張劍妹，郭詠梅，趙秀梅

（長(zhǎng)治學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

1 引言

作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課[1-3]，離散數(shù)學(xué)是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)和工作的理論基礎(chǔ)。對(duì)該課程的學(xué)習(xí)有利于提高學(xué)生的抽象思維、邏輯思維和計(jì)算思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。但由于離散數(shù)學(xué)內(nèi)容廣、概念多、邏輯性與理論性強(qiáng)、高度抽象等特點(diǎn)，應(yīng)用型本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生將其列為最不感興趣的課程之一?；趯W(xué)生相對(duì)較弱的學(xué)習(xí)能力和追求實(shí)用的心理，教師必須突破原有的“定義-定理-證明”的教學(xué)模式，創(chuàng)造一種突出專業(yè)應(yīng)用背景的更容易被學(xué)生接受的教學(xué)方法，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高離散數(shù)學(xué)的教學(xué)效率。

2 課程定位與教學(xué)內(nèi)容

長(zhǎng)期以來，離散數(shù)學(xué)課程一直被作為一門純數(shù)學(xué)課程講解，始終未能擺脫“定義-定理-證明”的教學(xué)模式。課程定位和教學(xué)內(nèi)容以定義的講解和定理的證明為主，與專業(yè)應(yīng)用背景相脫節(jié)，與應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)不相符。于是，應(yīng)用型本科院校的教師開始思考學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的哪些內(nèi)容，如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣，如何讓離散數(shù)學(xué)成為提高學(xué)生的抽象思維和邏輯思維能力、培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題能力的工具等一系列的問題。

按照《高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)核心課程教學(xué)實(shí)施方案》[4]，應(yīng)用型本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容分為三個(gè)層次：核心知識(shí)單元、推薦知識(shí)單元和可選知識(shí)單元。核心知識(shí)單元包括數(shù)理邏輯、集合、關(guān)系、函數(shù)和圖論初步；推薦知識(shí)單元包括證明技術(shù)和特殊的圖；可選知識(shí)單元包括代數(shù)系統(tǒng)、基本計(jì)數(shù)和初等數(shù)論。在長(zhǎng)治學(xué)院計(jì)算機(jī)專業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，把核心知識(shí)單元作為主要內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)講解，對(duì)推薦知識(shí)單元中特殊圖（包括歐拉圖、哈密爾頓圖、平面圖和二部圖）的定義和判定定理做詳細(xì)講解，對(duì)其典型應(yīng)用作了引導(dǎo)性講解。證明技術(shù)中的邏輯演算法是數(shù)理邏輯的重點(diǎn)內(nèi)容，其他的證明方法融入到核心知識(shí)單元的集合、關(guān)系、圖與樹等相關(guān)章節(jié)中進(jìn)行講解。例如，在“集合代數(shù)”中應(yīng)用多種方法證明集合恒等式及相關(guān)概念，在該章“典型例題”的講解中又對(duì)所用證明方法進(jìn)行了總結(jié)復(fù)習(xí)，以便學(xué)生熟練地掌握常用的證明技術(shù)。對(duì)推薦知識(shí)單元的內(nèi)容進(jìn)行了精心選擇，基本計(jì)數(shù)中的包含容斥原理應(yīng)用于集合中元素的計(jì)數(shù)已在“集合代數(shù)”中進(jìn)行了詳細(xì)講解，代數(shù)系統(tǒng)的基本概念部分做了詳細(xì)講解，對(duì)半群、群、環(huán)、域、格等幾種特殊代數(shù)系統(tǒng)的概念做了簡(jiǎn)要講解，其他相關(guān)內(nèi)容引導(dǎo)有余力的學(xué)生自學(xué)。

3 離散數(shù)學(xué)教學(xué)的改進(jìn)思路與措施

3.1 利用簡(jiǎn)潔的語言，把復(fù)雜定義簡(jiǎn)單化

教學(xué)語言的簡(jiǎn)單化是指以簡(jiǎn)單易懂的語言把晦澀難懂的知識(shí)闡述明白。在離散數(shù)學(xué)中有很多用數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)語言給出的形式化定義，應(yīng)用型本科院校的計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生理解這樣的定義非常困難。為此，在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們通常將定義的內(nèi)涵用簡(jiǎn)單的教學(xué)語言表達(dá)出來，以求達(dá)到通俗易懂的效果。例如，離散數(shù)學(xué)中關(guān)系閉包的定義是這樣闡述的：“設(shè)R是非空集合A上的關(guān)系，R的自反閉包（對(duì)稱閉包或傳遞閉包）是A上的關(guān)系R',且R'滿足以下條件：①R'是自反的（對(duì)稱的或傳遞的）；②R?R'；③對(duì)A上的任何包含R的自反關(guān)系（對(duì)稱或傳遞關(guān)系）R''都有R'?R''。”在教學(xué)中我們通過三個(gè)條件內(nèi)涵的簡(jiǎn)單闡述，引導(dǎo)學(xué)生得出這樣一個(gè)概括性的定義，即“R的自反閉包（對(duì)稱閉包或傳遞閉包）R'是A上的、包含R的、最小的自反關(guān)系（對(duì)稱關(guān)系或傳遞關(guān)系）”。又比如，離散數(shù)學(xué)中對(duì)圖同構(gòu)的定義是：“設(shè)兩個(gè)無向圖G1=,G2=，如果存在雙射函數(shù)θ:V1→V2，使得對(duì)于任意的e=(vi,vj)∈E1當(dāng)且僅當(dāng)e'=(θ(vi),θ(vj))∈E2，并且e與e'的重?cái)?shù)相同，則稱G1與G2是同構(gòu)的，記作G1≌G2?！闭n堂教學(xué)中，我們用一個(gè)具體的圖同構(gòu)例子得出如下的圖同構(gòu)定義，即“如果兩個(gè)圖同構(gòu)，這兩個(gè)圖實(shí)際上一個(gè)圖的兩種不同表現(xiàn)形式。”用這種簡(jiǎn)單通俗的語言概括出來的定義，也許不太準(zhǔn)確，但卻大大減輕了學(xué)生理解的難度，還可以借機(jī)教會(huì)學(xué)生使用公式描述概念的方法。

3.2 用計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的思維教離散數(shù)學(xué)中的證明

應(yīng)用型本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的抽象思維能力較差，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，這一點(diǎn)決定了他們不喜歡也不容易理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)證明。在離散數(shù)學(xué)課中有大量的公式和定理需要證明，因此，如何用計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生習(xí)慣的、容易接受的方法教離散數(shù)學(xué)證明是一個(gè)頗具有挑戰(zhàn)性的問題。文獻(xiàn)[5]給出了幾種利用計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的知識(shí)背景教授數(shù)學(xué)證明的方法，筆者通過仔細(xì)研讀、探索和補(bǔ)充，將其應(yīng)用于離散數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，取得較好的教學(xué)效果。

（1）利用真值表進(jìn)行數(shù)學(xué)證明是最容易被計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生所接受的。在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們將真值表應(yīng)用于等值式的證明中。例如，量詞否定等值式﹁?xP(x)??x﹁P(x)的證明過程可用表1給出的真值表證明。

表1 ﹁?xP(x)??x﹁P(x)真值表

（2）在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，圖是一個(gè)非常重要的工具，如果能將某些數(shù)學(xué)證明用圖示的方法表示出來，一定能取得良好的教學(xué)效果。如，在集合恒等式中德.摩根律～(A∪B)=～A∩～B的證明可以用圖1所示的文氏圖表示出來，其中，圖1a中陰影部分為(A∪B)，圖1b中十字交叉部分為～A∩～B，通過這個(gè)文氏圖，學(xué)生很容易理解該恒等式的真正內(nèi)涵，也便于學(xué)生接受和記憶。

（3）計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生非常熟悉算法這個(gè)概念，并且很多學(xué)生熱衷于寫算法和編程序，他們認(rèn)為只要學(xué)會(huì)了寫算法和程序就等于學(xué)會(huì)了計(jì)算機(jī)。鑒于學(xué)生的這種心理，筆者試圖將算法用到了離散數(shù)學(xué)的證明中。如在證明主范式的存在性定理時(shí)，首先概括出求取主析取范式的算法步驟，然后再證明算法的正確性和完備性，最后，建議有余力的學(xué)生課后編程實(shí)現(xiàn)這個(gè)算法。通過這種方法，不僅解決了范式存在性定理的證明問題，同時(shí)也將離散數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)結(jié)合起來，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)確實(shí)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)，從而激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性。

3.3 使用計(jì)算機(jī)語言把離散數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)聯(lián)系起來

應(yīng)用型本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生更注重專業(yè)技能的獲得，他們對(duì)理論課的學(xué)習(xí)興趣較弱。在他們心目中，只有計(jì)算機(jī)語言和程序才是計(jì)算機(jī)科學(xué)（這種觀念在低年級(jí)學(xué)生中尤為普遍）。借鑒文獻(xiàn)[6]的思想，離散數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們力求用計(jì)算機(jī)語言把離散數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)聯(lián)系起來。例如，在講解關(guān)系運(yùn)算和集合運(yùn)算時(shí)，引入了關(guān)系數(shù)據(jù)庫和SQL查詢語言，針對(duì)學(xué)生管理數(shù)據(jù)庫中的學(xué)生表S和課程表C設(shè)計(jì)了如下例子，要求學(xué)生用連接運(yùn)算和集合運(yùn)算完成，并鼓勵(lì)學(xué)生在課外上機(jī)驗(yàn)證，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例1．完成下列SQL查詢。

①查詢物理系和計(jì)算機(jī)系的所有學(xué)生的姓名；

②查詢既選修C1和C3課程的學(xué)生的姓名；

③查詢選修C1但不選修C3課程的學(xué)生的姓名；

④查詢沒有選修C2和C3課程的學(xué)生的姓名；這些查詢實(shí)例有助于學(xué)生很好的理解邏輯運(yùn)算和集合運(yùn)算之間的關(guān)系。如①的兩種SQL查詢語句分別如下：

I.SELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP=“物理系”and DEP=“計(jì)算機(jī)系”

II.SELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP=“物理系”

UNION SELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP=“計(jì)算機(jī)系”

例2.顯示下列SQL語句的執(zhí)行結(jié)果，分析該結(jié)果的正確性及其原因。

SELECT S.SNAME,C.CNAME FROM S,C

該例子的查詢結(jié)果是表S和表C的笛卡爾積，無論學(xué)生與課程之間是否有選課關(guān)系，都會(huì)將學(xué)生名和課程名聯(lián)接起來。

通過引入這些教學(xué)實(shí)例，不僅使學(xué)生理解了關(guān)系的定義和關(guān)系運(yùn)算的內(nèi)涵，而且讓學(xué)生看到了離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

3.4 引入實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生理解離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

鑒于我校應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)，適當(dāng)增加與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切相關(guān)的實(shí)踐學(xué)時(shí)，對(duì)學(xué)生較感興趣或應(yīng)用性較強(qiáng)的內(nèi)容增課外開放性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，以實(shí)驗(yàn)小組的形式延續(xù)課堂教學(xué)內(nèi)容。在離散數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)中作了如下嘗試。

（1）通過布置課外開放性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目延伸課堂教學(xué)內(nèi)容，揭示離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的關(guān)系，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。

（2）通過網(wǎng)絡(luò)課程教學(xué)平臺(tái)延伸課堂教學(xué)內(nèi)容。有限的課堂教學(xué)學(xué)時(shí)不足以讓學(xué)生充分理解離散數(shù)學(xué)中較深較難的知識(shí)點(diǎn)，老師也不可能把離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)例全部搬到課堂教學(xué)中。為此，課題組開發(fā)了離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)網(wǎng)站，通過學(xué)習(xí)網(wǎng)站，學(xué)生不僅可以復(fù)習(xí)課堂教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)，進(jìn)行在線測(cè)試，還可以通過知識(shí)拓展模塊了解離散數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，自行設(shè)計(jì)并完成相應(yīng)的研究性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

4 結(jié)束語

幾年的教學(xué)實(shí)踐表明，以上教學(xué)方法對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性、增強(qiáng)教學(xué)效果是非常有效的。文中提到的教學(xué)實(shí)例僅是我們用于教學(xué)實(shí)踐中的一部分，限于篇幅，不能一一列舉。但是對(duì)離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法的研究剛剛開始，還需要在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行不斷的研究和充實(shí)，以使其更好地服務(wù)于應(yīng)用型本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)人才的培養(yǎng)。

［1］The Joint IEEE Computer Society/ACM Task Force on Computing Curricula Computing Curricula 2001 Computer Science［DB/OL］.http://WWW.acm.org/education/curric_vols/cc2001.pdf，2001.

［2］ACM/IEEE-CSJoint Task Force on Computing Curricula.2013.Computer Science Curricula2013［DB/OL］.ACM Press and IEEE Computer Society Press.DOI:http://dx.doi.org/10.1145/2534860.

［3］中國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教程2002研究組.中國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教程2002［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

［4］教育部高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì).高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)核心課程教學(xué)實(shí)施方案［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［5］Hongbiao Zeng,Keyu Jiang.Teaching Mathematical Proofs to CS Major Students in the Class of Discrete Mathematics［J］.Journal of Computing Sciencesin Colleges,2010,25(5):326-332.

［6］Anja Remshagen.Making Discrete Mathematics Relevant［C］.In:Proceedings of the 48th Annual Southeast Regional Conference,2010.