梁瑞時(shí)，金朝永

(廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006)

在許多工程中，對(duì)非線性奇異系統(tǒng)建立精確模型較為困難，可能性較小，因此，研究非線性系統(tǒng)的控制問題有重要的意義.

研究有界擾動(dòng)時(shí)滯大系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定較多，但對(duì)于非線性奇異系統(tǒng)的研究則較少，文獻(xiàn)［1］研究了不確定線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)相關(guān)狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定問題，基于積分不等式，引入線性化處理思想，獲得了鎮(zhèn)定控制設(shè)計(jì)準(zhǔn)則.其研究的系統(tǒng)是線性且非奇異;文獻(xiàn)［2］研究了帶有非線性擾動(dòng)的非脆弱奇異時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，研究了其非脆弱保性能控制問題，利用lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI方法，得出了保性能控制律存在的充分條件和設(shè)計(jì)方法，其研究的系統(tǒng)是非脆弱性，不具一般性;文獻(xiàn)［3-4］對(duì)于奇異系統(tǒng)的研究取得了相當(dāng)?shù)某晒蛊湓趯?shí)際的工業(yè)中有重要的應(yīng)用;文獻(xiàn)［5-7］則討論了一類線性時(shí)滯時(shí)變系統(tǒng)的魯棒控制問題，采用狀態(tài)反饋方法，得到了狀態(tài)反饋控制與擾動(dòng)的界關(guān)系不大，其研究的系統(tǒng)是線性的且非奇異.文獻(xiàn)［8］則利用狀態(tài)反饋保性能控制器的以及指標(biāo)上界的方法來研究奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制問題.

本文在文獻(xiàn)［7-8］的討論基礎(chǔ)上，推廣了他們對(duì)于一類非線性奇異系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題的研究方法，在非線性擾動(dòng)條件下，設(shè)立合適的Lyapunov泛函以及魯棒控制器，求得該系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，使用LMI方法結(jié)合黎卡提方程方法來求得較小的增益矩陣來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定，解決了系統(tǒng)的奇異性問題，使其具有更普遍的適應(yīng)性.

1 問題描述

考慮以下狀態(tài)方程

其中，Ei∈Rni×ni是奇異矩陣，并且rank(Ei)=ri＜ni;xi(t)∈Rni，ui(t)∈Rmi分別是系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制輸入向量，Ei，Ai，Bi，Ci，Di，Dij為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，ΔAi，ΔBi，ΔCi，ΔDij為系統(tǒng)的時(shí)變不確定矩陣，表示系統(tǒng)模型中的參數(shù)不確定性;τi，τij(i，j=1，2，…，n)分別表示系統(tǒng)的控制輸入時(shí)滯和關(guān)聯(lián)時(shí)滯，φi(t)為給定初始向量值連續(xù)函數(shù)，f(xi(t)，t)是非線性擾動(dòng)，且滿足f(xi(t)，t)≤η2xi(t)，η為常數(shù).

對(duì)于系統(tǒng)(1)，筆者作出假設(shè)為

假設(shè)1系統(tǒng)中的不確定矩陣有如下限制

本文要用到以下引理.

引理1［9］(Schur補(bǔ)引理)對(duì)于對(duì)稱矩陣s=，其中s12=.下面3個(gè)條件等價(jià):

引理2［12］對(duì)適當(dāng)維數(shù)的任意矩陣X和Y，有

引理3［11］對(duì)于任意的X，Y∈Rn和標(biāo)量σ，有

其中，σ是正的標(biāo)量.

引理4［12］若 ΔA≤ σ，則(ΔA)T(ΔA)≤ σ2.

對(duì)于奇異時(shí)滯系統(tǒng)

若存在矩陣Pi∈Rni×ni和正定矩陣Qi∈Rni×ni滿足，則對(duì)任意滿足相容性初始條件的函數(shù)φi(t)有唯一連續(xù)的解，且零解漸近穩(wěn)定.

對(duì)給定的奇異時(shí)滯大系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)魯棒控制器

使得對(duì)于系統(tǒng)容許的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)

魯棒漸近穩(wěn)定.

2 結(jié)論與證明

定理1在假設(shè)的條件下，若存在正常數(shù)ξ1i、ξ2i、ξ3i、ξ4i、ξ5i，(i=1，2，…，n)和常數(shù)矩陣Ki，Ki∈Rni×ni，使得Riccati矩陣不等式

有對(duì)稱正定解Pi(i=1，2，…，n).則采用魯棒控制器(2)時(shí)，系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)(3)是魯棒漸近穩(wěn)定的.其中

證明 由于Pi＞0，取lyapunov函數(shù)為

由于Gi＞0，所以V(xi(t))正定.

沿閉環(huán)系統(tǒng)的軌線，V(xi(t))關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是

由假設(shè)2，式(5)可等于

由f(xi(t)，t)≤ η2xi(t)可 推 出fT(xi(t)，

并且由引理2～4對(duì)式(6)中的各個(gè)小項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)得

結(jié)果，并沒有多少工作可讓我干。民眾既安靜又順從，他們的恐慌在很久以前就消耗光了。我分發(fā)創(chuàng)可貼，給他們開安眠藥和救急噴霧劑，后者是村子里的藥劑師從一只行李箱里拿出來的。

其中Hm是對(duì)稱矩陣(ΔAi)(ΔAi)T的最小上界［14］.

由式(10)、(11)得

在引理3中令σ=1，則

由式(13)、(14)可得

將上面所求得對(duì)應(yīng)的各式代入(6)可得:

證畢.

定理2在假設(shè)1，2的條件下，給定常數(shù)Ai＞0，Ci＞0，如存在正定矩陣xi，矩陣Yi，正常數(shù) ξ1i、ξ2i、ξ3i、ξ4i、ξ5i，(i=1，2，…，n)使得

成立，其中

則采用魯棒控制器(2)時(shí)，系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)(3)是魯棒漸近穩(wěn)定的，且魯棒增益陣可取為:Ki=

令

顯然W22i＜0，矩陣(16)可變?yōu)?/p>

上面所求得的控制器對(duì)保證盡可能小反饋增益陣比較困難，為得到較優(yōu)的增益陣，考慮成立，即0，［15］因此，較小的增益陣可由求得，其約束條件為式(18)與(19).

3 數(shù)值仿真

考慮系統(tǒng)(1)，其中:

取a1=a2=c1=c2=1，γ1=γ2=0.3，則可求得

ξ11=0.815，ξ21=0.313，ξ31=15.01，ξ41=0.439，ξ51=9.487，ξ12=0.700，ξ22=0.397，ξ32=12.689，ξ42=則給出控制輸入為u1(t)=［－0.0150.056］x1(t)，u2(t)=［－0.0140.084］x2(t).系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化曲線如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化圖Fig.1 Charts of system state by on time variation

4 結(jié)束語

本文主要研究在擾動(dòng)的情況下奇異時(shí)滯大系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性問題，對(duì)于數(shù)值界不確定奇異時(shí)滯大系統(tǒng)，給出分散魯棒控制器，用黎卡提方程以及LMI方法相結(jié)合，證明該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過一定的約束條件可以得到較小的增益陣，用LMI工具軟件求解，該求解方法應(yīng)用方便，而且有效.

［1］肖樂，傘冶，朱弈.不確定性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2013，35(4):802-806.Xiao L，San Y，Zhu Y.Delay-dependent robust stabilization by states feedback for linear systems with uncertainties［J］.Systems Engineering and Electronics，2013，35(4):802-806.

［2］尚阿曼，吳保衛(wèi)，劉麗麗.帶有非線性擾動(dòng)的非脆弱奇異時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制［J］.陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，30(2):94-99.Shang A M，Wu B W，Liu L L.Non-fragile guaranteed cost control for a class of uncertain singular time-varying delay systems with nonlinear perturbation［J］.Journal of Shanxi University of Science＆Technology，2012，30(2):94-99.

［3］李文姿.不確定非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，32(5):48-51.Li W Z.Design of the robust stabilization controller for uncertain non-linear singular systems with time-deIay［J］.Journal of Yunnan Normal University，2012，32(5):48-51.

［4］齊春燕.不確定時(shí)滯奇異系統(tǒng)基于PD觀測(cè)器的魯棒控制［J］.湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32(6):47-50.Qi C Y.PD observer-based robust control for uncertain time-delayedSingular systems［J］.Journal of Zhanjiang Normal College，2011，32(6):47-50.

［5］付主木，高愛云，費(fèi)樹岷.不確定切換時(shí)滯奇異系統(tǒng)的魯棒H∞控制［J］.控制工程，2012，19(3):399-402.Fu Z M，Gao A Y，F(xiàn)ei S M.Robust H∞control for uncertain switched singular systems with stateDelay［J］.Control Engineering of China，2012，19(3):399-402.

［6］高在瑞，紀(jì)志成.一類切換時(shí)滯奇異系統(tǒng)的最優(yōu)保成本控制［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33(6):1358-1361.Gao Z R，Ji Z C.Optimal guaranteed cost control for a class of switched singular systems with time-delay［J］.Systems Engineering and Electronics，2011，33(6):1358-1361.

［7］曾愛華，金朝永，任建功，等.持續(xù)有界擾動(dòng)下一類不確定時(shí)變時(shí)滯大系統(tǒng)的分散魯棒鎮(zhèn)定［J］.廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27(2):71-76.Zeng A H，Jin C Y，Ren J G，et al.Decentralized robust stabilization for a class of large-scale delay-dependent systems with bounded persistent disturbances［J］.Journal of Guangdong University of Technology，2010，27(2):71-76.

［8］張冬梅，俞立.一類不確定奇異時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制［J］.浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，32(1):105-109.Zhang D M，Yu L.The guaranteed cost control for a class of uncertain singular time-delay systems［J］.Journal of Zhejiang Universith of Technology，2004，32(1):105-109.

［9］張志飛.具有變時(shí)滯的線性系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2001，23(2):61-70.Zhang Z F.On delay-dependent stability of lurie contol systems with stationary elements［J］.Systems Engineering and Electronics，2001，23(2):61-70.

［10］Jain S.Decentralized adaptive output feedback design for large-scale nonlinear systems［J］.IEEE Trans Auto Cont，1997，42(5):729-735.

［11］Limon D，Alamo T，Salas F，et al.Input to state stability of min-max MPC controllers for nonlinear systems with bounded uncertainties［J］.Automat，2006，42(5):797-803.

［12］劉新宇，高立群.不確定線性組合系統(tǒng)的分散鎮(zhèn)定與輸出跟蹤［J］.信息與控制，1998，27(5)342-350.Liu X Y，Gao L Q.Decentralized robust control for linear uncertain interconnected systems［J］.Information and Control，1998，27(5)342-350.

［13］張揚(yáng).奇異系統(tǒng)的魯棒控制［D］.哈爾濱:哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，2008.

［14］吳慶憲，王源，姜長(zhǎng)生.區(qū)間矩陣系統(tǒng)低保守性魯棒控制器的設(shè)計(jì)［J］.控制理論與應(yīng)用，2000，17(2):291-295.Wu Q X，Wang Y，Jiang C S.Design of lower conservatism robust controller for interval matrix systems［J］.Control Theory and Applications，2000，17(2):291-295.

［15］桂衛(wèi)華，謝永芳，吳敏，等.基于LMI的不確定性關(guān)聯(lián)時(shí)滯大系統(tǒng)的分散魯棒鎮(zhèn)定［J］.自動(dòng)化報(bào)，2002，28(1):155-159.Gui W H，Xie Y F，Wu M，et al.Decentralized robust control for uncertain interconnected systems with time-delay based on LMI approach［J］.Acta Automatica Sinca，2002，28(1):155-159.