宜亞麗 劉朋朋 金賀榮

(燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

滾動(dòng)活齒傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大、承載能力強(qiáng)和傳動(dòng)效率高等特點(diǎn)，在航空航天、數(shù)控機(jī)床、醫(yī)療器械等領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景［1］。一齒差滾動(dòng)活齒傳動(dòng)通常采用偏心圓激波器，需進(jìn)行動(dòng)平衡處理。李瑰賢等［2］建立了偏心圓滾動(dòng)活齒傳動(dòng)的力學(xué)模型，推導(dǎo)了滾柱活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的受力計(jì)算公式;Krylov N.V.［3］對偏心圓滾動(dòng)活齒傳動(dòng)進(jìn)行強(qiáng)度分析，得到了應(yīng)力和應(yīng)變的分布情況。

多齒差滾動(dòng)活齒傳動(dòng)裝置為幾何軸對稱結(jié)構(gòu)，在傳動(dòng)過程中易實(shí)現(xiàn)整機(jī)靜、動(dòng)態(tài)受力自平衡，避免傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)激勵(lì)，成為活齒傳動(dòng)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。董新蕊等［4］提出凸輪激波復(fù)式滾動(dòng)活齒傳動(dòng)裝置，對其傳動(dòng)原理、傳動(dòng)比及傳動(dòng)特性進(jìn)行了分析;MIZUKAMI等［5-6］提出了一種活動(dòng)銷輸入型擺線凸輪多齒差滾動(dòng)活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu);梁尚明等［7］將優(yōu)化設(shè)計(jì)理論與穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法相結(jié)合，建立了二齒差滾動(dòng)活齒傳動(dòng)的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型;黃勁枝等［8］對激波器和中心輪齒廓均采用余弦類曲線的任意齒差數(shù)純滾動(dòng)活齒傳動(dòng)進(jìn)行了研究。宜亞麗等［9］采用無剛性、柔性沖擊的5 次多項(xiàng)式類曲線的齒形模型，實(shí)現(xiàn)了滾動(dòng)活齒任意齒差等速共軛傳動(dòng)。

壓力角作為衡量活齒機(jī)構(gòu)傳動(dòng)性能的重要參數(shù)，其大小影響著機(jī)構(gòu)的受力狀況、傳動(dòng)效率及工作可靠性，研究壓力角變化規(guī)律及其影響因素對于指導(dǎo)活齒傳動(dòng)設(shè)計(jì)具有重要意義。本文建立多類齒形統(tǒng)一齒廓方程，推導(dǎo)出滾動(dòng)活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)壓力角解析式，分析不同齒形滾動(dòng)活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)壓力角的變化規(guī)律，確定壓力角的影響因素。

1 滾動(dòng)活齒傳動(dòng)原理

如圖1 所示，滾動(dòng)活齒傳動(dòng)由激波器、活齒、活齒架和中心輪組成，激波器和中心輪齒廓曲線按照給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和傳動(dòng)比確定，其中活齒由活齒軸和滾動(dòng)軸承組成，通過滾動(dòng)軸承使組成高副的兩運(yùn)動(dòng)副元素間形成局部自由度，實(shí)現(xiàn)激波器齒廓、中心輪齒廓、活齒槽與活齒的純滾動(dòng)接觸嚙合。Ⅰ類傳動(dòng)形式為活齒架固定，激波器輸入，中心輪輸出。激波器勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，活齒中心始終處于激波器理論廓線與中心輪理論廓線交點(diǎn)位置處并沿活齒架的活齒槽作徑向運(yùn)動(dòng)，推動(dòng)中心輪轉(zhuǎn)動(dòng)輸出。Ⅱ類傳動(dòng)形式為中心輪固定，激波器輸入，活齒架輸出。

2 齒廓方程建立

選定活齒運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可設(shè)計(jì)出滿足要求的激波器齒廓和中心輪齒廓，常用的活齒運(yùn)動(dòng)規(guī)律有偏心圓類曲線、橢圓類曲線、余弦類曲線和高次多項(xiàng)式類曲線等。文中各符號(hào)含義如表1 所示。

表1 滾動(dòng)活齒傳動(dòng)各符號(hào)含義

2.1 活齒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

圖2 為偏心圓激波器齒形，由余弦定理知

于是可得

偏心圓類齒形活齒運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

圖3 為橢圓激波器齒形，由橢圓參數(shù)方程知

橢圓類齒形活齒運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

式中:a 為橢圓短半軸;b 為橢圓長半軸;h=b -a;R=a。

如圖4 所示，余弦類齒形活齒運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

高次多項(xiàng)式類齒形活齒推程運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

回程運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

2.2 齒廓方程

圖2～4 中θ∈［0，π/Zh］為活齒的推程，θ∈［π/Zh，2π/Zh］為活齒的回程。不同齒形激波器理論廓線方程統(tǒng)一為

其展開式為

對向量Ph求導(dǎo)得

不同齒形中心輪理論廓線方程統(tǒng)一為

其展開式為

對向量Pk求導(dǎo)得

3 機(jī)構(gòu)壓力角解析

在傳動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，影響機(jī)械動(dòng)力特性的一個(gè)主要因素是齒廓曲線接觸點(diǎn)處的壓力角，即接觸點(diǎn)處所受的法向力(與齒廓對應(yīng)點(diǎn)的公法線方向一致)與該點(diǎn)速度方向所夾的銳角［10］。

如圖5 所示，Ⅰ類傳動(dòng)形式中，激波器與活齒間嚙合壓力角α1為激波器對活齒法向作用力方向與活齒運(yùn)動(dòng)方向間所夾銳角;活齒與中心輪間壓力角α2為活齒對中心輪法向作用力方向與中心輪運(yùn)動(dòng)方向間所夾銳角。

Ⅱ類傳動(dòng)形式中，激波器與活齒間壓力角α3為激波器對活齒法向作用力方向與活齒運(yùn)動(dòng)方向間所夾銳角;活齒與活齒架間壓力角α4為活齒對活齒架法向作用力方向與活齒架運(yùn)動(dòng)方向間所夾銳角，大小始終為零。

激波器與活齒間嚙合壓力角α1為

活齒與中心輪間的嚙合壓力角α2為

激波器與活齒間嚙合壓力角α3為

活齒與活齒架間的嚙合壓力角α4

由式(7)和式(9)可得滾動(dòng)活齒傳動(dòng)激波器、中心輪齒廓的切線方向角分別為

由反正切函數(shù)值域知，φ∈(-π/2，π/2)，第一象限內(nèi)，當(dāng)φ∈(-π/2，0)時(shí)，在arctan 的主值上加π;第二象限內(nèi)，當(dāng)φ∈(0，π/2)時(shí)，在arctan 的主值上加π。

4 仿真與分析

滾動(dòng)活齒傳動(dòng)齒形參數(shù)如表2 所示，根據(jù)表2 中數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例仿真。

表2 滾動(dòng)活齒傳動(dòng)齒形參數(shù)

活齒傳動(dòng)是多齒嚙合傳動(dòng)，一、二、三齒差活齒傳動(dòng)的一個(gè)推程嚙合周期分別為180°、90°和60°。根據(jù)表2 參數(shù)，以一齒差偏心圓類為例，繪制一個(gè)推程嚙合區(qū)4 個(gè)并聯(lián)活齒的壓力角α1、α2、α3的示意圖，4 個(gè)并聯(lián)活齒編號(hào)依次為①、②、③、④，嚙合相位差為45°，如圖6 所示。同理，二齒差橢圓類一個(gè)推程嚙合區(qū)有4 個(gè)并聯(lián)活齒，4 個(gè)并聯(lián)活齒編號(hào)依次為①、②、③、④，嚙合活齒的相位差為22.5°;三齒差余弦類和多項(xiàng)式類一個(gè)推程嚙合區(qū)有3 個(gè)并聯(lián)活齒，3 個(gè)并聯(lián)活齒編號(hào)依次為①、②、③，嚙合活齒的相位差為20°。多活齒并聯(lián)嚙合協(xié)同工作，重合度高，使活齒傳動(dòng)具有較強(qiáng)的承載力和抗沖擊載荷的能力，傳動(dòng)平穩(wěn)、噪聲小。

4.1 Ⅰ類傳動(dòng)形式

Ⅰ類傳動(dòng)形式中激波器與活齒間的嚙合壓力角α1的變化曲線如圖7 所示。

隨著激波器轉(zhuǎn)動(dòng)，α1不斷變化且變化平緩，開始從0°變化到最大值α1max，然后又從最大值α1max變化到0°，在推程的起點(diǎn)和終點(diǎn)壓力角α1為0°，顯然最大值α1max越小，對傳動(dòng)越有利。一齒差偏心圓類α1max=2.7°最小，其次是二齒差橢圓類α1max=5.5°，三齒差余弦類α1max=8.5°和三齒差多項(xiàng)式類α1max=9.7°，相對于一、二齒差滾動(dòng)活齒傳動(dòng)較大些，但最大值α1max仍然較小，保證激波器與活齒間嚙合傳力性能。

由式(10)知α1max與齒形參數(shù)R、h 和Zh有關(guān)。改變h/R，保持其他參數(shù)不變，可得壓力角α1max隨h/R的變化曲線，如圖8a 所示，壓力角α1max隨基圓半徑R的增大而減小，隨行程h 的增大而增大，α1max與h/R 成線性關(guān)系，隨h/R 的增大而增大;改變激波器齒數(shù)Zh，保持其他參數(shù)不變，可得壓力角α1max隨激波器齒數(shù)Zh的變化曲線，如圖8b 所示，壓力角α1max與激波器齒數(shù)Zh基本成線性關(guān)系，隨激波器齒數(shù)Zh的增大而增大。

活齒與中心輪間的嚙合壓力角α2的變化曲線如圖9 所示。隨激波器轉(zhuǎn)動(dòng)，α2不斷變化且變化平緩，開始從90°變化到最小值，然后又從最小值變化到90°，在推程的起點(diǎn)和終點(diǎn)壓力角為90°，最小值α2min越小，對傳動(dòng)越有利。一齒差偏心圓類活齒傳動(dòng)α2min=68.0°，二齒差橢圓類活齒傳動(dòng)α2min=57.5°，三齒差余弦類活齒傳動(dòng)α2min=54.4°，三齒差多項(xiàng)式類活齒傳動(dòng)α2min=50.0°。滾動(dòng)活齒傳動(dòng)是多齒嚙合傳動(dòng)且壓力角α2變化存在相位差，活齒與中心輪間的壓力角α2可滿足傳動(dòng)要求。

改變h/R，保持其他參數(shù)不變，可得壓力角α2min隨h/R 的變化曲線，如圖10a 所示，壓力角α2min隨基圓半徑R 的增大而增大，隨行程h 的增大而減小，α2min與h/R 近似成線性關(guān)系，隨h/R 的增大而減小。

改變激波器齒數(shù)Zk，保持其他參數(shù)不變，壓力角α2min隨中心輪齒數(shù)Zk的變化曲線如圖10b 所示，壓力角α2min與中心輪齒數(shù)Zk基本成線性關(guān)系，隨中心輪齒數(shù)Zk的增大而減小。顯然，參數(shù)對α1max和α2min的影響恰好相反，無法同時(shí)獲得最小的α1max和α2min。當(dāng)活齒架固定，激波器輸入，中心輪輸出時(shí)，考慮到α1在0°到α1max之間變化且值較小，α2在α2min和90°之間變化且值較大，所以選擇齒形參數(shù)時(shí)，應(yīng)主要考慮參數(shù)對中心輪與活齒間最小壓力角α2min的影響。

4.2 Ⅱ類傳動(dòng)形式

Ⅱ類傳動(dòng)形式中激波器與活齒間的嚙合壓力角α3的變化曲線如圖11 所示。隨激波器轉(zhuǎn)動(dòng)，α3不斷變化且變化平緩，開始從90°變化到最小值α3min，然后又從最小值α3min變化到90°，在推程的起點(diǎn)和終點(diǎn)壓力角為90°，最小值α3min越小，對傳動(dòng)越有利。一齒差偏心圓類α3min=69.5°最大，其次是二齒差橢圓類α3min=61.5°和三齒差余弦類α3min=62.5°，三齒差多項(xiàng)式類α3min=59.0°，相對于其他類滾動(dòng)活齒傳動(dòng)較小些，激波器與活齒間傳力性能較好。多活齒嚙合存在相位差，并聯(lián)協(xié)同工作可滿足傳動(dòng)要求。

由于活齒與活齒架間壓力角α4隨激波器的轉(zhuǎn)動(dòng)保持不變且時(shí)刻為零，當(dāng)中心輪固定，激波器輸入，活齒架輸出時(shí)，選擇齒形參數(shù)只需考慮參數(shù)對激波器與活齒間最小壓力角α3min的影響。

改變h/R，保持其他參數(shù)不變，可得壓力角α3min隨h/R 的變化曲線如圖12a 所示，壓力角α3min隨基圓半徑R 的增大而增大，隨行程h 的增大而減小，α3min與h/R 近似成線性關(guān)系，隨h/R 的增大而減小;改變激波器齒數(shù)Zh，保持其他參數(shù)不變，可得壓力角α3min隨激波器齒數(shù)Zh的變化曲線如圖12b 所示，壓力角α3min與激波器齒數(shù)Zh基本成線性關(guān)系，隨激波器齒數(shù)Zh的增大而增大;壓力角α3min隨中心輪齒數(shù)Zk的變化曲線如圖12c 所示，壓力角α3min與中心輪齒數(shù)Zk基本成線性關(guān)系，隨中心輪齒數(shù)Zk的增大而減小。

5 結(jié)語

(1)活齒嚙合壓力角α1、α2、α3的大小都隨活齒轉(zhuǎn)角的變化而變化，不同時(shí)刻壓力角不同且壓力角的極值一般發(fā)生在嚙合過程的中點(diǎn);活齒壓力角α4不隨活齒轉(zhuǎn)角的變化而變化，且時(shí)刻為零。

(2)基圓半徑R、行程h、激波器齒數(shù)Zh和中心輪齒數(shù)Zk都會(huì)影響活齒機(jī)構(gòu)壓力角的大小，不同活齒傳動(dòng)齒形下，機(jī)構(gòu)壓力角的變化規(guī)律不同，但變化趨勢相同。壓力角α1max隨h/R 的增大而增大，隨Zh的增大而增大;壓力角α2min和α3min隨h/R 的增大而減小，隨Zk的增大而減小;壓力角α3min隨Zh的增大而增大。

(3)建立不同類型齒形廓線方程的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達(dá)式，有助于針對活齒運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同的任意齒差滾動(dòng)活齒機(jī)構(gòu)開展功能和性能的后續(xù)研究工作。

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