金棟平*,紀斌

南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室,南京 210016

變形機翼可根據(jù)不同的飛行條件自適應地改變自身構形來提高飛行器的氣動性能[1-2],其中改變機翼彎度是一種重要方式,而機翼前/后緣偏轉(zhuǎn)是改變彎度的一種重要形式[3-5]。傳統(tǒng)變彎度機翼通過偏轉(zhuǎn)前/后緣襟翼等方法改變翼型彎度,使得機翼在襟翼偏轉(zhuǎn)處形成縫隙和折線,破壞了翼面的光滑性和連續(xù)性,導致氣流提早分離,造成阻力增加、燃油利用率降低。與傳統(tǒng)的前/后緣襟翼及常規(guī)偏折控制面相比,采用柔性結構可以光滑而持續(xù)地改變機翼形狀,能使氣動性能明顯提高[6-7]。

柔性結構可根據(jù)工作條件,利用自身的彈性變形實現(xiàn)一定輪廓形狀的改變。密歇根大學的Kota教授等[8-9]提出用柔性結構實現(xiàn)機翼前/后緣可變的設計思路,并利用柔性結構研制出可實現(xiàn)0°～6°變化的機翼前緣,使升力系數(shù)提高25%,升阻比提高51%。Podugu和Ananthasuresh[10]使用形狀對比法對機翼前/后緣進行拓撲優(yōu)化,并將形狀記憶合金用于優(yōu)化后的結構。國內(nèi)開展柔性變形機翼研究的主要有西北工業(yè)大學的葛文杰團隊[11],他們分別從離散體和連續(xù)體兩個方面對柔性機翼進行拓撲優(yōu)化分析,并進行了理論論證和變形試驗。陳秀等[12]以實際變形曲線與目標曲線之差最小作為優(yōu)化目標,采用遺傳算法對柔性結構的尺寸、形狀、拓撲進行了綜合優(yōu)化。黃杰[13]和 Tong[14]等基于SIMP(Solid Isotropic Micro-structure with Penalization)方法密度-剛度插值模型,實現(xiàn)了用于機翼前緣形狀連續(xù)變化的柔性結構拓撲優(yōu)化。

拓撲優(yōu)化發(fā)展至今,涌現(xiàn)出多種優(yōu)化方法。Bends?e[15]提出了SIMP方法,并得到了廣泛認可。Sigmund[16-17]在SIMP基礎上,對靈敏度進行了改進以有效解決結構最小柔度問題。Sethian和Wiegmann[18]則將水平集法引入到結構拓撲優(yōu)化中。遺傳算法作為一種廣義的優(yōu)化方法被廣泛用于結構拓撲優(yōu)化。Jakiela[19]和Wang[20-21]等提出位矩陣編碼的遺傳算法,利用位矩陣將設計域離散,用于解決連續(xù)結構的拓撲優(yōu)化問題。上述方法對于單目標拓撲優(yōu)化問題,通過施加約束可得到滿意優(yōu)化結果。對于多目標優(yōu)化問題,Deb等[22]提出的非支配排序遺傳算法(Nondominated Sorting Genetic AlgorithmⅡ,NSGA-Ⅱ)是一種被廣泛采用的多目標優(yōu)化算法,可以快速搜尋到Pareto前沿優(yōu)解。

通常,機翼后緣受到的氣動力相對較小,面外承載能力要求相對前緣要低。機翼后緣變形可有效提高氣動性能,將柔性結構用于機翼后緣具有重要作用。本文針對滿足不同要求的機翼后緣柔性支撐結構,考慮面外承載、變形性能等多個優(yōu)化目標,使用位矩陣對機翼后緣曲面進行編碼,并利用NSGA-Ⅱ?qū)υ搩?yōu)化問題進行研究。通過對違約個體進行懲罰,實現(xiàn)基于位矩陣的NSGA-Ⅱ多目標算法,以得到用于機翼后緣優(yōu)化的可行、有效的柔性支撐結構。

1 優(yōu)化對象及目標函數(shù)

1.1 優(yōu)化對象

在外力作用下,機翼后緣柔性結構產(chǎn)生變形,引起機翼彎度的改變,如圖1所示。

圖1 機翼后緣柔性結構Fig.1 Flexible wing at trailing edge

選取機翼后緣曲面的一段作為優(yōu)化對象,長度為機翼弦長Lc的1/4,如圖2所示。位矩陣x表示離散后的機翼后緣曲面,若單元充滿材料,則位矩陣x中相應元素為1；若單元為空,則位矩陣x中相應元素為0。

圖2 機翼后緣曲面Fig.2 Surface of trailing edge

1.2 優(yōu)化目標

1)對于飛行器,自重是需要考慮的一個重要方面,選取質(zhì)量較輕的結構,可以減少飛行過程中的能量消耗。對于由單一材料構成的結構,將柔性支撐結構的體積V(x)作為優(yōu)化目標。

2)在氣動載荷p的作用下,柔性支撐結構應具有維持機翼外形的能力。圖3為柔性支撐結構的氣動載荷及其邊界約束示意圖,結構左端邊界簡支,限制x、y、z方向的位移。結構局部z向位移δz(x,p)越小,維持機翼外形的能力越強。

圖3 柔性支撐結構的氣動載荷及其邊界約束Fig.3 Aerodynamic loads and boundary conditions of flexible support structure

3)為使機翼后緣易于變形,柔性支撐結構變形所需能量應盡量小。圖4為柔性支撐結構變形及其邊界約束示意圖,結構左端邊界簡支,限制x、y、z方向位移,結構右邊界簡支,限制x、y方向位移,結構右端可沿z方向運動。結構右端給定z方向位移uz,柔性支撐結構總應變能Wmorph越小,結構越易變形。

圖4 柔性支撐結構變形及其邊界約束Fig.4 Bending deflection and boundary conditions of flexible support structure

綜上所述,柔性支撐結構的優(yōu)化問題具有3個優(yōu)化目標,可以表示為

2 拓撲優(yōu)化算法實現(xiàn)

2.1 基因表示方式

二維連續(xù)結構拓撲優(yōu)化問題,可使用位矩陣來表示離散后的設計域,其相對二進制編碼和實數(shù)編碼更直觀,同時避免了遺傳算法中的編碼和解碼環(huán)節(jié)。設定離散后的單元只存在兩種狀態(tài):充滿材料或者為空。如圖5所示,將拓撲結構表示為0-1矩陣。

圖5 設計域的位矩陣基因Fig.5 Bit-matrix representation of design domain

2.2 交叉與變異算子

在遺傳算法中,交叉與變異算子用于產(chǎn)生新的個體,從而增加搜索范圍。交叉算子通過交換父代的基因來獲得新的個體,是主要的遺傳算子。傳統(tǒng)的實數(shù)或二進制交叉在處理二維基因時會產(chǎn)生垂直方向幾何偏見,為避免此情況,這里采用二維交叉算子。

變異算子作為遺傳算法的輔助算子,在設計空間實施隨機漫步,增加種群的多樣性和搜索的全局性。本文采用矩陣的異或運算作為變異算子,隨機產(chǎn)生一個與個體位矩陣尺寸相同的位矩陣,其元素1隨機分布且所占比例為預設的變異范圍值Pm,變異算子如圖6所示,圖中xor表示異或運算。

圖6 變異算子Fig.6 Mutation operator

2.3 個體連通性分析

在個體中,若一組材料塊中的每個材料塊都與其周圍的材料塊至少共有一條邊,則認為這組材料塊為一個連續(xù)體。若連續(xù)體滿足邊界條件和載荷條件,則該個體含有傳力路徑。若連續(xù)體不滿足邊界條件或載荷條件,該連續(xù)體為無用連續(xù)體。如圖7所示,柔性支撐結構離散為20×40個單元,虛線左右分別為上下翼面。圖7中有3個連續(xù)體,連續(xù)體1為一條傳力路徑,連續(xù)體2、3為無用連續(xù)體。

圖7 個體連通性分析Fig.7 Connectivity analysis of individual

希望通過拓撲優(yōu)化得到的結構只存在一條傳力路徑,將個體中傳力路徑個數(shù)作為約束條件,柔性支撐結構的拓撲優(yōu)化問題可表示為

式中:n為個體中傳力路徑的條數(shù)。

根據(jù)個體違約程度,對個體施加不同的懲罰值,使個體向滿足約束條件的方向進化。參考Wang和Tai[21]提出的懲罰方法,個體懲罰值為

式中:Vw為整個設計域的體積；Vu為無用連續(xù)體的總體積。

2.4 相似個體過濾

為保持種群個體的多樣性,擴大遺傳算法的搜索范圍,對于種群中的相似個體進行過濾。使用Jaccard相似系數(shù)來描述個體間的相似度,Jaccard相似系數(shù)定義為

式中:a和b為種群中兩個個體的位矩陣；j為兩個位矩陣對應元素都為1的元素個數(shù)；k為對應元素只有一個為1的元素個數(shù)。CJ(a,b)反映了a、b矩陣的相似程度,值在[0,1]范圍之內(nèi),兩個個體完全相同時,CJ(a,b)=1。通過限定CJ的取值,對種群中的個體進行分類,每一類只保留最優(yōu)的個體。

2.5 種群初始化

對于拓撲優(yōu)化問題,通常是令初始種群中的一半個體布滿材料,一半個體完全沒有材料。本文將隨機產(chǎn)生與連通性分析相結合。給定每個個體體積與設計域總體積之比Pd,Pd(i)表示為

式中:i為個體編號；d為相鄰個體體積比之差；popsize為種群規(guī)模。隨機產(chǎn)生體積比為Pd(i)的個體,直到其滿足連通性條件,重復此過程來構造初始種群。

2.6 拓撲優(yōu)化算法流程

將初始種群大小設為20,個體離散為20×40個單元。選擇算子采用二元錦標和精英策略。由于采用了精英策略,為了加快搜索速度,將交叉概率和變異概率設為100%。在算法初始階段,變異范圍值Pm應大些,進行大范圍搜索,隨著代數(shù)的增加,減小變異范圍,進行局部搜索。類似高斯變異,變異范圍設定為

式中:curGen為當前代數(shù)；max Gen為預設最大代數(shù),本研究將max Gen設定為105。圖8為整個拓撲優(yōu)化算法的流程,Pt和Ct分別為父代和子代種群,Rt為父代與子代合并后的種群。

圖8 基于非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)拓撲優(yōu)化算法流程Fig.8 Process of topology optimization based on non-dominated sorting genetic algorithmⅡ (NSGA-Ⅱ)

3 計算結果與討論

算例采用翼型NACA0012,翼型弦長為1 m,厚度為0.001 m,彈性模量為1 GPa,泊松比為0.3。施加Ma=0.8、攻角1.25°的氣動載荷。通過迭代得到20個滿足要求的構形,將構形按體積V(質(zhì)量)從小到大排列,如圖9所示。圖中每個解左側為機翼后緣上表面,右側為下表面?？梢钥闯?20種構形形態(tài)各異,表明基于NSGA-Ⅱ的多目標拓撲優(yōu)化算法具有較強的全局搜索能力,可以有效地尋找到符合要求的構形。

圖9 拓撲優(yōu)化解Fig.9 Solutions of topology optimization

圖10 為20種構形在目標空間的分布情況,整體來看,圖10(a)表明δz(承載能力)與Wmorph(變形能力)相沖突；圖10(b)表明V(質(zhì)量)較大的結構往往可以更好地保持機翼外形；圖10(c)表明Wmorph(變形能力)與V(質(zhì)量)近似呈反比例關系。

圖10 個體在目標空間的分布Fig.10 Distribution of solutions in objective space

圖11 給出了歸一化的目標值ˉV、ˉδz和ˉWmorph?？梢钥闯?解1具有最小質(zhì)量,解20保持機翼外形的能力最強,解7具有最好的彎曲變形能力。

圖11 歸一化的目標值Fig.11 Normalized objective values

由于多目標優(yōu)化問題的特點,各個目標之間相互制約,難以明確指出這20個解中哪個是最優(yōu)解。在實際應用中,可以根據(jù)不同的需求來選擇相應的構形。

4 結 論

1)使用位矩陣表示離散后的設計域,相對于二進制編碼和實數(shù)編碼更直觀,同時避免了遺傳算法中編碼和解碼環(huán)節(jié),無需考慮個體可能出現(xiàn)的上、下限溢出的情況。

2)通過引入連通性分析和相似個體濾波,避免了對非可行個體不必要的計算,增加了種群的多樣性,擴大了算法的搜索范圍。

3)采用基于NSGA-Ⅱ的拓撲優(yōu)化算法,可對用于機翼后緣的柔性結構進行多目標拓撲優(yōu)化。相比于單目標優(yōu)化只有一種優(yōu)化構形,該方法可以得到多種拓撲構形。每種構形都具有其優(yōu)勢和劣勢,在實際應用中,可根據(jù)不同需求選擇合適的構形。

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