈服強(qiáng)度f(wàn)y=547MPa，實(shí)測(cè)縱向鋼筋保護(hù)層厚度為35mm.根據(jù)實(shí)測(cè)材料強(qiáng)度，分析中其他參數(shù)取值為：混凝土彈性模量Ec=30 GPa，混凝土泊松比ν=0.2，混凝土棱柱體抗壓強(qiáng)度按照經(jīng)典換算公式得fc=0.76fcu=39MPa，混凝土受拉峰值應(yīng)變?yōu)?.000 12，混凝土受壓峰值應(yīng)變?yōu)?.002，受拉下降段參數(shù)αt=0.5，受壓下降段參數(shù)αc=2.0，鋼筋彈性模量Es=200GPa.

圖5 混凝土梁配筋圖（單位：mm）Fig.5 Details of RC shear beam（unit：mm）

基于軟件ABAQUS建立上述試驗(yàn)梁的有限元分析模型，為了模擬斜裂縫開展，混凝土采用三維5面體（楔形）單元，鋼筋仍采用桿單元并埋入混凝土中；鋼筋采用理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系，混凝土采用損傷本構(gòu)關(guān)系，基于用戶自定義材料植入有限元計(jì)算平臺(tái)中.

圖6給出了模擬所得力-位移曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比.圖中，V為剪力，Vu為極限剪力.由圖可以看出，基于損傷模型的非線性有限元分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果有很好的吻合度，模擬所得抗剪承載力（122 kN）略小于試驗(yàn)測(cè)得抗剪承載力（132kN）.基于本文提出的方法，在有限元分析的過(guò)程中同時(shí)求解了構(gòu)件的（剪切）裂縫寬度，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比（圖7）.圖中同時(shí)給出了按照趙國(guó)藩模型［5］和聶建國(guó)模型［6］計(jì)算所得剪切裂縫寬度結(jié)果.由圖中結(jié)果可以看出，本文模型能夠較為準(zhǔn)確地追蹤裂縫開展的全過(guò)程，所得結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果符合較好.即便試件進(jìn)入臨近破壞的階段，本文方法依然能給出較為準(zhǔn)確的結(jié)果.除了使用荷載階段的最大裂縫寬度，本文方法還能精細(xì)地給出構(gòu)件中斜裂縫產(chǎn)生與擴(kuò)展的過(guò)程.圖8即為根據(jù)有限元分析結(jié)果描畫出的裂紋分布圖.圖中，實(shí)線為達(dá)到或者接近最大裂縫寬度的主裂縫，虛線為開展寬度相對(duì)主裂縫較小的裂縫.

圖6 力-位移曲線Fig.6 Load-displacement

圖7 剪切裂縫寬度-相對(duì)荷載曲線Fig.7 Normalized load versus crack width

4 結(jié)論與討論

基于損傷力學(xué)模型提出了鋼筋混凝土構(gòu)件裂縫寬度的計(jì)算方法，結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.根據(jù)本文研究，可以得到如下結(jié)論：

（1）混凝土的損傷與裂縫開展直接相關(guān)，本文所得裂縫寬度表達(dá)式具有一定的普遍性，適用于受彎、受剪等構(gòu)件受力狀態(tài)，且適用于初始開裂階段直至后續(xù)破壞全過(guò)程分析.

（2）分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比表明，基于損傷力學(xué)理論建立的裂縫寬度表達(dá)式可以較為精確地計(jì)算鋼筋混凝土構(gòu)件的裂縫寬度.對(duì)于對(duì)開裂敏感的結(jié)構(gòu)，如地下室、大型容器以及大壩等，本文方法提供了較為精細(xì)的分析工具.

圖8 計(jì)算剪切裂縫分布圖Fig.8 Distribution of flexural cracks

（3）現(xiàn)行混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范建議的混凝土本構(gòu)關(guān)系，其基礎(chǔ)是素混凝土的試驗(yàn)結(jié)果.在配置了鋼筋之后，二者的相互作用會(huì)使混凝土的非線性行為有一些變化，其中最典型的就是鋼筋混凝土中混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的下降段較之素混凝土更加平緩.這將對(duì)構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的行為產(chǎn)生一定的影響，計(jì)算中應(yīng)該予以考慮.本文初步采用適當(dāng)減小下降段參數(shù)αc，t的方式加以考慮.針對(duì)這一問(wèn)題，還需要進(jìn)一步開展系統(tǒng)的研究.

［1］ Broms B B.Crack width and crack spacing in reinforced concrete members［J］.ACI Journal Proceedings，1965，62（10）：1237.

［2］ Gergely P，Lutz L A.Maximum crack width in reinforced concrete flexural members［J］.ACI Special Publication，1968，20：87.

［3］ Bazant Z P，Oh B H.Spacing of cracks in reinforced concrete［J］.Journal of Structural Engineering：ASCE，1983，109（9）：2066.

［4］ 丁大鈞，黃德富，金芷生，等.鋼筋混凝土構(gòu)件剛度和裂縫的試驗(yàn)研究和對(duì)計(jì)算的建議［J］.土木工程學(xué)報(bào)，1985，18（4）：1.DING Dajun， HUANG Defu， JIN Zhisheng，etal.Experimental research on stiffness and crack width of RC members and proposals for the calculation［J］.China Civil Engineering Journal，1985，18（4）：1.

［5］ 趙國(guó)藩，李樹瑤，廖婉卿.鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的裂縫控制［M］.北京：海洋出版社，1991 ZHAO Guofan，LI Shuyao，LIAO Wanqing.Crack control of reinforced concrete structures［M］.Beijing：China Ocean Press，1991.

［6］ 聶建國(guó)，沈聚敏.鋼筋砼梁的斜裂縫寬度［J］.建筑結(jié)構(gòu)，1994（6）：33.NIE Jianguo，SHEN Jumin.Diagonal crack width of reinforced concrete beam［J］.Building Structure，1994（6）：33.

［7］ Ju J W.On energy-based coupled elastoplastic damage theories：Constitutive modeling and computational aspects ［J］.International Journal of Solids Structures，1989，25（7）：803.

［8］ 李杰，任曉丹.混凝土靜力與動(dòng)力損傷本構(gòu)模型研究進(jìn)展述評(píng)［J］.力學(xué)進(jìn)展，2010，40（3）：284.LI Jie，REN Xiaodan.A review on the constitutive model for static and dynamic damage of concrete［J］.Advances in Mechanics，2010，40（3）：284.

［9］ 李杰，吳建營(yíng).混凝土彈塑性損傷本構(gòu)模型研究I：基本公式［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2005，38（9）：14.LI Jie，WU Jianying.Elasto-plastic damage constitutive model for concrete based on damage energy release rates，Part I：Basic formulations［J］.China Civil Engineering Journal，2005，38（9）：14.

［10］ 中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.GB 50010—2010混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2011.Ministry of Housing and Urban-Rural Development of the People's Republic of China.GB50010—2010 Code for design of concrete structures［S］.Beijing：China Architecture &Building Press，2011.

［11］ LI Jie，REN Xiaodan.Stochastic damage model of concrete based on energy equivalent strain［J］.International Journal of Solids and Structures，2009，46（11／12）：2407.

［12］ Harries K A，Shahrooz B M，Soltani A.Flexural crack widths in concrete girders with high-strength reinforcement［J］.Journal of Bridge Engineering：ASCE，2012，17（5）：804.

［13］ 李娟.HRB級(jí)箍筋混凝土梁斜截面受力性能試驗(yàn)研究［D］.長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)，2007.LI Juan.Experimental study on mechanical behavior of diagonal section of reinforced concrete beams with HRB500 stirrups［D］.Changsha：Hunan University，2007.