金　童吳　飛陶武勇

（1.中國能源建設(shè)集團廣東省電力設(shè)計研究院　廣東廣州　510530；2.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院　江西南昌　330013；3.江西信息應(yīng)用職業(yè)技術(shù)學(xué)院　江西南昌　330043）

變形預(yù)測的總體最小二乘擬合推估方法

金童1吳飛2陶武勇3

（1.中國能源建設(shè)集團廣東省電力設(shè)計研究院廣東廣州510530；2.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院江西南昌330013；3.江西信息應(yīng)用職業(yè)技術(shù)學(xué)院江西南昌330043）

摘要：采用傳統(tǒng)GM(1,1)方法對建筑物的沉降進行預(yù)測時，僅考慮了觀測向量中的誤差。但系數(shù)矩陣中的元素是由觀測量組成的，不可避免地含有誤差。建立GM(1,1)聯(lián)合模型，采用總體最小二乘擬合推估法求解灰參數(shù)及沉降預(yù)測值，即顧及了觀測值與系數(shù)矩陣中含有的誤差，同時考慮到系數(shù)矩陣中常數(shù)項元素以及其它各元素間的相關(guān)性，將灰參數(shù)與沉降預(yù)測的解算同時進行，有效地提高預(yù)測精度。

關(guān)鍵詞：總體最小二乘；擬合推估法；GM(1,1)；沉降監(jiān)測

1　引言

由于變形體變形的原因十分復(fù)雜，為保證人民的生命和財產(chǎn)安全，對變形體進行變形監(jiān)測和預(yù)報分析就顯得十分必要［1］。沉降監(jiān)測作為變形監(jiān)測工作的一個分支，它涉及各類社會與經(jīng)濟問題，故沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理也至關(guān)重要。灰色GM（1,1）模型計算簡便，不需要大量的原始時間序列數(shù)據(jù)即可獲得較好的預(yù)測結(jié)果［2］，已廣泛應(yīng)用于各類學(xué)科當中。1988年陳明東等首次采用灰色系統(tǒng)理論中的GM（1,1）模型對滑坡進行變形監(jiān)測，此后該模型廣泛地應(yīng)用于滑坡監(jiān)測及相關(guān)變形監(jiān)測等工作中［3］。

本文以傳統(tǒng)GM（1,1）模型為基礎(chǔ)，結(jié)合目前已有文獻中存在的一些不足，基于文獻［4］提出的無縫三維基準轉(zhuǎn)換模型的思想，建立GM（1,1）聯(lián)合模型，并采用總體最小二乘擬合推估法進行求解。該方法考慮了觀測值及預(yù)報值中存在的誤差，顧及系數(shù)矩陣中常數(shù)元素的同時也考慮到了各項元素的相關(guān)性，并將灰參數(shù)與預(yù)測數(shù)據(jù)的計算同時進行。

2　GM（1,1）聯(lián)合模型

假設(shè)原始數(shù)列，X（0）=［x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）］對其進行1次累加得到數(shù)列［5］：X（1）=［x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）］，式中建立一階白化微分方程［5］：

式中t為時間，a，u為待求灰參數(shù)，系數(shù)矩陣及觀測向量可以寫成：

寫成矩陣的形式可以得到［5］：

采用最小二乘方法，求解得到參數(shù)估值［5］：

求微分方程可得預(yù)測模型，再進行累減得［5］:

系數(shù)矩陣中第一列是由觀測數(shù)據(jù)組成，不可避免地含有誤差，對（2）式系數(shù)矩陣引入誤差可以得到函數(shù)模型：

采用總體最小二乘法解算得到的兩個灰參數(shù)，結(jié)合GM（1,1）的預(yù)報公式（4），計算得到 m期的預(yù)測值，將預(yù)測值組成系數(shù)矩陣可得：

則可得預(yù)報部分的函數(shù)模型：

因此可建立GM（1,1）聯(lián)合模型：

顧及各元素之間的相關(guān)性，該模型的隨機模型為：

3　擬合推估法

擬合推估模型的標準形式為［4］［6］：

式中y為n×1維的觀測向量，ey、C分別為y對應(yīng)的誤差向量及系數(shù)矩陣，是 維的參數(shù)。β是k×1維未知隨機信號向量，ey0、C0分別為y0對應(yīng)的誤差向量及系數(shù)矩陣。推估模型的求解包含平差部分和預(yù)報部分［4］。

若ey和ey0服從正態(tài)分布［4］：

依據(jù)最小二乘準則可得最優(yōu)線性無偏的參數(shù)估值和預(yù)報值為［4］［6］：

總體最小二乘擬合推估法的基本思想是：同時考慮觀測向量及其對應(yīng)的系數(shù)矩陣和隨機信號及其對應(yīng)的系數(shù)矩陣中含有的誤差，并且考慮觀測向量部分與預(yù)報部分的相關(guān)性，將觀測值及其系數(shù)矩陣、預(yù)報部分及其系數(shù)矩陣與參數(shù)之間的聯(lián)合函數(shù)模型改寫成擬合推估模型的標準形式，依據(jù)不同的函數(shù)模型，推出其對應(yīng)的觀測部分的方差以及觀測部分與預(yù)報部分的協(xié)方差，最后采用擬合推估法進行參數(shù)的解算。

4　GM（1,1）聯(lián)合模型的解算

4.1GM（1,1）聯(lián)合模型線性化

GM（1,1）聯(lián)合模型為非線性模型，需先將其轉(zhuǎn)化為線性模型。將采用高斯-牛頓法將聯(lián)合模型線性化后再進行迭代計算，設(shè)第j次迭代后的估值為a（j），則參數(shù)a表示為［4］：

其中δa（j）為第j+1次迭代的參數(shù)改正數(shù)，將上式代回（8）式得［4］：

為避免忽略二階以上的小量可能導(dǎo)致的收斂錯誤或迭代發(fā)散，采用第j次迭代估值EA（j）和EB（j）代替EA和EB作為系數(shù)矩陣［4］，并依據(jù)（10）式可將上式進行改寫，對應(yīng)擬合推估法的標準形式可得［4］：

對應(yīng)擬合推估法標準形式的無偏參數(shù)和預(yù)報值的公式可以得：

由于預(yù)報和估計是相對獨立的過程［4］，只需按照（20）式、（21）式計算得到灰參數(shù)，迭代終止后，將計算結(jié)果帶入（22）式和（23）式計算沉降預(yù)測值。

4.2GM（1,1）聯(lián)合模型協(xié)方差陣

求解上述該模型需已知系數(shù)矩陣與觀測向量之間的協(xié)方差，即DAA，DBA，DALn，DBLn。

分別令

其中U1、U3分別為n-1、m行n+m列的矩陣，并令U2、U4分別為n-1、m行n+m列的零矩陣。令V1=［0… 0］T,V2=［1… 1］T,V3=［0… 0］T,V4=［1… 1］T,其中V1、V2為n-1行1列矩陣，V3、V4為m行1列矩陣，且令U、V、W為U=［U1U2U3U4］T,V=［V1V2V3V4］T，，則可得：

由誤差傳播定律可得：

由于觀測數(shù)據(jù)是在不同的時間點采用相同精度的儀器或者采用相同方法獲取的，故可近似認為這些觀測數(shù)據(jù)同精度［8］。設(shè)δ1=δi=δn，δi為該觀測值中誤差，可得QLn=In-1、QX=In+m，故QW=UQXUT=UUT。其中DA、DB可以通過DWW得到。

將已知的觀測向量及觀測部分和預(yù)測部分寫成：

分別令

式中O1、O2為n-1行n列矩陣，且令O3、O4為m行n+m列0矩陣。

根據(jù)協(xié)方差傳播律，可得：

5　算例及分析

5.1模擬數(shù)據(jù)算例

給定GM（1,1）模型中的灰參數(shù)真值 ，，第一期觀測值真值 ，再根據(jù)公式（4）模擬13期觀測數(shù)據(jù)，對前10期模擬數(shù)據(jù)的真值加入誤差并作為觀測數(shù)據(jù)，后3期不加入誤差并作為預(yù)測部分。假設(shè)各期的觀測精度相同，并對觀測數(shù)據(jù)加入標準差 的誤差。模擬1000組數(shù)據(jù)，最終取1000次計算結(jié)果的平均值。表1為1000組數(shù)據(jù)中任取一組含有誤差的觀測數(shù)據(jù)，文中采用均方根值（RMS）來檢驗不同方法的預(yù)測精度，表2為不同方法計算結(jié)果。

從表2中可以看出，本文所采用的方案，得到的計算結(jié)果的均值要優(yōu)于其它方案，預(yù)測精度相對最小二乘而言提高了49%。圖1為1000次模擬數(shù)據(jù)計算得到的預(yù)測部分沉降值的均方根值，從圖中可以看出，本文所采用的方法得到的計算結(jié)果較為穩(wěn)定且計算精度較高。

6　結(jié)論

最小二乘方法忽略了系數(shù)矩陣中含有的誤差；總體最小二乘法將系數(shù)矩陣中常數(shù)列也認為含有誤差進行處理；混合總體最小二乘法雖考慮了系數(shù)矩陣中的常數(shù)列，但各項元素之間是不等精度的，需予以考慮；普通加權(quán)總體最小二乘法考慮了各項元素的精度問題，但忽略了觀測向量與系數(shù)矩陣中元素的相關(guān)性。本文提出了GM（1,1）的聯(lián)合模型，該方法考慮沉降觀測值及由沉降觀測值組成的系數(shù)矩陣的誤差，同時顧及兩者之間的相關(guān)性，將預(yù)測值作為含有誤差的觀測量，并將灰參數(shù)的計算與沉降預(yù)測同時進行，對模擬算例進行解算，通過與其它常用方法的比較，論證了本文方法的有效性。

參考文獻：

［1］周世健,賴志坤,藏德彥,魯鐵定.加權(quán)灰色預(yù)測模型及其計算實現(xiàn)［J］.武漢大學(xué)學(xué)報（信息科學(xué)版）,2002,27（05）:451-455.

［2］鄧聚龍.灰色預(yù)測與決策［M］.華中工學(xué)院出版社,1986.

［3］陳明東,王蘭生.邊坡變形破壞的灰色預(yù)報方法 ［A］.中國地質(zhì)學(xué)會工程地質(zhì)專業(yè)委員會.全國第三次工程地質(zhì)大會論文選集（下卷）［C］.中國地質(zhì)學(xué)會工程地質(zhì)專業(yè)委員會,1988:8.

［4］李博峰,沈云中,李微曉.無縫三維基準轉(zhuǎn)換模型［J］.中國科學(xué):地球科學(xué),2012,42（07）:1047-1054.

［5］魯鐵定.總體最小二乘平差理論及其在測繪數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［D］.武漢：武漢大學(xué)，2010.

［6］TeunissenPJG,SimonsD,TiberiusC.Probabilityand observationtheory.LectureNotesDelftUniversityofTechnology,2008.204–212.

［7］劉小龍,邱衛(wèi)寧,楊克明,劉一江.混合LS-TLS的GM（1,1）模型在基坑水平位移監(jiān)測中的應(yīng)用［J］.測繪地理信息,2014,39（06）:36-38+46.

［8］袁豹,岳東杰,李成仁.基于總體最小二乘的改進GM（1,1）模型及其在建筑物沉降預(yù)測中的應(yīng)用［J］.測繪工程,2013, 22（03）:52-55.