周利明，傅曉錦,2

(1.上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 200093)

(2.上海電機學(xué)院 機械學(xué)院，上海 200245)

基于卷積因子修正的敏度過濾方法

周利明1，傅曉錦1,2

(1.上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 200093)

(2.上海電機學(xué)院 機械學(xué)院，上海 200245)

在變密度法拓撲優(yōu)化中，敏度過濾是常用的消除數(shù)值不穩(wěn)定的方法之一，但是敏度過濾容易引起模糊邊界的產(chǎn)生，為此提出了一種基于卷積因子修正的敏度過濾方法，這種方法通過加強中間單元敏度、減少周邊單元敏度的手段，抑制了模糊邊界的產(chǎn)生。利用柔度最小化的算例，討論了這種方法對優(yōu)化結(jié)果的影響，結(jié)果證實，此方法可以克服邊界模糊和消除棋盤格現(xiàn)象。

敏度過濾；插值模型；模糊邊界；權(quán)重因子

拓撲優(yōu)化是指如何在一個固定的設(shè)計域內(nèi)，控制材料的分布來獲得最好的結(jié)構(gòu)，這種方法首先被人們應(yīng)用在機械設(shè)計中，但之后很快被拓展到很多與物理息息相關(guān)的領(lǐng)域里，如流體、電子等領(lǐng)域。該方法建立在不斷地分析和設(shè)計步驟更新的基礎(chǔ)之上。根據(jù)優(yōu)化對象的不同，拓撲優(yōu)化可以分為離散體拓撲優(yōu)化和連續(xù)體拓撲優(yōu)化。然而在連續(xù)體拓撲優(yōu)化過程中，往往伴隨著數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，如存在網(wǎng)格依賴性、發(fā)生棋盤格現(xiàn)象或出現(xiàn)局部極值等。在拓撲優(yōu)化理論的研究進程中，尋找解決數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的辦法一直是重要的研究方向，不少學(xué)者給出了解決數(shù)值不穩(wěn)定性的方法，歸納起來可以粗略地分為3類：(1)網(wǎng)格過濾方法，通過構(gòu)建敏度過濾來實現(xiàn)，如敏度過濾[1]、密度過濾方法[2]。(2)添加約束的方法，常見的方法有周長約束方法[3]、整體梯度控制法[4]、局部梯度方法[5]等。(3)其他方法，如微波參數(shù)控制方法[6]、水平集方法[7]等。網(wǎng)格過濾方法是當(dāng)前研究中最流行的方法，因為其編程容易實現(xiàn)、效率高。

敏度過濾方法的原理是：在設(shè)計域內(nèi)，目標函數(shù)的敏度值按照距離加權(quán)的方式來改變，就會使得敏度值較低的單元在距離加權(quán)后，敏度值變小，這樣保證了部分區(qū)域內(nèi)的密度值不會劇烈變化，達到了解決數(shù)值不穩(wěn)定的目的。但這種方法的優(yōu)化結(jié)果極易出現(xiàn)大量的灰度單元，造成邊界模糊現(xiàn)象。

為了克服敏度過濾方法帶來的邊界擴散問題，本文提出了一種基于卷積因子修正的敏度過濾方法，通過引入非線性的卷積因子，加強中間單元敏度權(quán)重，減小周邊單元敏度權(quán)重，抑制了模糊邊界的產(chǎn)生，同時有效地消除棋盤格現(xiàn)象，得到了較為清晰的優(yōu)化結(jié)果，并通過數(shù)值算例驗證了基于卷積因子修正的敏度過濾方法的正確性。

1 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化建模

1.1材料插值模型的選取

變密度法是從均勻化方法[8]演變而來，將(0,1)之間的密度值作為設(shè)計變量，然后利用插值函數(shù)定義彈性模量與密度之間的函數(shù)關(guān)系，這樣可以將結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成材料的分布問題。其本質(zhì)是將拓撲變量附著在單元密度值上，從而把離散變量問題轉(zhuǎn)化成連續(xù)變量優(yōu)化問題。變密度法優(yōu)點在于易于編程，設(shè)計變量少，因而其在工程中得到了很好的應(yīng)用。工程中常用到的是固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型，其數(shù)學(xué)表達式如式(1)，本文將基于固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型，開展后續(xù)的研究。

(1)

式中：E0為材料的剛度；ρi為設(shè)計區(qū)域內(nèi)第i個單元的密度；Emin為指定給空洞區(qū)域的一個非常小的剛度矩陣；p為懲罰因子，其作用是為了避免剛度矩陣奇異。

總剛度矩陣及敏度表達式分別為：

(2)

(3)

1.2連續(xù)體拓撲優(yōu)化模型的建立

結(jié)構(gòu)柔順度最小(或剛度最大化)問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

(4)

在實際工程應(yīng)用中，工程人員為了得到理想的拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)，在選擇合適插值模型的同時，還需要使用恰當(dāng)?shù)那蠼馑惴?。拓撲?yōu)化求解算法一般分為數(shù)學(xué)規(guī)劃法與優(yōu)化準則法，本文將采用優(yōu)化準則法來求解拓撲優(yōu)化模型。

2 基于卷積因子修正的敏度過濾方法

敏度過濾方法最早是由比利時列日大學(xué)的Sigmund[1]提出的，其表達式為：

Sigmund敏度過濾方法的不足是：該方法中，卷積因子的類型是二元一次線性函數(shù)，在一定的過濾半徑內(nèi)，單元敏度權(quán)重差值的變化幅度是比較小的，隨著過濾半徑的增加，這種單元間的敏度權(quán)重的差值就會越來越接近，所以在較大半徑下的拓撲優(yōu)化結(jié)果，就會出現(xiàn)很多灰度單元，導(dǎo)致邊界模糊。

本文提出的基于卷積因子修正的敏度過濾方法，在原有Sigmund敏度過濾方法基礎(chǔ)之上，通過引入不同類型的卷積因子，在一定的過濾半徑范圍內(nèi)，控制單元敏度權(quán)重差值的變化幅度，使中間單元的敏度權(quán)重明顯大于周邊單元的敏度權(quán)重。本文引進兩類非線性的卷積因子來控制單元的敏度權(quán)重，這兩類因子分別為指數(shù)型因子與反正切型因子，見表1。表達式中，x,y是控制因子，通常取x=1，y=2。

這里引入的兩類不同類型的卷積因子的原理是：因為這兩種類型的卷積因子的函數(shù)形式是二元一次非線性函數(shù)，所以在一定的過濾半徑之內(nèi)，單元敏度權(quán)重差值的變化幅度是相對比較大的，這樣一來，就使得中間單元的敏度權(quán)重明顯大于周邊單元的敏度權(quán)重，不僅如此，這種卷積因子函數(shù)類型上的改變，在過濾半徑不斷加大的情況下，拓撲優(yōu)化結(jié)果的灰度單元分散現(xiàn)象也有很大的改善。由于弱化了周邊單元的敏度過濾效果，可得到具有較好邊界的拓撲優(yōu)化結(jié)果。

不同類型的卷積因子對單元敏度分布的影響見表2，表中的中間單元和周邊單元的位置關(guān)系是水平展開的。

從表2可以分析得出不同情況下的單元敏度權(quán)重分布，2種新型卷積因子的單元敏度權(quán)重與原有的敏度過濾方法相比，在中間單元敏度權(quán)重固定的情況下，隨著周邊單元距離的遞增而減少?？梢郧逦乜吹?，指數(shù)型卷積因子下，單元敏度權(quán)重不受過濾半徑的影響；反正切型卷積因子下，單元敏度權(quán)重差值的變化幅度會隨著過濾半徑的增加而變大。相比較于原有的敏度過濾方法，在過濾半徑增加的同時，反正切型卷積因子下的單元敏度權(quán)重差值的變化幅度比較大，從而避免了在大半徑下拓撲優(yōu)化結(jié)果的邊界模糊現(xiàn)象。

3 二維拓撲優(yōu)化數(shù)值算例與討論

采用MBB梁結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化算例，運用MATLAB軟件驗證本文提出的基于卷積因子修正的敏度過濾方法。

如圖1所示，MBB梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計區(qū)域為60mm×30mm×1mm。其左下端受到全約束限制，右端下角受到豎直方向上的限制，在結(jié)構(gòu)上端面中點處受到豎直向下的載荷作用。由于優(yōu)化問題中結(jié)構(gòu)和載荷具有對稱性，釆用1/2模型進行結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化計算。建立以體積為約束、柔順度最小為目標函數(shù)的拓撲優(yōu)化模型。過濾半徑分別為1.5mm、3.0mm、5.0mm。分別采用原Sigmund敏度過濾方法和2中提到的2種新型卷積因子下的敏度過濾方法進行優(yōu)化，得到的拓撲優(yōu)化結(jié)果圖如圖2所示。

從圖2可以看出，2種不同類型卷積因子下的敏度修正過濾方法均未出現(xiàn)網(wǎng)格依賴和棋盤格現(xiàn)象，在過濾半徑較小的情況下，新的敏度修正過濾方法過濾效果要比原有的敏度過濾方法好，優(yōu)化結(jié)果沒有出現(xiàn)細小桿；隨著過濾半徑的增加，原有的敏度過濾方法出現(xiàn)灰度單元現(xiàn)象，造成了邊界模糊，而新的敏度修正過濾方法表現(xiàn)出穩(wěn)定的優(yōu)化結(jié)果。這也證明了上文關(guān)于不同卷積因子理論的正確性。

為了比較上述3種類型卷積因子下的拓撲優(yōu)化計算效率和準確性，將拓撲優(yōu)化的迭代次數(shù)和柔度列于表3。

由表3可以看出，在任意半徑下，本文提出的卷積因子下的優(yōu)化迭代效率都明顯優(yōu)于原有的敏度過濾方法，當(dāng)過濾半徑較小時，本文方法與原有敏度過濾方法的優(yōu)化柔度值比較接近；但是當(dāng)過濾半徑較大時，本文所提方法的優(yōu)勢就體現(xiàn)出來，柔度值的變化幅度不會有很大變化，這就是2種類型卷積因子下拓撲優(yōu)化結(jié)果清晰的內(nèi)在原因。

4 結(jié)束語

本文提出了基于新型的卷積因子修正的敏度過濾方法，從實驗數(shù)值的角度看，新型的卷積因子修正的敏度過濾方法，在抑制網(wǎng)格依賴性的同時，避免了在大半徑下原有敏度過濾方法的邊界模糊現(xiàn)象，在不同的過濾半徑下，有穩(wěn)定的拓撲優(yōu)化結(jié)果；從計算效率的角度上看，新的敏度修正方法明顯比原有敏度過濾方法快；從結(jié)果的清晰角度上看，新的敏度修正方法同樣可以獲得清晰的邊界。

[1]SigmundO.Onthedesignofcompliantmechanismsusingtopologyoptimization[J].MechanicsofStructuresandMachines, 1997, 25(4): 493-524.

[2]BourdinB.Filtersintopologyoptimization[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering, 2001,50(9):2143-2158.

[3]AmbrosioL,ButtazzoG.Anoptimaldesignproblemwithperimeterpenalization[J].CalcVar,2013,1(3):55-69.

[4]BorrvallT.Topologyoptimizationofelasticcontinuausingrestriction[J].ArchivesofComputationalMethodsinEngineering,2001,8(4):351-385.

[5]ZhouM,ShyyYK,ThomasHL.Checkerboardandminimummembersizecontrolintopologyoptimization[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2001,21(8):152-158.

[6]PoulsenTA.Topologyoptimizationinwaveletspace[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2002,53(2):567-582.

[7]AllaireG,JouveF,ToaderAM.Structuraloptimizationusingsensitivityanalysisandalevelsetmethod[J].JournalofComputationalPhysics,2004,194(1):363-393.

[8]BendsoeMP,KikuchiN.Generatingoptimaltopologiesinstructuraldesignusingahomogenizationmethod[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,1988,71:197-224.

Sensitivity filter based on different convolution factors methods

ZHOU Liming1, FU Xiaojin1,2

(1.School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai, 200093, China)

(2.School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai, 200245, China)

In the topology optimization of variable density method, sensitivity filter is a common one of the ways to eliminate the numerical instability, But the optimization's result of sensitivity filter is easy to cause the fuzzy boundary, In order to prevent this kind of phenomenon of fuzzy boundary, this paper proposes a sensitivity filter based on different convolution factors. This method is to strengthen the middle unit's sensitivity value, reduce the peripheral unit's sensitivity value, suppress the fuzzy boundary. Using the minimum compliance of the example, it obtains optimization results. The results prove that the method can prevent and alleviate checkerboards, mesh-dependency and fuzzy boundary.

sensitivity filter; interpolation scheme; weighting factor; fuzzy boundary

10.3969/j.issn.2095-509X.2015.04.006

2015-03-20

國家自然科學(xué)基金資助項目(11202078)；上海市教委科研創(chuàng)新重點項目(13ZZ145)；上海市自然科學(xué)基金資助項目(11ZR1413800)

周利明(1988—)，男，黑龍江通河人，上海理工大學(xué)碩士研究生，主要研究方向為連續(xù)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法、CAE技術(shù)及應(yīng)用等。

O343.1

A

2095-509X(2015)04-0023-04