上官士青，楊 敏，劉尊景，蔡偉銘

（1.同濟大學 土木工程學院，上海200092；2.中國電建集團華東勘測設(shè)計研究院有限公司，浙江 杭州310000；3.同濟大學建筑設(shè)計研究院有限公司，上海200092）

水泥土攪拌樁重力式擋墻是軟土地區(qū)常用的支護形式.但單純的重力式擋墻作支護往往變形較大，常設(shè)置內(nèi)支撐來控制位移，這是極為有效的［1］.當設(shè)置有內(nèi)支撐時，墻體內(nèi)會產(chǎn)生較大彎矩，為了防止墻身破壞，需要在墻體內(nèi)使用鉆孔灌注樁或型鋼來加強，如果使用混凝土樁，則整個體系就組成了混凝土樁水泥土墻復(fù)合式圍護結(jié)構(gòu).水泥土復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)首先由蔡偉銘提出，上世紀90年代在軟土地區(qū)就有一些應(yīng)用［2］；但因為缺少對其受力機理和變形規(guī)律的認識，沒有形成與之配套的變形分析方法，實際應(yīng)用中無完整設(shè)計方法可循，一直以來尚沒有上升為一種應(yīng)用廣泛的基坑圍護工法.

文獻［1-5］對水泥土復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)或類似支護結(jié)構(gòu)的設(shè)計及變形計算進行了研究.這些學者主要將該圍護結(jié)構(gòu)作為重力式擋墻進行設(shè)計計算，著重于在墻體剛性假設(shè)下計算墻角的轉(zhuǎn)角和墻角的水平位移，再計算墻體的彎曲，將兩種位移相互疊加.采用上述計算思路的原因主要是考慮該種支護形式源于重力式擋墻.在單純的重力式擋墻設(shè)計計算中，主要依靠墻身自重來抗衡主動土壓力，但現(xiàn)在的水泥土復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)經(jīng)常配合內(nèi)支撐來減小變形，同時墻內(nèi)也增加了灌注樁來增加抗彎剛度，并不完全依靠墻身自重來抗衡土壓力.隨著社會發(fā)展，開挖深度越來越大，此類復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)設(shè)計開挖高度已超過7m，從形式上偏向于排樁支護發(fā)展，因此可嘗試采用目前廣泛流行的彈性支點法進行設(shè)計工作.如文獻［6-8］的研究成果均擺脫了剛體重力式擋墻的變形計算思路，采用彈性支點法或位移函數(shù)法進行計算.筆者基于復(fù)合式重力擋墻自身的幾何特性，考慮樁-墻相互摩擦作用，推導(dǎo)了其綜合剛度矩陣.

1 計算模型

按圖1中模型計算復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)變形.圖中，q為坑外超載，pak為主動土壓力，ps為被動土壓力，F(xiàn)h為內(nèi)支撐反力.坑內(nèi)開挖面以上的內(nèi)支撐以彈性支座模擬；坑內(nèi)開挖面以下作用在復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)上的土抗力以水平彈簧支座模擬；根據(jù)文獻［9］，參考重力式基礎(chǔ)的特性在墻底垂直方向設(shè)置一組彈簧.該彈簧最終換算為樁底節(jié)點轉(zhuǎn)角自由度上的剛度.同樣地，水泥土墻底部與土體的水平摩擦應(yīng)予以考慮，該水平摩擦彈簧可按基坑規(guī)范中重力式擋墻部分計算.由于在實際計算中，采用復(fù)合梁單元對復(fù)合支護結(jié)構(gòu)進行計算，而梁單元是無體積的，可將水泥土墻底部的水平摩阻力彈簧與圖1中的被動土壓力彈簧3在擋墻底部節(jié)點并聯(lián).圖1中復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)采用考慮混凝土樁和水泥土墻摩擦作用的綜合梁單元進行模擬.

圖1 物理模型圖Fig.1 Physical model

綜合梁單元及其綜合剛度矩陣是在平面簡單梁單元（4自由度）理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，推導(dǎo)剛度矩陣時新增的假設(shè)及相關(guān)內(nèi)容說明如下：

（1）公用軸線假設(shè).假設(shè)1個基坑剖面中水泥土攪拌樁（墻）與混凝土樁水平位移相同，即水泥土樁與混凝土樁的軸線變形相同.因此兩種樁型在計算時按1根地基梁計算.

（2）綜合剛度假設(shè).如按1根梁單元計算復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)的變形，需推導(dǎo)它們的綜合剛度矩陣.本文按照能量原理和駐值原理推導(dǎo)剛度矩陣.在傳統(tǒng)梁單元剛度矩陣推導(dǎo)過程中考慮混凝土樁的彎曲應(yīng)變能、水泥土攪拌樁（墻）的彎曲應(yīng)變能的基礎(chǔ)上，增加了對混凝土樁的拉伸應(yīng)變能和混凝土樁與水泥土體摩擦力（彈簧）做功的考慮.由于在彈性支點法的框架下，難以計算單元質(zhì)點垂直方向上的位移，剛度矩陣中不考慮重力勢能的改變.

（3）混凝土樁與水泥土體摩擦力作用距離假設(shè).在現(xiàn)有梁單元位移函數(shù)下，引入新自由度——混凝土樁與水泥土體摩擦力作用距離，用于計算復(fù)合支護結(jié)構(gòu)內(nèi)部摩擦做功.由于引入了新自由度，新的綜合單元自由度為6個.筆者設(shè)定1個梁單元包括2個節(jié)點，每個節(jié)點包括3個自由度：單元上、下節(jié)點撓度u1，u2，單元上、下節(jié)點轉(zhuǎn)角θ1，θ2，單元上、下節(jié)點處水泥土墻與混凝土樁的相對滑移量（包含水泥土剪切位移和相對滑移）Δ1，Δ2.

（4）在新自由度基礎(chǔ)上，通過引入開放性摩擦彈簧計算摩阻力的大小.復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)墻身由水泥土墻和混凝土鉆孔樁組成.計算時考慮水泥土墻與混凝土樁之間存在一系列的切向彈簧，并假設(shè)彈簧是線性的（見圖2）.這些摩擦彈簧的伸長量定義為引入的新自由度Δ1，Δ2.該自由度與其他2個自由度之間的位移協(xié)調(diào)通過平截面假定和節(jié)點轉(zhuǎn)角θ1，θ2進行表述.

圖2 水泥土墻與混凝土樁協(xié)同工作分析圖Fig.2 Cement wall and concrete pile interaction

2 綜合剛度矩陣的推導(dǎo)

2.1 單元位移函數(shù)

單元位移函數(shù)包括水泥土墻單元彎曲的位移函數(shù)及混凝土樁單元壓縮的位移函數(shù).其中，單元彎曲的位移函數(shù)表示單元內(nèi)部坐標與水泥土墻撓度的關(guān)系；混凝土樁單元壓縮的位移函數(shù)表示單元內(nèi)部坐標與混凝土樁身垂直方向位移的關(guān)系.根據(jù)第1節(jié)說明（1），水泥土墻和混凝土樁的彎曲位移函數(shù)相同.

2.1.1 水泥土墻分析

假設(shè)水泥土墻為純彎曲狀態(tài)，引入常規(guī)簡單梁單元（二節(jié)點Hermite單元）的形函數(shù)

式中：內(nèi)部坐標ξ=（x-x1）／l；l為單元長度；x為外部坐標；x1為單元節(jié)點外部坐標.

則得到水泥土墻位移函數(shù)的簡單表達式為

將形函數(shù)（1）代入到單元位移函數(shù)（2）中，得到如下自由度和單元內(nèi)部坐標表示的單元位移函數(shù)：

2.1.2 混凝土樁分析

對混凝土樁進行分析，研究其拉伸時的位移函數(shù).為便于分析，這兩個位移函數(shù)采用相同的內(nèi)部坐標系（該坐標系為一維坐標系，兩個位移函數(shù)表示的水泥土撓度及混凝土樁拉伸量是在該坐標系中變化的函數(shù)），因此內(nèi)部坐標（系）ξ通用

由圖3可見，連接彈簧連接了混凝土樁節(jié)點與按平截面計算得到的理論節(jié)點，因此該彈簧考慮了水泥土墻和混凝土樁樁身的摩擦.該連接彈簧的伸長為新引入的自由度Δ1，Δ2（對應(yīng)于單元2個節(jié)點）.

圖3 水泥土墻與混凝土樁摩擦彈簧圖Fig.3 Cement walls and concrete pile friction spring

由預(yù)設(shè)的6個自由度，根據(jù)平截面假定，可得到水泥土樁垂直方向上的坐標為x1+aθ1和x2+aθ2.其中，x1和x2是節(jié)點坐標，為已知量；a為偏心距，即混凝土樁中心與復(fù)合式擋墻彎曲中心的距離，可由a=B／2-c進行估算；B為墻體寬度；c為混凝土樁中心距離復(fù)合式擋墻近側(cè)邊的距離.引入樁土間滑移量修正，可得水泥土樁單元上、下節(jié)點的垂直方向坐標為x1+aθ1-Δ1和x2+aθ2-Δ2.由上述分析可知，這2個節(jié)點的位移量為aθ1-Δ1和aθ2-Δ2.由此可得位移函數(shù)

將形函數(shù)（4）代入式（5）可得混凝土樁拉伸的位移函數(shù)為

2.2 單元應(yīng)變勢能

單元應(yīng)變勢能由單元位移所包含的勢能和彈簧勢能組成.對式（3）求導(dǎo)數(shù)，得單元曲率

用式（7）來表達單元位移彈性勢能W1，采用單元內(nèi)定積分計算，可將單元內(nèi)部坐標消除

式中：EI為混凝土樁與水泥土墻抗彎剛度之和，kN·m2.

混凝土樁拉伸變形勢能及摩阻力彈簧勢能W2可由單元長度l內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變積分計算

式中：E1A1為內(nèi)插混凝土樁的抗拉剛度，kN；k1，k2分別為上、下節(jié)點混凝土樁與水泥土墻之間的摩擦彈簧剛度系數(shù)，kN·m-1.

式（6）代入式（9）換算為內(nèi)部坐標系積分，消除內(nèi)部坐標ξ，得

2.3 外力勢能

外力勢能W3可由下式計算：

式中：P1為上節(jié)點u1對應(yīng)的節(jié)點荷載，kN；P2為下節(jié)點u2對應(yīng)的節(jié)點荷載，kN；M1為上節(jié)點θ1對應(yīng)的節(jié)點荷載，kN·m；M2為下節(jié)點θ2對應(yīng)的節(jié)點荷載，kN·m；Q1為上節(jié)點混凝土樁垂直方向自由度對應(yīng)的節(jié)點荷載（總剛度矩陣拼裝后一般為0），kN；Q2為下節(jié)點混凝土樁垂直方向自由度對應(yīng)的節(jié)點荷載（總剛度矩陣拼裝后一般為0），kN.

2.4 總勢能

單元總勢能W定義為單元應(yīng)變勢能和外力勢能之和，可由式（8），（10），（11）計算

2.5 求偏導(dǎo)數(shù)

根據(jù)“駐值原理”對總勢能式（12）求6個自由度的偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得6個方程

2.6 剛度矩陣

將以上由駐值原理得出的偏導(dǎo)數(shù)方程式（13）寫成如下剛度矩陣的形式：

式中k1和k2寫為k.可見綜合剛度矩陣是由歐拉梁的剛度矩陣和一個耦合剛度矩陣組成的.應(yīng)用于彈性支點法時，該矩陣的組裝與常規(guī)桿件剛度矩陣相同，拼裝簡便，配合增量法或迭代法也可用于非線性彈性問題的計算.

3 剛度矩陣參數(shù)的確定

使用上述剛度矩陣計算復(fù)合式擋墻基坑圍護結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形，需要確定混凝土樁與水泥土墻摩擦彈簧剛度系數(shù)k.由于水泥土墻自身存在一定的剪切位移［10］，界面上的變形并不是單純的滑移，因此該彈簧應(yīng)為剪切位移等效彈簧ks（水泥土自身剪切變形彈簧）與樁身滑移彈簧kf（混凝土樁與水泥土墻截面上二者相對滑移彈簧）的串聯(lián)，由靜力下彈性彈簧的串聯(lián)公式容易得出該串聯(lián)彈簧的剛度為

為了工程計算的實用性，垂直受荷單樁的計算理論中往往采用單一彈簧計算，如剪切位移法不考慮樁土間相對滑移，荷載傳遞法往往不考慮剪切.本文采用剪切位移法［10-11］確定彈簧剛度系數(shù).文獻［11］給出的ks約比土體的剪切模量G大一個數(shù)量級.文獻［12］指出在其嵌入樁（embeded pile）模型的樁土接觸計算中，kf遠大于土體的剪切模量G.上述分析表明ks是kf的10～100倍，因此對于串聯(lián)后總剛度k約等于0.9～0.99倍的ks.因此本文主要考慮ks的作用，即k約等于ks.

分析圖4樁側(cè)土單元ABCD，當樁發(fā)生沉降S后，單元隨之發(fā)生沉降，并發(fā)生剪切變形A′B′C′D′，將剪切力傳遞給相鄰單元BCEF，這個傳遞過程連續(xù)進行一直傳遞到很遠處的X點，距離樁軸線為rm=nr0，rm也是剪切位移法中樁的影響半徑，在X點處由于剪切變形已很小可忽略不計，即

圖4 剪切位移法樁身荷載傳遞模型Fig.4 Load transfer in shear displacement method

式中：L為樁身長度；ρ為不均勻系數(shù)；ν為泊松比.樁的影響半徑計算公式是根據(jù)統(tǒng)計得來的經(jīng)驗計算公式，在統(tǒng)計時考慮不均勻系數(shù)作為折減，在沒有統(tǒng)計數(shù)據(jù)時取ρ=1.

根據(jù)剪切位移法［10-11］，求得距離樁軸線r處土單元的剪切應(yīng)變γ=dS／dr，其剪力τ為

式中，Gs為水泥土剪切模量.

根據(jù)平衡條件

式中：τ0為樁表面的剪應(yīng)力；r0為混凝土樁的半徑.可得

若土的剪切模量Gs為常數(shù)，則由式（15）可得樁側(cè)沉降S的計算公式為

則彈簧剛度k可由下式進行估算：

考慮到單樁荷載傳遞法計算常用彈性-理想塑性的連接彈簧，而本文方法不涉及非線性彈性計算，需要用彈性彈簧盡可能地模擬一個彈-塑性彈簧，故保守地Gs可取水泥土的剪切模量的一半.

4 算例

采用綜合剛度矩陣對上海虹橋鎮(zhèn)95號地塊基坑工程C型試驗段進行計算，其剖面圖見圖5.C型試驗段處基坑開挖深度為6.4m，采用復(fù)合式水泥土擋墻圍護（對撐）；水泥土墻采用雙軸水泥土攪拌樁，水泥摻量為13%，墻高15m（第一排水泥土攪拌樁長16m，后排樁長15m，計算時按15m），寬度為3.2m；內(nèi)插筋體為混凝土鉆孔樁，樁長為12m，直徑為600mm，樁間距為2m；鋼支撐采用雙拼Φ609×16鋼支撐，支撐軸線位于地表以下1.5m，支撐間距9.9m，長度為52m；混凝土冠梁高0.7m，寬度為1.0m.土層參數(shù)見表1.

圖5 支護結(jié)構(gòu)剖面圖（單位：mm）Fig.5 Sectional view of retaining structure（unit：mm）

偏心距a=B／2-c=1.1m.事實上，整個支護結(jié)構(gòu)的彎曲中心并不在形心，該處計算是粗略的.

文獻［13］給出了水泥土彈性模量E與無側(cè)限抗壓 強度fcu的經(jīng)驗關(guān)系，E=（200～300）fcu.fcu的常用值一般為1～2MPa.由于現(xiàn)場攪拌樁所處的真實環(huán)境和室內(nèi)試塊實驗的養(yǎng)護條件不同，文獻［14］指出水泥加固土的現(xiàn)場測試強度一般為室內(nèi)試驗強度的30%～50%.本文取E=200×50%×1.5MPa=150MPa作為計算時的楊氏模量.

表1 計算截面處的土層參數(shù)Tab.1 Soil parameters at cross section

剪切彈簧剛度的確定如下：影響半徑rm=2.5Lρ（1-ν）=13.13m；水泥土剪切模量按彈性模量換算得G=57.69MPa；根據(jù)第3節(jié)的說明，對于Gs建議取剪切模量的一半.Gs=0.5G=28.85 MPa，則；考慮到樁間距為2m，單元長度為h，則單元彈簧剛度ke=0.5kπDh=2.49×104h.

按本文推導(dǎo)的剛度矩陣用彈性支點法計算，可得到墻體側(cè)向變形、墻體轉(zhuǎn)角、混凝土樁與水泥土墻剪切變形量、墻身剪力、混凝土樁身彎矩、混凝土樁身軸力.通過混凝土樁身軸力和混凝土樁身彎矩可對混凝土樁進行配筋計算.

圖6中，僅考慮樁和考慮樁墻的兩根變形曲線是采用簡歐拉梁單元的剛度矩陣計算的，考慮樁、墻及其相互作用的曲線是通過本文推導(dǎo)的綜合剛度矩陣計算的.可見，采用綜合剛度矩陣計算時，由于考慮了墻與樁身的相互作用，復(fù)合擋墻的總體剛度比簡單梁單元的剛度大，與現(xiàn)場實測更為接近.計算結(jié)果同時表明，僅將樁和墻體的抗彎剛度簡單疊加用于常規(guī)梁單元，計算出的位移是偏大的.

圖7中，通過剛度矩陣法計算得到的支撐軸力為213kN，現(xiàn)場監(jiān)測得到的支撐軸力為205kN，二者相差不大.綜合剛度矩陣包含有垂直方向的自由度Δ1，Δ2，相比傳統(tǒng)彈性支點法，本文方法可計算得到垂直方向上混凝土樁身受拉變形和樁身軸力，見圖8.以上對比顯示出采用綜合剛度矩陣法進行復(fù)合式擋墻內(nèi)力和變形分析的有效性和合理性.

圖6 墻體水平位移Fig.6 Horizontal displacement of the wall

圖7 混凝土與水泥土墻承擔的剪力Fig.7 Shear force of retaining wall and inner concrete pile

圖8 混凝土樁的樁身軸力Fig.8 Axial force of inner concrete pile

水泥土的彈性模量涉及k的取值，對單元等效剛度具有重要影響，筆者同時選取110，130，150，170，190MPa進行了計算，考察該參數(shù)取值對計算結(jié)果的影響程度.計算結(jié)果如圖9所示，隨著水泥土模量的大幅度變化，支護結(jié)構(gòu)最大水平位移僅有約3～4mm的變化幅度.這主要是因為復(fù)合式水泥土支護結(jié)構(gòu)的抗彎是水泥土擋墻與混凝土樁共同作用的，單獨改變水泥土擋墻的彈性模量并沒有對最大水平位移值造成非常大的影響.

圖9 不同水泥土彈性模量對水平位移的影響Fig.9 Effect of different elastic modulus of soil cement on horizontal displacement

5 結(jié)論

本文根據(jù)駐值原理推導(dǎo)了用于水泥土復(fù)合支護結(jié)構(gòu)的綜合剛度矩陣.通過引入新的自由度——混凝土樁與水泥土體摩擦力作用距離，在剛度矩陣的推導(dǎo)過程中考慮了混凝土樁的拉伸與墻樁相互摩擦，得到了6×6的綜合剛度矩陣.算例表明，在復(fù)合式支護結(jié)構(gòu)的計算中，相比常規(guī)梁單元剛度矩陣，該綜合剛度矩陣計算結(jié)果更為合理.

［1］ 馮又全，楊敏，熊巨華.水泥土復(fù)合式圍護結(jié)構(gòu)的位移內(nèi)力計算與性狀分析［J］.巖土工程技術(shù)，1999（3）：3.FENG Youquan，YANG Min，XIONG Juhua.Displacement and internal force calculation as well as behavior analysis of cement soil composite retaining structure［J］.Geotechnical Engineering Technique，1999（3）：3.

［2］ 蔡偉銘.一種新型圍護結(jié)構(gòu)——復(fù)合型擋墻［J］.地基基礎(chǔ)工程，1997，7（4）：16.CAI Weiming.A new type of retaining wall：Composite retaining wall［J］.Foundation Engineering，1997，7（4）：16.

［3］ 熊祚森，楊林德，黃宏偉.水泥土復(fù)合式支擋結(jié)構(gòu)的機理分析［J］.土木工程學報，1997，30（5）：43.XIONG Zuosen，YANG Linde，HUANG Hongwei.Analysis of the mechanism of cement-soil composite retaining structure［J］.China Civil Engineering Journal，1997，30（5）：43.

［4］ 黃廣龍，惠剛，方乾，等.MC樁組合支護結(jié)構(gòu)設(shè)計與應(yīng)用研究［J］.巖土力學，2009，30（9）：2697.HUANG Guanglong，HUI Gang，F(xiàn)ANG Qian，etal.Design of MC composite retaining structure and its application［J］.Rock and Soil Mechanics，2009，30（9）：2697.

［5］ 阮偉光.水泥土擋墻加鉆孔灌注樁組合體的研究［D］.廣州：華南理工大學，2005.RUAN Weiguang.Study on the combination of cement-soil retaining wall and bored piles［D］.Guangzhou：South China University of Technology，2005.

［6］ 宰金璋，朱百里.水泥土擋墻的變形及其計算［C］∥第四屆全國地基處理學術(shù)討論會論文集.杭州：浙江大學出版杜，1995：529-533.ZAI Jinzhang， ZHU Baili.Cement-soil retaining wall deformation and its calculation［C］∥Proceedings of Fourth National Conference on Foundation Treatment.Hangzhou：Zhejiang University Press，1995：529-533.

［7］ 陸瑞明，李紅.水泥土擋墻的空間作用研究［J］.工程勘察，1997（1）：1.LU Ruiming，LI Hong.The study of space effect of the cementsoil retaining wall［J］.Geotechnical Investigation and Surveying，1997（1）：1.

［8］ 王衛(wèi)東，王浩然，黃茂松，等.水泥土重力式圍護結(jié)構(gòu)水平變形簡化計算方法［J］.同濟大學學報：自然科學版，2011，39（6）：814.WANG Weidong，WANG Haoran，HUANG Maosong，etal.Simplified calculation method of lateral deformation of gravity retaining wall［J］.Journal of Tongji University： Natural Science，2011，39（6）：814.

［9］ 楊敏，熊巨華.水泥土圍護結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與變形分析［C］∥中國土木工程學會第八屆土力學及巖土工程學術(shù)會議論文集.北京：萬國學術(shù)出版社，1999：647-650.YANG Min，XIONG Juhua.The stability and deformation analysis of the cement-soil retaining structure［C］∥Proceedings of the 8th Soil Mechanics and Geotechnical Engineering Conference of China Civil Engineering Society.Beijing：International Academic Publishers，1999：647-650.

［10］ Randolph M F， Wroth C P.An analysis of the vertical deformation of pile groups［J］.Geotechnique，1979，29（4）：423.

［11］ Kraft L M，Kagawa T，Ray R P.Theoreticalt-zcurves［J］.Journal of the Geotechnical Engineering Division，1981，107（11）：1543.

［12］ Brinkgreve R B J，Swolfs W M.Plaxis 3D foundation version 2 user's manual［Z］.Delft：Plaxis BV，2007.

［13］ 朱家祥.深基坑工程中混凝土芯水泥土樁水平承載機理與變形特性研究［D］.南京：河海大學，2008.ZHU Jiaxiang.Pile horizontal bearing mechanism and deformation characteristics of concrete-cored pile in excavation［D］.Nanjing：Haohai University，2008.

［14］ 賈堅.影響水泥土強度的綜合含水量研究［J］.地下空間與工程學報，2006，2（1）：132.JIA Jian.Research on comprehensive water content of cement treated soil［J］.Chinese Journal of Underground Space and Engineering，2006，2（1）：132.