陶 艷， 郝新紅， 岳 凱， 孔志杰

（北京理工大學 機電工程與控制國家級重點實驗室，北京100081）

0 引言

線性調(diào)頻（LFM）引信具有低截獲概率、高測距精度等優(yōu)點，成為無線電引信領(lǐng)域的研究熱點［1］。無線電引信的測距精度與其所采用的信號處理方法是分不開的［2］?，F(xiàn)有無線電調(diào)頻引信采用諧波定距法存在與最大調(diào)制頻偏成反比的固有測距誤差，減小的前提條件是增大調(diào)制頻偏。對于實際的調(diào)頻引信，考慮到工程可實現(xiàn)性，增大頻偏將受到多方面因素的限制，使得固有測距誤差難以降低［3］。

分數(shù)階傅里葉變換（FRFT）是一種統(tǒng)一的時頻變換，能同時反映信號在時域、頻域的信息，尤其在處理LFM 信號方面具有特有的優(yōu)勢［4］。2007年，Kamalesh Kumar Sharma和Shiv Dutt Joshi等提出了基于瞬時頻率（Instantaneous Frequency）的FRFT 時延估計方法［5］。而后，岳凱等將該時延估計方法應用于調(diào)頻引信，在文獻［6］中提出了基于分數(shù)階域瞬時初始頻率估計和基于分數(shù)階相關(guān)的兩種定距方法，這兩種方法都不依靠諧波信號獲取距離信息，較諧波定距方法而言，具有更高的定距精度。

本文從LFM 信號的分數(shù)階域分析入手，研究了基于分數(shù)階域瞬時頻率估計的線性調(diào)頻引信的測距性能，推導了理論測距精度和量化測距精度，分析了測距精度的影響因素，從而為線性調(diào)頻引信的參數(shù)優(yōu)化設計提供理論依據(jù)。

1 基于分數(shù)階域瞬時頻率估計的定距原理

本文使用三角波信號作為調(diào)制信號，線性調(diào)頻引信的工作原理如圖1所示。首先，壓控振蕩器產(chǎn)生的載波信號被三角波信號調(diào)制后經(jīng)由功率放大器放大送入定向耦合器，一部分留作參考信號，一部分由天線發(fā)射出去；發(fā)射信號遇目標后被反射形成回波信號；回波信號經(jīng)收發(fā)共用天線接收后，與載波振蕩器產(chǎn)生的純載波信號混頻，經(jīng)低通濾波器后輸出中頻信號；同時，作為參考信號的發(fā)射信號也與純載波信號混頻、濾波后，輸出參考中頻信號。而后，對兩路中頻信號作已知角度的分數(shù)階傅里葉變換，在特定分數(shù)階域上對信號進行最大峰值搜索，求取其分數(shù)階域坐標，獲得峰值點位置差。最后，根據(jù)分數(shù)階域峰值點位置差換算得到時間延遲，以此計算彈目相對距離來實現(xiàn)定距功能。

圖1 基于分數(shù)階域瞬時頻率估計的定距原理框圖

分數(shù)階傅里葉變換有一個十分重要的特性：若x（t）為線性調(diào)頻信號，它在時頻平面（t，f）的Wigner分布為一條斜線。如果進行適當?shù)淖鴺诵D(zhuǎn)，這條斜線在新的分數(shù)階域坐標系（u，v）下的Wigner分布可能成為平行或垂直于橫軸的直線，即所得到的x（t）的FRFT 變換——分數(shù)階域信號Xp（u）是單諧波或沖激函數(shù)［7］。三角波調(diào)頻信號是由兩個單分量LFM 信號組成的實信號，而實信號的頻譜是對稱的，因此它在特定角度的分數(shù)階域上的表現(xiàn)為兩個沖激函數(shù)，如圖2所示。

圖2 三角波調(diào)頻信號頻率隨時間變化圖

圖2中，ft（t）表示發(fā)射信號頻率，fr（t）表示回波信號頻率，f0為載波頻率，ΔF為頻偏，T為調(diào)制信號周期，調(diào)頻率β ＝4ΔF／T，延遲時間τ ＝2R／c，R 為彈目相對距離，c是電磁波在空間中的傳 播 速 度，α 為FRFT 變 換 的 角 度，ut和ur分 別為分數(shù)階域上發(fā)射和回波信號對應沖激函數(shù)的橫坐標。

從圖中可以看出，時延τ 在分數(shù)階域上的投影就是兩個沖激函數(shù)橫坐標ur和ut間的距離，即時域信號ft（t）和fr（t）在分數(shù)階域上對應的沖激函數(shù)橫坐標間的差值。

圖2中發(fā)射信號頻率可表示為

其中，n＝0，1，2，…。

相應的回波信號頻率為

發(fā)射信號和回波信號分別和純載波信號混頻、濾波后得到兩路中頻信號，其所對應的頻率分別為

從式（3）和式（4）可以看出，參考中頻信號Sit（t）和中頻信號Sir（t）滿足三角波調(diào)頻信號條件，在特定的分數(shù)階域具有良好的時頻聚集性。對兩路中頻信號進行固定角度的分數(shù)階傅里葉變換，即

得到特定階域的分數(shù)階信號，并搜索最大峰值點所對應的u域坐標upt和upr，獲得峰值點位置差為

由分數(shù)階傅里葉變換的時移特性可知［4］，時延τ和分數(shù)階域上最大峰值點位置差Δu 的對應關(guān)系為

將式（7）代入距離公式進行解算，求出彈目相對距離為

該定距方法利用線性調(diào)頻信號在特定分數(shù)階域上具有良好的時頻聚集性特點，使該體制引信具有較高的定距精度；同時結(jié)合調(diào)頻引信收發(fā)相干的特性，和LFM 信號的調(diào)頻率已知這一先驗條件，避免了對最優(yōu)分數(shù)階傅里葉變換階數(shù)的搜索，使計算量控制在與FFT 相當?shù)乃剑瑵M足工程應用的要求。

2 測距精度公式推導及性能分析

2.1 LFM 信號分數(shù)階域分析

由式（3）可知，參考中頻信號si（t）為

取參考中頻信號的一個周期作α角的分數(shù)階傅里葉變換，得到p 階的分數(shù)階信號為

式中：Fp1（u）、Fp2（u）和Fp3（u）、Fp4（u）分別表示sinc函數(shù)和菲涅爾積分，具體表達形式為

從式（10）可以看出，一個周期內(nèi)三角波調(diào)頻信號在分數(shù)階域上表現(xiàn)為兩個sinc函數(shù)和菲涅爾積分的疊加，并且兩個sinc函數(shù)主瓣峰值間的距離恰巧是延拓周期uT＝βTsinα 的一半［8］，如圖3所示。

圖3 單周期下三角波調(diào)頻信號的FRFT 結(jié)果

因此，多周期下的分數(shù)階信號Fp（u）的sinc函數(shù)是以周期uT／2＝βTsinα／2進行延拓的，如圖4所示。

圖4 多周期下三角波調(diào)頻信號的FRFT 結(jié)果

2.2 理論測距精度

測距精度可以通過估計時延誤差得到［9］，而時延現(xiàn)在是通過獲取分數(shù)階域峰值點位置差（即u域延遲誤差）計算得到的。因此，估計u 域延遲誤差就可以獲取測距精度表達式。

由式（10）可知，信號的能量在分數(shù)階域上都集中在sinc函數(shù)上，因此可以將分數(shù)階信號簡化為sinc函數(shù)。通過計算簡化后，分數(shù)階信號的距離模糊函數(shù)，來估計u域延遲誤差，從而得到時延誤差。

實際中的分數(shù)階信號并不是無限長的，而是寬度為Tu的觀測窗內(nèi)的信號。為了簡化計算，采用寬度為T／2的觀測窗，此時簡化后的分數(shù)階信號可表示為

其對應的單周期距離模糊函數(shù)為

若定義距離模糊函數(shù)主瓣6dB 寬度為2us（半電壓寬度），以us近似表示分數(shù)階域信號的延遲估計誤差［9］：

將式（13）代入式（8），可計算得到單周期下的理論測距精度為

由尺度變換特性可知，若采用寬度為Tu的觀測窗（為了信號的完整性考慮，觀測窗一般都取周期的整數(shù)倍，即Tu＝mT ），則此時的理論測距精度為

2.3 量化測距精度

在采用DFRFT 進行時頻分析時，時域和分數(shù)階域皆離散化。如果用采樣頻率fs對時長為Tu的時域信號進行采樣得到了N 點數(shù)據(jù)，為時域離散數(shù)值集｛δt，2δt，3δt，…，Nδt｝，等效對應于分數(shù) 階 域 離 散 數(shù) 值 集 為 ｛δu，2δu，3δu，…，Nδu｝secα，其中δu為分數(shù)階域最小采樣間隔，即分數(shù)階域分辨力［10］。分數(shù)階域分辨力δu 決定了實際的距離測量誤差［11］，本文為了和前面的理論測距精度作區(qū)分，稱之為量化測距精度。其中有

將式（16）代入式（13），可推導得到分數(shù)階域信號的量化延遲估計誤差δu為

將式（17）代入式（8），可計算得到量化測距精度為

由奈奎斯特采樣定理可知，采樣頻率需要滿足fs≥2ΔF，那么量化測距精度可變化為

2.4 測距精度的影響因素

在調(diào)制頻偏為15MHz，調(diào)制頻率為150kHz，采樣頻率為150MHz，觀測周期為5，觀測點數(shù)為5 000時，計算得該方法的理論測距誤差為ΔR＝0.603 2m，量化測距誤差為δR＝0.603 2m。式（18）和式（15）其實是測距精度的兩種不同表達形式：從理論測距精度公式可以看出，該方法的測距精度主要受到調(diào)制頻偏和觀測周期這兩個參數(shù)的影響；從量化定距精度公式可以看出，該方法的測距精度還會受到調(diào)制頻率和采樣點數(shù)這兩個參數(shù)的影響。下面從調(diào)制頻偏、觀測周期、調(diào)制頻率和采樣點數(shù)這四個參數(shù)入手，具體分析測距精度的主要影響因素。

調(diào)制頻偏是影響引信測距精度的一個固有因素，首先來分析調(diào)制頻偏的影響。從式（15）可以看出，理論測距精度與調(diào)制頻偏成反比，測距精度隨著調(diào)制頻偏的增大而提高，如圖5所示。而工程可實現(xiàn)性限制了調(diào)制頻偏的提高［3］，則可以在不增加調(diào)制頻偏的前提下，通過改變其他參數(shù)來提高引信的測距精度。

觀測周期是影響引信測距精度的另一個主要因素。從式（15）可以看出，理論測距精度與觀測周期成反比，測距精度隨著觀測周期的增大而提高，如圖6所示。

觀測周期太小，測距精度太低，不可??；觀測周期太大，對測距精度的影響不大，反而會增加計算量，影響實時性，也不宜取；因此，觀測周期應取2～7之間，這樣既能保證有比較好的測距精度，又不會帶來太大的計算量。

從量化定距精度式（19）可以看出，調(diào)制周期也是影響測距精度的一個因素，量化測距精度和調(diào)制周期成正比，和調(diào)制頻率成反比。而綜合式（16）進行考慮，可以發(fā)現(xiàn)實際影響測距精度的是觀測周期，而調(diào)制頻率對其沒有影響，如圖7所示。

圖5 調(diào)制頻偏對測距精度的影響

圖6 觀測周期對測距精度的影響

圖7 調(diào)制頻率對測距精度的影響

從式（19）可以看出，采樣點數(shù)是影響測距精度的另一個因素，且量化測距精度和采樣點數(shù)成反比。綜合式（16）進行考慮，發(fā)現(xiàn)實際上影響測距精度的還是觀測周期，當觀測周期一定時，采樣點數(shù)對測距精度沒有影響，如圖8所示；而當采樣頻率一定時，采樣點數(shù)體現(xiàn)觀測周期的時候，才會引起測距精度的相應變化。

圖8 采樣點數(shù)對測距精度的影響

由文獻［3］可知多普勒頻率fD和時延τ的對應關(guān)系為

該定距方法直接估計時間延遲，而時延本身就包含多普勒頻率，無法將其剔除。且多普勒頻率多存在低頻段，而載頻多使用射頻段，將其代入式（20），可發(fā)現(xiàn)多普勒頻率對時延τ的影響可忽略不計。

通過對調(diào)制頻偏、觀測周期、調(diào)制頻率、采樣點數(shù)和多普勒頻率這五個參數(shù)對測距精度的影響分析，發(fā)現(xiàn)測距精度主要取決于調(diào)制頻偏和觀測周期，而不受調(diào)制頻率、采樣點數(shù)和多普勒頻率的影響，且相比較而言，調(diào)制頻偏和觀測周期對測距精度的影響相當。因此，可以在不提高調(diào)制頻偏的前提下，通過選取合適的觀測周期來達到提高測距精度的目的。

3 結(jié)論

本文研究了基于分數(shù)階域瞬時頻率估計的線性調(diào)頻引信的測距性能。首先對線性調(diào)頻（LFM）信號進行分數(shù)階域分析，并以模糊函數(shù)為工具推導測距精度的理論定距精度和量化定距精度，在此基礎上分析測距精度的影響因素，并仿真得到以下結(jié)論：基于分數(shù)階域瞬時頻率估計的線性調(diào)頻引信的測距精度主要取決于觀測周期和調(diào)制頻偏，調(diào)制頻率、采樣點數(shù)和多普勒頻率對測距精度沒有影響；測距精度隨調(diào)制頻偏的提高、觀測周期的增大而提高；工程可實現(xiàn)性限制了調(diào)制頻偏的提高，觀測周期的增大帶來了計算量的負擔，因此該方法可以在不提高調(diào)制頻偏的前提下，合理選擇觀測周期來改善調(diào)頻引信的測距精度。該結(jié)論可以為基于分數(shù)階域瞬時頻率估計的線性調(diào)頻引信的參數(shù)優(yōu)化設計提供理論依據(jù)。

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