石 龍 劉勉聲

（中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410004）

自然界中所觀察到的現(xiàn)象分為確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象。在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象，在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性，但在大量試驗(yàn)或觀察中，這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，概率統(tǒng)計(jì)就是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。

作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支，它有數(shù)學(xué)課程的共同特點(diǎn)：抽象、理論性偏強(qiáng)，讓學(xué)生覺(jué)得高大上。但它也有自身的特征：研究生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，其思想方法不同于學(xué)生以前接觸的任何一門(mén)數(shù)學(xué)類(lèi)課程。要讓學(xué)生拋掉學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)類(lèi)課程的慣性思維，在較短的時(shí)間內(nèi)接受描述隨機(jī)現(xiàn)象的新的思想和方法，無(wú)疑是有一定難度的。因此，在概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)實(shí)踐中，如何根據(jù)該門(mén)課程的特點(diǎn)，采取怎樣的教學(xué)方法，讓學(xué)生學(xué)習(xí)這門(mén)緊密聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活的課程時(shí)不像學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)類(lèi)課程那樣覺(jué)得枯燥無(wú)味，就成了教授這門(mén)課的老師們所需要思考的一個(gè)課題。有很多教育工作者在這一方面做了一些探討[1-4]，本文根據(jù)作者的教學(xué)實(shí)踐，從趣味教學(xué)、化難為易、聯(lián)系實(shí)際等方面對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)方法作了一些探討。

1 趣味教學(xué)

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)最好的老師，成功的教學(xué)是激發(fā)學(xué)生的興趣，而不是枯燥無(wú)味地照本宣科。概率統(tǒng)計(jì)所研究的問(wèn)題來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，因此在教學(xué)實(shí)踐中，教師要利用好這門(mén)課程的現(xiàn)實(shí)背景，讓教學(xué)內(nèi)容充實(shí)、豐富、有趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。在介紹古典概型時(shí)，為了吸引學(xué)生的興趣，可先拋出一個(gè)有趣的命題：在70人的班級(jí)里至少有兩個(gè)人的生日相同的概率幾乎為1。同學(xué)們聽(tīng)到這個(gè)命題后很驚訝，相互打聽(tīng)生日，發(fā)現(xiàn)真有人生日相同后非常奇怪，這樣學(xué)習(xí)古典概型的興趣就很高昂。接下來(lái)我們就可以具體介紹得到這一命題的原因。

例1 （生日問(wèn)題）假設(shè)每人的生日在一年365天中任一天是等可能的，隨機(jī)選取n（≤365）個(gè)人，他們的生日各不相同的概率為365n，因而，n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為p=1-An

365/365n。 通過(guò)計(jì)算可得，n=50時(shí)，至少有兩人生日相同的概率為0.97，n=70時(shí)，至少有兩人生日相同的概率為0.999。這樣，我們既引起了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也介紹了古典概型的求解方法。

2 化難為易

化難為易法是指通過(guò)合適的處理，將求解比較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單易求的問(wèn)題。概率統(tǒng)計(jì)中比較有代表性的例子是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可以表示成若干個(gè)0-1分布的隨機(jī)變量之和。這里，我們舉另外一個(gè)在教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生處理起來(lái)感覺(jué)很難的例子：在二維連續(xù)型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)中，根據(jù)聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣概率密度時(shí)變量的范圍如何處理？我們通過(guò)下面的例子來(lái)加以說(shuō)明。

例2 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域G=｛（x，y）|0≤x≤1，x2≤y≤x｝上服從均勻分布，求邊緣概率密度函數(shù)FX（x），F(xiàn)Y（y）。

解：（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：

但求邊緣概率密度FY（y）時(shí)變量的范圍如何選擇，很多學(xué)生在這一點(diǎn)上就有些為難了。這里，我們將求邊緣概率密度與非零表達(dá)式的區(qū)域的劃分聯(lián)系起來(lái)，要求FX（x）就將G劃分成X型域，要求FY（y）就將G劃分成Y型域。這樣，根據(jù)聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度就不用再擔(dān)心變量范圍怎么取的問(wèn)題了。即：

3 聯(lián)系實(shí)際

在介紹極大似然估計(jì)時(shí)，學(xué)生對(duì)于似然函數(shù)的選取不甚理解。為了幫助學(xué)生理解，我們通過(guò)聯(lián)系實(shí)際，得到判斷，解釋得到判斷的依據(jù)，這樣，極大似然思想也就顯現(xiàn)出來(lái)了。下面有具體的示例來(lái)作說(shuō)明。

例3 罐子中有若干黑球和白球，只知道兩球的比例是3∶1，但不知白球多還是黑球多，現(xiàn)隨機(jī)有放回抽取2次，觀察全為黑球，試問(wèn)罐中白球多還是黑球多？

對(duì)于這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生很容易得到黑球多的結(jié)論，但得到這一結(jié)論的依據(jù)是什么呢？下面讓我們給出說(shuō)明。

解：設(shè)Xi（i=1，2）表示第i次取球的情況，“Xi=1”表示該次取得黑球，“Xi=0”表示該次取得白球，設(shè)單次取球取到黑球的概率為p。本例中p的取值為1/4或3/4。由于P｛X1=1，X2=1｝=p2，現(xiàn)在的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已得到了該樣本，p應(yīng)取何值？根據(jù)概率越大的事件在一次試驗(yàn)中越容易發(fā)生原理，顯然當(dāng)p=3/4時(shí)更容易得到該樣本，因此從該樣本出發(fā)可以得到黑球多這一結(jié)論。這就是極大似然思想，似然函數(shù)即為樣本的聯(lián)合分布函數(shù)，這樣，學(xué)生也就了解了極大似然估計(jì)的思想和方法了。

以上只是作者在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)實(shí)踐中的一點(diǎn)體會(huì)，還有很多數(shù)學(xué)方法都值得我們?nèi)パ芯?。作為老師，我們要與時(shí)俱進(jìn)，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容找尋學(xué)生容易接受的教學(xué)方法，有效提高課堂的教學(xué)效果。

［1］孫福杰，王亞玲.談概率統(tǒng)計(jì)的啟發(fā)式教學(xué)[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，16(6)：142-144.

［2］朱方霞.概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)方法探討[J].滁州學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，11(3)：65-66.

［3］李冬梅，馬醒花，王震.概率統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)模式的研究與探索[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011，14：63.

［4］蔡云峰，董敏.淺析概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)方法與教學(xué)手段的研究[J].西南農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2012，10(12)：261-262.